Dạy nguyên hàm tích phân theo tư duy thuật toán năm 2024

Dưới đây là những chia sẻ của thầy Phạm Bắc Phú giúp phát triển năng lực toán học trong quá trình dạy học phương pháp và kĩ thuật tìm nguyên hàm - tích phân.

Các kiến thức cơ bản

Những kiến thức cơ bản được thầy Phạm Bắc Phú đưa ra gồm:

Ba phương pháp cơ bản tìm nguyên hàm – tích phân, cụ thể: Phương pháp sử dụng định nghĩa và tính chất...; phương pháp đổi biến số; phương pháp nguyên hàm – tích phân từng phần.

Một số kĩ thuật điển hình tìm nguyên hàm – tích phân: Sử dụng phép biến đổi vi phân; nhân, chia với đại lượng thích hợp để biến đổi vi phân hay đổi biến;

Phân tích biểu thức trên tử theo mẫu và đạo hàm của nhân tử dưới mẫu; đổi biến không làm thay đổi cận tích phân; kĩ thuật ghép cặp để tìm nguyên hàm, tích phân; sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ việc tính tích phân...

Những lưu ý quan trọng

Điều đầu tiên thầy Phạm Bắc Phú đề cập đến là việc hệ thống hóa kiến thức cơ bản nhất. Đối với học sinh không đòi hỏi lí thuyết quá chuyên sâu vì nguyên hàm – tích phân là một nội dung phức tạp của Toán sơ cấp và cao cấp; ở phạm vi THPT chỉ dừng lại ở mức độ: Nguyên hàm xem như là phép toán ngược của đạo hàm và tích phân được tính qua công thức Newton-Leibniz.

Thứ hai: Hệ thống các biến đổi chung cho từng phương pháp.

Thứ ba: Khái quát các quy trình, cách thức giải bài tập theo từng phương pháp cụ thể. Trong đó có: Quy trình tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số; quy trình tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số; các tiêu chí chọn u và dv, "khẩu quyết" thường dùng; cách thức phát hiện ra biến mới để biến đổi biến hay biến đổi vi phân.

Thứ tư: Hệ thống hóa bài tập theo phương pháp, theo kĩ thuật, theo dạng hàm. Đối với giáo viên, đây là phần tư liệu chuyên môn hữu ích cho quá trình dạy học phân hóa.

Thứ năm: Tìm hiểu nguyên lí tạo ra bài tập, nguyên lí tạo ra tình huống mong muốn trong bài tập, sáng tạo những bài toán mới.

Tuân thủ bốn bước giải Toán

Đối với mỗi bài toán cụ thể, lưu ý của thầy Phạm Bắc Phú là cần tuân thủ bốn bước giải Toán nói chung. Đây là điểm đặc biệt quan trọng quyết định sự hình thành và phát triển các năng lực toán học ở người làm toán.

Đồng thời, thực hiện các biện pháp vấn đáp, đàm thoại, tự vấn đáp; qua hoạt động ngôn ngữ này sẽ kích thích tư duy hướng đích của người làm toán.

Với hoạt động này, thầy Phạm Bắc Phú cho biết mình chú trọng những khâu sau:

Thứ nhất: Tiếp cận và phân tích bài toán nguyên hàm – tích phân. Cụ thể: Bài toán có quen thuộc, tương tự như bài đã làm hay công thức cơ bản nào không? Hàm số trong bài có giống một biểu thức hay một phần của phương trình nào đã gặp không?

Phân chia hàm dưới dấu tích phân thành các bộ phận, chúng có quan hệ đặc biệt như thế nào? (lưu ý các quan hệ: Quan hệ bao hàm, biểu diễn cái nọ theo cái kia, quan hệ là đạo hàm của nhau, quan hệ về bậc, …);

Có thể thực hiện được các biến đổi đặc trưng nào của loại hàm số này: Chia (đối với hàm phân thức), biến đổi hạ bậc – nhân đôi – tích thành tổng … (đối với hàm lượng giác), trục căn (đối với hàm vô tỉ)...;

Quyết định chọn phương pháp nào trong ba phương pháp cơ bản? Biến mới là gì? Có những cách chọn nào cho u và dv, hãy thử? Hãy thử làm theo dạng tích phân đặc biệt?

Thứ hai: Tiến hành theo cách đã lựa chọn. Nếu không thực hiện được tiếp, cần trả lời các câu hỏi: Khó khăn lớn nhất xuất hiện ở đây là gì? Biến đổi nào phá bỏ được nó? Hãy quay lại bước phân tích.

Thứ ba: Trình bày lời giải một cách ngắn gọn nhất, đảm bảo chính xác.

Thứ tư: Những kinh nghiệm thu được từ quá trình trên, cụ thể: Dạng nguyên hàm – tích phân tổng quát cho bài này là gì? Những kĩ thuật nào giúp giải dạng đó? Biến đổi then chốt của cách làm trên là biến đổi nào? – hãy ghi nhớ.

Còn cách giải nào khác? Còn cách trình bày nào khác? Bước biến đổi không thành công ở trên dẫn tới bài toán mới nào? Hãy tạo ra những bài toán cùng dạng. Hãy thay đổi hình thức bài toán qua phép đổi biến...

Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: [email protected] Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh

Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016.

Dạng bài tập tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập minh họa giúp các em tự tin khi làm dạng bài này. Tham khảo ngay trong bài viết dưới đây nhé!

1. Phương pháp đổi biến số là gì?

Phương pháp đổi biến số là một trong những phương pháp được dùng rất nhiều khi giải bài tập vì khi sử dụng phương pháp này, việc xử lý bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn.

Một số công thức nguyên hàm được sử dụng khi đổi biến số:

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = (3x + 2)^{3}$

Giải:

Ví dụ 2: Tính tích phân sau $I=-\int_{1}^{0}x(1-x){19}dx$

Giải:

2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và ví dụ

Để tìm nguyên hàm thông thường người ta sẽ sử dụng 2 phương pháp đổi biến số nguyên hàm sau: phương pháp đổi biến số loại 1 và phương pháp biến đổi biến số loại 2.

2.1. Phương pháp đổi biến số loại 1

Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 1 ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Đặt ẩn phụ t = u(x)
• Bước 2: Tính vi phân dt = u'(x)dx
• Bước 3: Biểu thị f(x) và d(x) theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt
• Nếu hàm số:

$\int(x)$ có chứa $\sqrt[n]{g(x)}$ đặt $t=\sqrt[n]{g(x)} \Leftrightarrow t^{n}=g(x) \Rightarrow n.t^{n-1}dt=g'(x)dx$

• Nếu hàm số:

$\int(x)$ có chứa $(ax+b)^{n}$ đặt $t=ax+b \Rightarrow dt= adx$ hoặc $x=\frac{t-b}{a}$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm sau:

1. $\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$

2. $\int x^{3} \sqrt{x^{2}+9}dx$

Giải:

2.2. Phương pháp đổi biến số loại 2

Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 2 ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Đặt ẩn phụ x = u(t)
• Bước 2: Tìm vi phân dx = u'(t)dx
• Bước 3: Biểu thị hàm số f(x) và d(x) theo t và dt.

Giả sử f(x)dx = g(t)dt

• Bước 4: Tìm $I = \int g(t)dt$

Ví dụ: Tìm nguyên hàm:

1. $\int xe^{x^{2}}dx$

2. $\int \frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}$

Giải:

Tham khảo ngay bộ tài liệu ôn tập kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc Gia

3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

3.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1

Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1 ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Đặt t = u(x) đổi cận ta có:
• $x = a \Rightarrow t = u(a) = a'$
• Hoặc $x = b \Rightarrow t = u(b) = b'$
• Bước 2: Tìm vi phân dt = u'(x)dx
• Bước 3: Biến đổi f(x)dx thành g(t)dt
• Bước 4: Tích phân $\int^{b}_{a}f(x)dx=\int^{b'}_{a'}g(t)dt$

Ví dụ: Tính tích phân sau đây:

1. $\int^{\frac{π}{2}}_{0}sin^{2}x cos^{3}xdx$

2. $\int^{e\frac{π}{2}}_{0}\frac{cos(Inx)}{x}dx$

Giải:

3.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2

Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Đặt x = u(t) đổi cận ta có:

$x = a \Rightarrow t = a'$ hoặc $x = b \Rightarrow t = b'$

• Bước 2: Tìm vi phân hai vế dx = u'(t)dt
• Bước 3: Biến đổi $f(x)dx = f(u)(t)).u'(t)dt = g(t)dx$
• Bước 4: Tính tích phân theo công thức $\int^{b}_{a}f(x)dx = \int^{b'}_{a'}g(t)dt$

Ví dụ: Tính tích phân: $I = \int^{2}_{1}x^{2}\sqrt{4-x^{2}}dx$

Giải:

4. Các bài tập về phương pháp đổi biến số giải nguyên hàm, tích phân

Để nắm chắc kiến thức, các em hãy tham khảo những bài tập về phương pháp đổi biến số nguyên hàm, tích phân dưới đây nhé!

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: $\int \frac{2sinx}{1+3cosx}dx$

Giải:

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau $\int \frac{In^{2}x-1}{xInx}dx$

Giải:

Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: $\int xe^{x^{2}}dx$

Giải:

Ví dụ 4: Tính nguyên hàm $\int \frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx$

Giải:

Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $\int \frac{x}{(2x+1)^{3}}$

Giải:

Ví dụ 6: Tính tích phân $I=\int^{1}_{0}\frac{1}{1+x^{2}}dx$

Giải:

Ví dụ 7: Tính tích phân $I=\int^{1}_{0}\sqrt{1-x^{2}}dx$

Giải:

Ví dụ 8: Tính tích phân của $I=\int_{0}^{1}x{5}(1-x^{3})^{6}dx$

Giải:

Ví dụ 9: Tính tích phân $I=\int^{0}_{-1}x^{2}(1-x)^{9}dx$

Giải:

Ví dụ 10: Tính tích phân $I=\int^{1}_{0}(1+3x)(1+2x+3x^{2})^{10}dx$

Giải:

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm phù hợp và đạt hiệu quả cao nhất

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức về tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi biến số và các dạng bài thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết trên, các em có thể tự tin làm bài tập khi sử dụng phương pháp đổi biến số. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 12, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!