Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], \[\widehat B = 60^\circ \]và \[BC = 2a\] [đơn vị độ dài]. Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh huyền \[BC\]. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo thành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Diện tích xung quanh của hình nón: \[{S_{xq}} = \pi rl\].
- Thể tích hình nón:\[\displaystyle V = {1 \over 3}\pi {r^2}h\].
[\[r\] là bán kính đường tròn đáy, \[ l\] là đường sinh, \[h\] là chiều cao].
Lời giải chi tiết
Khi quay tam giác vuông \[ABC\] một vòng xung quanh cạnh huyền \[BC\] ta thu được hai hình nón có đáy úp vào nhau, bán kính đường tròn đáy bằng đường cao \[AH\] kẻ từ \[A\] đến cạnh huyền \[BC\].
Trong tam giác vuông \[ABC\] ta có:
+] \[ AB = BC. \cos B = 2a. \cos60^o\]\[\,\displaystyle= 2a.{1 \over 2} = a\]
+] \[AC = BC. \sin B = 2a. \sin60^o\]\[\,\displaystyle =2a.{{\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3 \]
+] \[AB.AC=AH.BC\] [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
\[\Rightarrow AH =\displaystyle {{AB.AC} \over {BC}} = {{a.a\sqrt 3 } \over {2a}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
Diện tích xung quanh hình tạo thành là:
\[S = π. AH. AB + π AH. AC\]\[= π. AH. [AB+AC]\]
\[\displaystyle = \pi .{{a\sqrt 3 } \over 2}[a + a\sqrt 3 ] \]\[\,\displaystyle = {{\pi {a^2}[3 + \sqrt 3 ]} \over 2}\][đơn vị diện tích]
Thể tích hình tạo thành là:
\[V = \displaystyle{1 \over 3}\pi A{H^2}.BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}.HC\]\[\,\displaystyle = {1 \over 3}\pi A{H^2}.[BH + HC]\]
\[V = \displaystyle {1 \over 3}\pi A{H^2}.BC = {1 \over 3}\pi {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2}.2a \]\[\,\displaystyle= {1 \over 3}\pi. {{{a^2}.3} \over 4}.2a = {{\pi {a^3}} \over 2} \].