Đề bài - đề số 16 - đề kiểm tra học kì 1 - toán 9

• Đề bài
• LG bài 1
• LG bài 2
• LG bài 3
• LG bài 4

Đề bài

Câu 1 [1,5 điểm]:Thực hiện phép tính

a] \[2\sqrt {50} - 3\sqrt {32} - \sqrt {162} + 5\sqrt {98} \]

b] \[\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } + \sqrt {11 - 4\sqrt 7 } \]

c] \[\dfrac{{10}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{8}{{3 + \sqrt 5 }} - \dfrac{{\sqrt {18} - 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt 5 }}\]

Câu 2 [2,0 điểm]:Cho biểu thức \[P = \left[ {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right]\], với \[x \ge 0\]và \[x \ne 9\]

a] Rút gọnP.

b] TìmxđểPđạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3 [1,5 điểm]:Cho hàm số\[y = 0,5x\] có đồ thị là \[\left[ {{d_1}} \right]\]và hàm số \[y = - x + 3\] có đồ thị là \[\left[ {{d_2}} \right]\].

a] Vẽ \[\left[ {{d_1}} \right]\] và \[\left[ {{d_2}} \right]\] trên cùng một mặt phẳng tọa độOxy.

b] Xác định các hệ sốa, bcủa đường thẳng \[\left[ {{d_3}} \right]\]\[:\,\,y = ax + b\]. Biết \[\left[ {{d_3}} \right]\] song song với \[\left[ {{d_1}} \right]\] và \[\left[ {{d_3}} \right]\] cắt \[\left[ {{d_2}} \right]\] tại một điểm có hoành độ bằng 4.

Câu 4 [4,5 điểm]:1.Một cột đèn cao 7mcó bóng trên mặt đất 4m. Cùng thời điểm đó, một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 60m. Hãy cho biết tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3m. [Hình vẽ minh họa]

2.Cho \[\Delta ABC\,\,[AB < AC]\] nội tiếp đường tròn \[\left[ O \right]\]cóBClà đường kính, vẽ đường caoAHcủa \[\Delta ABC\]. \[[H \in BC]\]

a] Biết \[AB = 6cm,\,\,AC = 8cm\]. Tính độ dàiAHvàHB.

b] Tiếp tuyến tạiAcủa \[\left[ O \right]\] cắt các tiếp tuyến tạiBvàClần lượt tạiMvàN. Chứng minh \[MN = MB + NC\] và \[\angle MON = {90^o}\].

c] Trên cạnhAClấy điểmEsao cho \[AB = AE\], gọiIlà trung điểm củaBE. Chứng minh 3 điểmM, I, Othẳng hàng.

d] Chứng minhHIlà tia phân giác của \[\angle AHC\].

Câu 5 [0,5 điểm]: Xe lăn cho người khuyết tật.

Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất ra những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu là 500 triệu đồng [dùng để mua nguyên vật liệu và thiết bị sản xuất]. Chi phí để sản xuất ra một chiếc xe lăn là 2,5 triệu đồng. Giá bán ra thị trường mỗi chiếc là 3 triệu đồng.

a] Em hãy viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra đượcxchiếc xe lăn [gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất] và hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán raxchiếc xe lăn.

b] Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe lăn với giá trên mới có thể thu hồi được đủ số tiền vốn đã đầu tư ban đầu? [Gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất]

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

Thực hiện phép tính

a] \[2\sqrt {50} - 3\sqrt {32} - \sqrt {162} + 5\sqrt {98} \]\[\; = 10\sqrt 2 - 12\sqrt 2 - 9\sqrt 2 + 35\sqrt 2 = 24\sqrt 2 .\]

\[\begin{array}{l}b]\;\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } + \sqrt {11 - 4\sqrt 7 } \\= \sqrt {{{\left[ {\sqrt 7 + 1} \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {\sqrt 7 - 2} \right]}^2}}\\ = \left| {\sqrt 7 + 1} \right| + \left| {\sqrt 7 - 2} \right|\\ = \sqrt 7 + 1 + \sqrt 7 - 2 = 2\sqrt 7 - 1.\end{array}\]\[\begin{array}{l}c]\;\dfrac{{10}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{8}{{3 + \sqrt 5 }} - \dfrac{{\sqrt {18} - 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 - \sqrt 5 }}\\ = 2\sqrt 5 + \dfrac{{8\left[ {3 - \sqrt 5 } \right]}}{{9 - 5}} - \dfrac{{3\left[ {\sqrt 2 - \sqrt 5 } \right]}}{{\sqrt 2 - \sqrt 5 }}\\ = 2\sqrt 5 + 2\left[ {3 - \sqrt 5 } \right] - 3 \\= 2\sqrt 5 + 6 - 2\sqrt 5 - 3 = 3\end{array}\]

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

Cho biểu thức\[P = \left[ {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right]\], với\[x \ge 0\]và\[x \ne 9\]

a] Rút gọnP.

