Các dạng bài tập về cực trị hàm số năm 2024
Tài liệu gồm 24 trang với các nội dung gồm tóm tắt lý thuyết cực trị hàm số, các dạng bài tập và bài tập vận dụng. Show
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Ở chương trình toán 12 chúng ta sẽ tìm hiểu sâu xa về lý thuyết cực trị và khai thác nhiều dạng bài tập khác nhau. Đây cũng là một trong những điểm kiến thức cực kì quan trọng trong kỳ thi THPTQG những năm qua. Bài viết sau đây, VerbaLearn sẽ giúp bạn đọc nắm vững điểm kiến thức này thông qua phần lý thuyết, phân dạng bài tập và một số tài liệu hỗ trợ học tập. Định nghĩa về cực trị của hàm số và hình ảnh minh họa [VerbaLearn.org]Khái niệm cực trị được hiểu đơn giản như sau: Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Trong toán học ta cần định nghĩa rõ ràng hơn về lý thuyết cực trị của một hàm số bất kỳ. Định nghĩaGiả sử hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K
→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
→ Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Chú ý:
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Định lí 1Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0. Chú ý:
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2
Định lí 3Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
Phân dạng bài tậpDạng 1: Tính đạo hàm để tìm cực trị của hàm số y = f(x)Phương pháp giảiQuy tắc I
Quy tắc II
Ghi nhớ: Quy tắc II không dùng được trong trường hợp f’(x) = 0 vô nghiệm hoặc Bài tập vận dụngCâu 1. Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời giải Chọn B Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y’ = 4x3 – 4x = 4x (x2 – 1) y’ = 0 Giới hạn: Bảng biến thiên Ta thấy: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, giá trị cực tiểu là yCT = 0; hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là yCĐ = 1. Do đó hàm số có ba cực trị. Câu 2. Tìm điểm cực đại x0 của hàm số y = x3 – 3x +1.
Lời giải Chọn C Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y’ = 3x2 – 3 y’ = 0 Giới hạn: Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x0 = -1. Câu 3. Hàm số có bao nhiêu cực trị?
Lời giải Chọn B Tập xác định: D = ℝ \{2} Ta có Giới hạn Bảng biến thiên Ta thấy hàm số đã cho không có cực trị. Dạng 2: Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên hoặc đạo hàm (cho sẵn).Một số tính chất cần lưu ýCho hàm số f(x), g(x) cùng có đạo hàm trên tập D. Khi đó: – [k․f(x)]’ = k․f’(x) với k là hằng số – [f(x)․g(x)]’ = f’(x)․g(x) + f(x)․g’(x) – [f(u)]’ = u’․f’(u) – [f(x) ± g(x)]’ = f’(x) ± g’(x) – – y = f(x) y = f(u) Phương pháp chung– Đặt g(x) là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm g’(x). – Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức để có được bảng xét dấu cho g’(x). – Dựa vào bảng xét dấu dành cho g’(x) để kết luận về cực trị của hàm số. – Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức: Bài tập vận dụngCâu 1. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 Tại x = 0 mặc dù đạo hàm f’(x) không tồn tại nhưng hàm số f(x) vẫn xác định và liên tục nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên: Khẳng định nào sau đây sai?
