Đề bài
Với một hình nón có bán kính đường tròn đáy là \[r [cm]\] và chiều cao \[2r [cm]\] và một hình cầu bán kính \[r [cm].\] Hãy tính:
a] Diện tích mặt cầu, biết diện tích toàn phần của hình nón là \[21,06\;\left[ {c{m^2}} \right]\].
b] Thể tích hình nón, biết thể tích hình cầu là \[15,8\;\left[ {c{m^3}} \right]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Diện tích xung quanh của hình nón: \[{S_{xq}} = \pi rl\].
- Diện tích toàn phần của hình nón: \[{S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\].
- Thể tích hình nón:\[\displaystyle V = {1 \over 3}\pi {r^2}h\].
[\[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[ l\] là đường sinh, \[h\] là chiều cao hình nón].
- Diện tích mặt cầu bán kính \[r\] là:\[S = 4\pi {r^2}\].
- Thể tích hình cầu bán kính \[r\] là: \[\displaystyle V ={4 \over 3}\pi {r^3}\].
Lời giải chi tiết
Hình nón đỉnh \[A\] có bán kính đáy \[HB=HC=r\] và chiều cao \[AH=2r\]
a] Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \[AHB\], ta có:
\[ A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\]\[\, = 4{r^2} + {r^2} = 5{r^2} \]
\[\Rightarrow AB = r\sqrt 5 \] là đường sinh của hình nón.
Diện tích toàn phần hình nón:
\[ {S_{TP}} = {S_{xq}} + {S _\text{đáy}}\]\[\, = \pi .r.r\sqrt 5 + \pi {r^2}\]\[\,=\pi {r^2}\left[ {\sqrt 5 + 1} \right] \]
\[ {S_{TP}} = 21,06 \]
\[\Rightarrow \pi {r^2}\left[ {\sqrt 5 + 1} \right] = 21,06 \]
\[ \displaystyle \Rightarrow {r^2} = {{21,06} \over {\pi \left[ {\sqrt 5 + 1} \right]}} \]
Diện tích mặt cầu là:
\[ S = 4\pi {r^2} \]
\[\displaystyle S = 4\pi .{{21,06} \over {\pi \left[ {\sqrt 5 + 1} \right]}} \]\[\,\displaystyle= 21,06.\left[ {\sqrt 5 - 1} \right] \approx 26,03\left[ {c{m^2}} \right] \]
b] Thể tích hình cầu là:\[\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {r^3}\]
Thể tích hình cầu bằng\[15,8c{m^3}\]
\[\displaystyle \Rightarrow {4 \over 3}\pi {r^3} =15,8 \]
\[\displaystyle \Rightarrow {r^3} = {{47,4} \over {4\pi }} = {{23,7} \over {2\pi }}\]
Thể tích hình nón là:
\[\displaystyle V = {1 \over 3}\pi {r^2}.h = {1 \over 3}\pi {r^2}.2r = {2 \over 3}\pi {r^3} \]
\[\displaystyle \Rightarrow V = {2 \over 3}\pi .{{23,7} \over {2\pi }} = {{23,7} \over 3} \]\[\,= 7,9\left[ {c{m^3}} \right] \].