Giải bài tập toán hình 11 nâng cao năm 2024

Hai quy tắc đếm cơ bản là bài học đầu tiên trong chương tổ hợp và xác suất của chương trình toán lớp 11. Nhằm giúp các em hệ thống được lý thuyết và có thể giải được các bài tập toán 11 nâng cao phần này, chúng tôi đã tổng hợp lý thuyết và sẽ hướng dẫn các em giải các bài tập phần hai quy tắc đếm cơ bản. Hy vọng đây là một tài liệu bổ ích có thể giúp đỡ các em học tốt.

1. Quy tắc cộng

Để thực hiện công việc có k phương án A1, A2, A3,...Ak, trong đó có:

+ n1 cách thực hiện cho phương án A1,

+ n2 cách thực hiện cho phương án A2,

….

+ nk cách thực hiện cho phương án Ak

Khi đó, ta có số cách thực hiện công việc là: n1 + n2 + …+ nk cách

Ví dụ: Một lớp học có 18 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trưởng?

Hướng dẫn giải:

Có 2 phương án chọn lớp trưởng là học sinh nam hoặc học sinh nữ.

- Có 18 cách chọn lớp trưởng là học sinh nam.

- Có 17 cách chọn lớp trưởng là học sinh nữ.

Theo quy tắc cộng: số cách để chọn một lớp trưởng là: 18 + 17 = 35 (cách chọn).

2. Quy tắc nhân

Để thực hiện công việc có k giai đoạn A1, A2, A3,...Ak, trong đó có:

+ n1 cách thực hiện cho giai đoạn A1,

+ n2 cách thực hiện cho giai đoạn A2,

….

+ nk cách thực hiện cho giai đoạn Ak

Khi đó, ta có số cách thực hiện công việc là: n1. n2…... nk cách

Ví dụ: Trên giá sách có 8 quyển sách toán, 9 quyển sách lý và 10 quyển sách hóa. Cho rằng các quyển sách này khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ba quyển sách thuộc ba môn khác nhau?

Hướng dẫn giải:

Việc chọn ba quyển sách thuộc ba môn khác nhau khác nhau có 3 giai đoạn:

- Có 8 cách chọn cho giai đoạn chọn sách toán

- Có 9 cách chọn cho giai đoạn chọn sách lý

- Có 10 cách chọn cho giai đoạn chọn sách hóa.

Theo quy tắc nhân, có tất cả: 8.9.10 = 720 cách chọn ba quyển sách thuộc ba môn khác nhau.

3. Phân biệt về quy tắc cộng và quy tắc nhân

- Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó ta vẫn hoàn thành được công việc thì ta sẽ dùng quy tắc cộng.

- Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó ta không hoàn thành được công việc thì ta sẽ dùng quy tắc nhân.

Trên đây là các lý thuyết về hai quy tắc cộng và nhân các em cần nắm kỹ để có thể giải được các bài tập toán 11 nâng cao - bài hai quy tắc đếm cơ bản.

II. Một số bài tập toán 11 nâng cao - bài hai quy tắc đếm cơ bản

Chúng tôi đã trích ra các bài tập toán 11 nâng cao từ sách giáo khoa Đại số và giải tích nâng cao để hướng dẫn cho các em dưới đây.

Bài 1/trang 54 SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao

Đề bài: Bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo sơ mi cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo sơ mi cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu và cỡ áo) cho bạn?

Hướng dẫn giải:

Với bài tập này, ta sẽ dùng quy tắc cộng. Có tất cả : 5 + 4 = 9 cách chọn áo sơ mi.

Bài 2/trang 54 SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao:

Đề bài: Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số, mà cả hai chữ số này đều chẵn?

Hướng dẫn giải:

Số có hai chữ số gồm chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị.

Với chữ số hàng chục có thể chọn trong các chữ số: 2, 4, 6, 8, như vậy có 4 cách chọn chữ số hàng chục

Với chữ số hàng đơn vị có thể chọn trong các chữ số: 0, 2, 4, 6, 8, như vậy có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Áp dụng quy tắc nhân có 4.5 = 20 cách chọn số có hai chữ số mà cả hai chữ số đều chẵn.

Bài 3/trang 54 SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao:

Đề bài: Khối 11 của một trường THPT có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.

1. Nhà trường sẽ chọn 1 học sinh của khối 11 đi dự đại hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường sẽ có bao nhiêu cách chọn?

2. Nhà trường sẽ chọn 2 học sinh trong đó sẽ có 1 nam, 1 nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường sẽ có bao nhiêu cách chọn?

Hướng dẫn giải:

1. Áp dụng quy tắc cộng, nhà trường sẽ có tất cả: 280 + 325 = 605 cách chọn học sinh đi dự trại hè.

2. Áp dụng quy tắc nhân, nhà trường sẽ có tất cả: 280. 325 = 91000 cách chọn học sinh đi dự trại hè.

Bài 4/trang 54 SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao:

Đề bài: Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên mà?

1. Có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)?

2. Có 4 chữ số khác nhau?

Hướng dẫn giải:

1. Đặt số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

- a sẽ có 4 cách chọn

- b sẽ có 4 cách chọn

- c sẽ có 4 cách chọn

- d sẽ có 4 cách chọn ( do 4 chữ số không yêu cầu khác nhau)

Áp dụng quy tắc nhân có: 4.4.4.4 = 256 cách chọn số có 4 chữ số mà các chữ số không nhất thiết phải khác nhau.

2. Đặt số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

- a sẽ có 4 cách chọn

- b sẽ có 3 cách chọn

- c sẽ có 2 cách chọn

- d sẽ có 1 cách chọn ( do 4 chữ số khác nhau)

Áp dụng quy tắc nhân có: 4.3.2.1 = 24 cách chọn số có 4 chữ số mà các chữ số không nhất thiết phải khác nhau.

Trên đây, là toàn bộ lý thuyết về hai quy tắc đếm cơ bản và một số bài tập toán 11 nâng cao phần này được trích từ SGK 11 Đại số và giải tích nâng cao. Cảm ơn các em đã theo dõi tài liệu này.