Lời giải Chọn D Tại x = 0 dù đạo hàm không xác định nhưng hàm số y = f(x) vẫn xác định và liên tục nên hàm số đạt cực đại tại x = 0. Tại x = 4 thì hàm số y = f(x) không xác định, vì vậy hàm số không có cực trị tại x = 4. Do đó hàm số chỉ có duy nhất một cực trị. Câu 3. Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x) có y’ = (1 + x)(x + 2)2(x – 3)3(1 – x2). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
Lời giải Chọn B Xét đạo hàm: y’ = (1 + x)(x + 2)2(x – 3)3(1 – x2) = (1 + x)2(x + 2)2(x – 3)3(1 – x) y’ = 0 Vì x = -1, x = -2 là các nghiệm kép của y’ nên y’ không đổi dấu khi qua hai điểm này; x = 1, x = 3 là nghiệm kép của y’ nên y’ đổi dấu khi qua các điểm x = 1, x = 3. Do đó hàm số có hai điểm cực trị x = 1, x = 3. Cần nhớ: Cho n là số nguyên dương. ⇔ (x – x1)2 = 0 ⇔ x = x1 (ta nói x1 là nghiệm kép của phương trình). ⇔ (x – x2)1 = 0 ⇔ x = x2 (ta nói x2 là nghiệm đơn của phương trình).Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu f’(x) như sau Hỏi hàm số y = f (x2 – 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Lời giải Chọn D Đặt g(x) = f (x2 – 2x) Ta có g’(x) = (2x – 2)․f’(x2 – 2x) Xét g’(x) ≥ 0 ⇔ (2x – 2)․f’(x2 – 2x) ≥ 0 Hợp nghiệm của (*), (**) ta có g’(x) ≥ 0 Do đó g’(x) ≤ 0 Ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số y = g(x) = f (x2 – 2x) có đúng 1 điểm cực tiểu là x = 1. Câu 5. Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Bảng xét dấu bên dưới là của đạo hàm f’(x). Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị? A .1
Lời giải Chọn C Ta có g’(x) = 0 Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số có 3 điểm cực trị. Lưu ý: Để xét dấu g’(x) , ta chọn một giá trị x0 thuộc khoảng đang xét rồi thay vào lần lượt các hàm x + 1, để xét dấu chúng. Sau cùng sẽ suy ra dấu của g’(x) là tích của hai hàm trên. Chẳng hạn: – Để xét dấu g’(x) trên khoảng ta chọn giá trị x0 = 2 ∈ , thay số 2 vào x + 1, ta được dấu dương (+), thay 2 vào ta được \> 3 nên mang dấu dương (+) (xem bảng biến thiên ban đầu). Vì vậy mà dấu của g’(x) cũng là dấu dương (+). – Để xét dấu g’(x) trên khoảng , ta chọn giá trị x0 = 1 ∈ , thay số 1 vào x + 1 ta được dấu dương (+), thay số 1 vào ta được ∈ (1;3) do đó mang dấu âm (–) (xem bảng biến thiên ban đầu). Vì vậy mà dấu của g’(x) là dấu âm (–). Bằng cách thức này, ta có thể xét dấu g’(x) trên các khoảng còn lại và có được bảng xét dấu như lời giải trên. Câu 6. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Lời giải Chọn A Hàm số có ba điểm cực trị. Câu 7. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau Tìm giá trị cực đại yCĐ và giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho.
Lời giải Chọn B Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có yCĐ = 3 và yCT = 0 Câu 8. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đạt cực đại tại:
Lời giải Chọn C Hàm số f(x) xác định tại x = 1, f’(1) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ (+) sang (–). Câu 9. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c (a, b, c ∈ ℝ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Lời giải Chọn A Dạng 3: Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của hàm sốPhương pháp giảiTa có: y = ax3 + bx2 + cx + d (*) ⟶ y’ = 3ax2 + 2bx + c Điều kiện để hàm số có n cực trị hoặc không có cực trị. Ta xét bảng sau (a và ∆ là của đạo hàm y’): Từ bảng trên, ta khẳng định– Hàm số (*) có hai cực trị . Ta có thể thay ∆ > 0 bởi ∆’ > 0. – Hàm số (*) có một cực trị – Hàm số (*) có cực trị – Hàm số (*) không có cực trị . Điều kiện cực trị cơ bản– Hàm số có cực trị tại x = x0 Ta có: y’(x0) = 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi kết luận nhận hay loại giá trị m này. – Hàm số đạt cực đại tại x = x0 (hoặc hàm số đạt cực tiểu tại x = x0) Ta có: y’(x0) = 0. Sau khi tìm được m thì thay ngược trở lại để lập bảng biến thiên cho hàm số rồi kết luận nhận hay loại giá trị m này (hoặc có thể thay m tìm được vào đạo hàm cấp hai để xét dấu xem có phù hợp không). Đồ thị hàm số có điểm cực trị là M(x0; y0) Ta có: ⟶ tìm được m. Thay m trở lại đạo hàm để kiểm tra đạo hàm có đổi dấu khi x đi qua x0 hay không. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(xA; yA), B(xB; yB) Ta có: ⟶ tìm được m, n,… Điều kiện cực trị liên quan đến các trục tọa độ: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía trục Oy Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Oy Để ý: Trong điều kiện trên, ta đã thay điều kiện bởi ac < 0. Lý do là hai số trái dấu đồng nghĩa với tích và thương của chúng là một số âm. Một khi a, c trái dấu rồi thì điều kiện a ≠ 0, ∆ = b2 – 4ac > 0 luôn được thỏa mãn Vì vậy Ta có biến đổi tương đương sau đây (phù hợp trắc nghiệm): – Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía trục Ox – Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía trục Ox (trong hai điều kiện trên thì y1, y2 là hai giá trị cực trị của hàm số bậc ba). – Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Ox – Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục Oy (I là điểm uốn) Lưu ý: Cách tìm điểm uốn I đồ thị bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d = 0 là: y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’’ = 6ax + 2b , thay vào hàm số ban đầu để tìm yI ⇒ I(xI; yI). Các công thức giải tích liên quan
Ta có:
(*) có hai nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0 (*) có hai nghiệm dương phân biệt (*) có hai nghiệm âm phân biệt .