\[\begin{array}{l}P = \left[ {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right]:\left[ {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right]\\\;\;\; = \dfrac{{2\sqrt x \left[ {\sqrt x - 3} \right] + \sqrt x \left[ {\sqrt x + 3} \right] - \left[ {3x + 3} \right]}}{{\left[ {\sqrt x + 3} \right]\left[ {\sqrt x - 3} \right]}}:\dfrac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}\\\;\;\; = \dfrac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left[ {\sqrt x + 3} \right]\left[ {\sqrt x - 3} \right]}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} \\\;\;\;= \dfrac{{ - 3\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}{{\left[ {\sqrt x + 3} \right]\left[ {\sqrt x - 3} \right]}}.\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\]

b] TìmxđểPđạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có\[\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \ge 3 \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} \ge \dfrac{{ - 3}}{3} = - 1\]

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\] [tmđk]

Vậy \[{P_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow x = 0\]

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số\[y = 0,5x\]có đồ thị là\[\left[ {{d_1}} \right]\]và hàm số\[y = - x + 3\]có đồ thị là\[\left[ {{d_2}} \right]\].

a] Vẽ\[\left[ {{d_1}} \right]\]và\[\left[ {{d_2}} \right]\]trên cùng một mặt phẳng tọa độOxy.

\[ \Rightarrow \left[ {{d_1}} \right]\] là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm \[\left[ {2;1} \right]\]

\[ \Rightarrow \left[ {{d_2}} \right]\] là đường thẳng đi qua 2 điểm \[\left[ {0;3} \right]\] và \[\left[ {3;0} \right]\]

b] Xác định các hệ sốa, bcủa đường thẳng\[\left[ {{d_3}} \right]\]\[:\,\,y = ax + b\]. Biết\[\left[ {{d_3}} \right]\]song song với\[\left[ {{d_1}} \right]\]và\[\left[ {{d_3}} \right]\]cắt\[\left[ {{d_2}} \right]\]tại một điểm có hoành độ bằng 4.

\[\left[ {{d_3}} \right]//\left[ {{d_1}} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b \ne 0\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\left[ {{d_3}} \right]:\,\,y = \dfrac{1}{2}x + b\]

Gọi \[A\left[ {4;{y_0}} \right]\] là giao điểm của \[\left[ {{d_3}} \right]\] và \[\left[ {{d_2}} \right]\]

\[A\left[ {4;{y_0}} \right] \in \left[ {{d_2}} \right] \Leftrightarrow {y_0} = - 4 + 3 = - 1 \Rightarrow A\left[ {4; - 1} \right]\]

\[A\left[ {4; - 1} \right] \in \left[ {{d_3}} \right] \Leftrightarrow - 1 = \dfrac{1}{2}.4 + b \Leftrightarrow - 1 = 2 + b \Leftrightarrow b = - 3\] [tmđk \[b \ne 0\]]

Vậy \[\left[ {{d_3}} \right]:y = \dfrac{1}{2}x - 3\].

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

1.Một cột đèn cao 7mcó bóng trên mặt đất 4m. Cùng thời điểm đó, một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 60m. Hãy cho biết tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3m. [Hình vẽ minh họa]

Gọihlà chiều cao tòa nhà cần tìm, \[\alpha \]là góc tia nắng mặt trời tạo với mặt đáy lúc ấy.

Khi đó ta có: \[\tan \alpha = \dfrac{7}{4} = \dfrac{h}{{60}} \Rightarrow h = 105\,\,[m]\]

Vậy tòa nhà có\[105:3 = 35\] [tầng]

2.Cho\[\Delta ABC\,\,[AB < AC]\]nội tiếp đường tròn\[\left[ O \right]\]cóBClà đường kính, vẽ đường caoAHcủa\[\Delta ABC\].\[[H \in BC]\]

a] Biết\[AB = 6cm,\,\,AC = 8cm\]. Tính độ dàiAHvàHB.

\[\Delta ABC\,\] nội tiếp đường tròn \[\left[ O \right]\] cóBClà đường kính

\[ \Rightarrow \angle BAC = {90^o}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]

\[ \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tạiA

Áp dụng định lý Py-ta-go vào \[\Delta ABC\] vuông tạiAta được:

\[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = \sqrt {100} = 10\,\,[cm]\]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giácABCvuông tạiA,

đường caoAHta được:

\[A{B^2} = HB.BC \Rightarrow HB = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\,\,[cm]\]

Áp dụng định lý Py-ta-go vào \[\Delta ABH\] vuông tạiHta được:

\[AH = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{6^2} - 3,{6^2}} = \sqrt {23,04} = 4,8\,\,[cm]\]

b] Tiếp tuyến tạiAcủa\[\left[ O \right]\]cắt các tiếp tuyến tạiBvàClần lượt tạiMvàN. Chứng minh\[MN = MB + NC\]và\[\angle MON = {90^o}\]

Ta cóMA, MBlà hai tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\] cắt nhau tạiM

\[ \Rightarrow \]\[MA = MB\] vàOMlà phân giác của \[\angle AOB\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]

Ta cóNA, NClà hai tiếp tuyến của \[\left[ O \right]\] cắt nhau tạiN

\[ \Rightarrow \]\[NA = NC\]vàONlà phân giác của \[\angle AOC\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]

Mà \[MN = MA + NA\,\,\,[A \in MN]\]nên \[MN = MB + NC\;\;\left[ {dpcm} \right]\]

OM, ONlần lượt là phân giác \[\angle AOB\] và \[\angle AOC\] [cmt]

Mà \[\angle AOB\] và \[\angle AOC\] là 2 góc kề bù nên \[\angle MON = {90^o}.\]

c] Trên cạnhAClấy điểmEsao cho\[AB = AE\], gọiIlà trung điểm củaBE. Chứng minh 3 điểmM, I, Othẳng hàng.

