Đề bài
Từ các đỉnh của tam giác \[ABC\] ta kẻ các đoạn thẳng \[AA\], \[BB\], \[CC\] song song, cùng chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi \[I\], \[G\] và \[K\] lần lượt là trọng tâm của các tam giác \[ABC\], \[ACC\], \[ABC\].
a] Chứng minh \[\left[ {IGK} \right]\parallel \left[ {BB'CC'} \right]\].
b] Chứng minh rằng \[\left[ {A'GK} \right]\parallel \left[ {AIB'} \right]\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
\[\left\{ \begin{array}{l}d\text{ cắt } d'; d\text{ và }d'\subset [\alpha]\\d\parallel[\beta ]\\d'\parallel[\beta]\end{array}\right. \Rightarrow [\alpha]\parallel [\beta]\]
Bài toán sử dụng tính chất của trong tâm, định lý Talet.
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[E\], \[F\], \[M\] lần lượt là trung điểm của là trung điểm của \[BC\], \[B'C'\], \[CC'\].
\[I\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\]
\[\Rightarrow \dfrac{AI}{AE}=\dfrac{2}{3}\].
\[G\] là trọng tâm của tam giác \[ACC'\]
\[\Rightarrow\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{2}{3}\].
Từ đó suy ra\[\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{2}{3}\].
\[\Rightarrow IG\parallel EM\] mà \[EM\subset [BB'C'C]\]
\[\Rightarrow IG\parallel [BB'C'C]\text{ [1]}\]
\[K\] là trọng tâm của tam giác \[[A'B'C']\] khi đó \[\dfrac{A'K}{A'F}=\dfrac{2}{3}\].
Từ đó suy ra\[\dfrac{AI}{AE}=\dfrac{AK}{AF}=\dfrac{2}{3}\].
\[\Rightarrow IK\parallel AA'\] mà \[AA'\parallel BB'\]
\[\Rightarrow IK\parallel BB'\] mà \[BB'\subset [BB'C'C]\]
\[\Rightarrow IK\parallel [BB'C'C]\text{ [2]}\]
Mà \[IG, IK\subset[IGK]\text{ [3]}\]
Từ \[\text{[1]}\],\[\text{[2]}\] và\[\text{[3]}\] suy ra \[[IGK]\parallel [BB'C'C]\].
b] Do \[E\in AI, AI\subset [AIB']\]
\[\Rightarrow E\in [AIB']\]
\[C\in A'G, A'G\subset [A'GK]\]
\[\Rightarrow C\in [A'GK]\]
Ta có \[B'E\parallel FC\] [do tứ giác \[B'FCG\] là hình bình hành].
Khi đó \[B'E\parallel [A'GK]\] \[\text{[1]}\]
\[AI\parallel A'K\][do tứ giác \[A'FEA\] là hình bình hành].
Khi đó\[AI\parallel [A'GK]\] \[\text{[2]}\]
Mà \[B'E \text{ và } AI \subset [AIB']\]\[\text{[3]}\]
Từ\[\text{[1]}\],\[\text{[2]}\],\[\text{[3]}\] suy ra\[\left[ {A'GK} \right]\parallel \left[ {AIB'} \right]\].