Nếu △ABC có thì △ABC ⊥ tại A H52 ⇔ b1c1 + b2c2 = 0 Khoảng cách từ điểm M (xM ; yM ) đến ∆: ax + by + c = 0 là Đặc biệt: d(M; Ox) = |yM|, d(M; Oy) = |xM| Bài tập vận dụngCâu 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = ⅓x3 + mx2 + (m + 6) x – 2m + 1 có cực đại, cực tiểu.
Lời giải Chọn C Tập xác định : D = ℝ Đạo hàm: y’ = x2 + 2mx + m + 6 Ta thấy a = 1 ≠ 0. Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ đổi dấu hai lần trên tập xác định ⇔ ∆’ > 0 ⇔ m2 – (m + 6) > 0 Câu 2. Tìm tất các giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m + 2) x3 + 3x2 + mx – 6 có 2 cực trị ?
Lời giải Chọn A Tập xác định : D = ℝ Đạo hàm: y’ = 3(m + 2) x2 + 6x + m Hàm số có hai cực trị Câu 3. Tập hợp tất cả giá trị của m để hàm số y = = ⅓(m – 1) x3 – mx2 + mx – 5 có cực trị là:
Lời giải Chọn C Tập xác định : D = ℝ Đạo hàm: y’ = (m – 1) x2 – 2mx + m Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = x3 – 2x2 + (m + 3) x – 1 không có cực trị? Lời giải Chọn A Tập xác định : D = ℝ Đạo hàm: y’ = 3x2 – 4x + m + 3 Ta thấy a = 1 ≠ 0. Vậy hàm số không có cực trị ⇔ ∆’ ≤ 0 ⇔ (-2)2 – 3(m + 3) ≤ 0 ⇔ -3m – 5 ≤ 0 ⇔ Câu 5. Giá trị của m để hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1) x + m đạt cực đại tại x = 1 là
Lời giải Chọn C Tập xác định: D = ℝ Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6mx + 3(m2 – 1) Hàm số có cực đại tại x = 1 nên y’(1) = 0 ⇒ 3 – 6m + 3(m2 – 1) = 0 ⇒ Xét m = 0. Ta có y’ = 3x2 – 3; y’’ = 6x. Khi đó y’’(1) = 6 > 0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 (loại m = 0 vì trái giả thiết). Xét m = 2. Ta có y’ = 3x2 – 12x + 9; y’’ = 6x – 12. Khi đó y’’(1) = -6 < 0. Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1. Vậy m = 2 thỏa mãn đề bài. Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx3 + x2 + (m2 – 6) x + 1 đạt cực tiểu tại x = 1
Lời giải Tập xác định : D = ℝ Đạo hàm: y’ = 3mx2 + 2x + m2 – 6 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y’(1) = 0 ⇒ 3m+ 2 + m2 – 6 = 0 ⇒ Xét m = 1. Ta có y’ = 3x2 + 2x – 5; y’’ = 6x + 2. Khi đó y’’(1) = 8 > 0, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1. Vì vậy m = 1 thỏa mãn. Xét m = -4. Ta có y’ = -12x2 + 2x + 10; y’’ = -24x + 2. Khi đó y’’(1) = -22 < 0, suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1. Điều này trái với giả thiết nên ta loại m = -4 . Dạng 4: Bài toán tham số có liên quan đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (*)Phương pháp giảiViết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị y = ax3 + bx2 + cx + d (*): Giả sử đồ thị hàm số (*) có hai điểm cực trị, ta thực hiện theo những cách sau để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó : Phương pháp tự luậnChia f(x) cho f’(x) như sau: Khi đó, hàm số được viết lại: f(x) = f’(x)․Q(x) + αx + β Tọa độ các điểm cực trị thỏa H64 hay f(x) = αx + β Phương pháp Trắc nghiệm– Cách viết 1: – Cách viết 2: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (*): Xét hình dáng đồ thị hàm bậc ba bên dưới (đồ thị có hai điểm cực trị A, B), nhìn vào đồ thị tại lân cận điểm A, ta thấy bề lõm của nó hướng xuống (lồi); nhìn vào đồ thị tại lân cận điểm B, ta thấy bề lõm của nó hướng lên trên (lõm). Vậy sẽ có một ranh giới để đồ thị chuyển từ lồi sang lõm, ranh giới ấy được gọi là điểm uốn của đồ thị (trong hình là điểm I). – Đặc biệt: Nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A, B