CóIlà trung điểm củaBE\[ \Rightarrow \]AIlà trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác \[\Delta ABE\] vuông tạiA

\[ \Rightarrow \]\[IA = IB = IE = \dfrac{1}{2}BE\] [tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông]

Ta có \[MA = MB\] [cmt] \[ \Rightarrow \]Mthuộc đường trung trực củaAB [1]

\[OA = OB\,\,[ = R]\]\[ \Rightarrow \]Othuộc đường trung trực củaAB [2]

\[IA = IB\] [cmt] \[ \Rightarrow \]Ithuộc đường trung trực củaAB [3]

Từ [1], [2], [3] \[ \Rightarrow \] 3 điểmM, I, Othẳng hàng.

d] Chứng minhHIlà tia phân giác của\[\angle AHC\]

TừEkẻ \[EP \bot BC\] tạiPvà \[EQ \bot AH\] tạiQ.

\[ \Rightarrow HPEQ\] là hình chữ nhật \[ \Rightarrow \]\[QE = HP\]

Ta có \[\angle ABC + \angle ACB = {90^o}\] [\[\Delta ABC\] vuông tạiA]

\[\angle HAC + \angle ACB = {90^o}\][\[\Delta AHC\] vuông tạiH]

\[ \Rightarrow \angle ABC = \angle HAC\]hay \[\angle ABH = \angle QAE\]

Xét \[\Delta BHA\] và\[\Delta AQE\]có:\[\angle BHA = \angle AQE\,\,[ = {90^o}]\]; \[\angle ABH = \angle QAE\] [cmt]; \[AB = AE\] [gt]

\[ \Rightarrow \Delta BHA = \Delta AQE\] [ch-gn]\[ \Rightarrow AH = QE = HP\]

Ta có \[\Delta BPE\] vuông tạiP,Ilà trung điểm củaBE

\[ \Rightarrow \]\[PI = \dfrac{1}{2}BE\][tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông]

Mà \[AI = \dfrac{1}{2}BE\][cmt] \[ \Rightarrow AI = PI\]

Xét \[\Delta AHI\] và \[\Delta PHI\] có:HIchung; \[AI = PI\] [cmt]; \[AH = HP\] [cmt]

\[ \Rightarrow \Delta AHI = \Delta PHI\] [c-c-c] \[ \Rightarrow \angle AHI = \angle PHI\] [2 góc tương ứng]

\[ \Rightarrow \]HIlà tia phân giác của \[\angle AHC\;\;\left[ {dpcm} \right].\]

Câu 5:

Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật hiện nay, người ta tạo ra nhiều mẫu xe lăn đẹp và tiện dụng cho người khuyết tật. Công ty A đã sản xuất ra những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu là 500 triệu đồng [dùng để mua nguyên vật liệu và thiết bị sản xuất]. Chi phí để sản xuất ra một chiếc xe lăn là 2,5 triệu đồng. Giá bán ra thị trường mỗi chiếc là 3 triệu đồng.

a] Em hãy viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra đượcxchiếc xe lăn [gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất] và hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán raxchiếc xe lăn.

Đơn vị tính là triệu đồng.

Hàm số biểu diễn tổng số tiền đã đầu tư đến khi sản xuất ra đượcxchiếc xe lăn là:

\[y = 2,5x + 500\,\,\,\,\,\,[1]\]

Hàm số biểu diễn số tiền thu được khi bán raxchiếc xe lăn là: \[y = 3x\,\,\,[2]\]

b] Công ty A phải bán bao nhiêu chiếc xe lăn với giá trên mới có thể thu hồi được đủ số tiền vốn đã đầu tư ban đầu? [Gồm vốn ban đầu và chi phí sản xuất]

Gọi \[x\;\;\left[ {x \in {N^*}} \right]\] là số chiếc xe lăn bán ra đủ để thu lại vốn.

Để thu được số vốn ban đầu thì số tiền vốn ban đầu phải bằng số tiền thu được.

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 2,5\;x + 500 = 3x \Leftrightarrow x = 1000\;\;\left[ {tm} \right].\\ \Rightarrow y = 3.1000 = 3000.\end{array}\]

Vậy bán 1000 chiếc thu hồi đủ vốn đầu tư ban đầu là 3 tỉ đồng

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com

Video liên quan