thì I sẽ là trung điểm của đoạn AB. Cách tìm điểm uốn I: – Bước 1: Tính y’ = 3ax2 + 2bx + c, y’’ = 6ax + 2b – Bước 2: Cho y’’ = 6ax + 2b = 0 , thay vào hàm số để yI . Từ đây ta có điểm uốn I(xI; yI) của đồ thị hàm bậc ba. Tính chất quan trọng: Điểm uốn I chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc ba tức là bất kỳ đường thẳng nào qua I nếu cắt đồ thị tại hai điểm còn lại M, N thì I luôn là trung điểm đoạn MN. Bài tập vận dụngCâu 1. Cho hàm số y = f(x) = x3 – x + m (1). Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Đánh giá Với bài toán này, xin được hướng dẫn hai cách để bạn đọc lựa chọn phương án tối ưu cho mình. – Cách giải 1: Làm theo lý luận truyền thống. – Cách giải 2: Dựa vào công thức đã cung cấp. Với cách giải 1, ta thực hiện phép chia y cho y’ trong giấy nháp như sau : Lời giải Cách giải 1 Chọn D Tập xác định : D = ℝ Đạo hàm: y’ = 3x2 – 1; y’ = 0 nên hàm số luôn có 2 cực trị. Hàm số được viết lại Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn thỏa mãn: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là Cách giải 2 Tập xác định: D = ℝ Đạo hàm: y’ = 3x2 – 1; y’ = 0 nên hàm số luôn có 2 cực trị. Dựa vào công thức , ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị như sau: Câu 2. Cho biết có một tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3 + 3(m – 3) x2 + 11 – 3m có hai điểm cực trị, đồng thời hai điểm cực trị đó và điểm C(0; -1) thẳng hàng. Tìm khẳng định đúng:
Lời giải Chọn A Cách giải 1 Chia y cho y’ như sau: Tập xác định: D = ℝ Đạo hàm: y’ = 6x2 + 6(m – 3) x y’ = 0 ⇔ 6x(x + m – 3) = 0 ⇔ Hàm số có hai cực trị ⇔ 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn thỏa mãn : ⇔ y = -(m – 3)2 x + 11 – 3m Điểm C(0; -1) thuộc đường thẳng qua hai điểm cực trị nên -1 = 11 – 3m ⇔ m = 4 (thỏa mãn). Cách giải 2 Tập xác định: D = ℝ Đạo hàm: y’ = 6x2 + 6(m – 3) x y’ = 0 ⇔ 6x(x + m – 3) = 0 ⇔ Hàm số có hai cực trị ⇔ 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 Áp dụng công thức, ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị : ⇔ y = 2x3 + 3(m – 3) x2 + 11 – 3m – [x2 + (m – 3) x](2x + m – 3) ⇔ y = 2x3 + 3(m – 3) x2 + 11 – 3m – [2x3 + 3(m – 3) x2 + (m – 3)2 x] ⇔ -(m – 3)2 x + 11 – 3m Điểm C(0; -1) thuộc đường thẳng qua hai điểm cực trị nên -1 = 11 – 3m ⇔ m = 4 (thỏa mãn). Câu 3. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số y = x3 – 3x2 – mx + 2 có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x – 1.
Lời giải Chọn D Đánh giá : Phương trình y’ = 0 ⇔ 3x2 – 6x – m = 0 không thể cho ra nghiệm đẹp như ta muốn nên những bài toán liên quan tọa độ điểm cực trị đều cần đến phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Tập xác định : D = ℝ Đạo hàm: y’ =3x2 – 6x – m Hàm số có hai cực trị ⇔ ∆’ > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > -3 (*) Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị là ∆: Các điểm cực trị cách đều đường thẳng d: y = x – 1 Trường hợp 1: (loại do (*)) Trường hợp 2: Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là Điểm I là trung điểm của AB nên: I ∈ d: y = x – 1 ⇔ -m = 1 – 1 ⇔ m = 0 (thỏa mãn do (*)) Dạng 5: Bài toán tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị hàm số y = ax4 + bx2 + cPhương pháp giảiSố cực trị của hàm số y = ax4 + bx2 + c Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx = 2x (2ax2 + b); y’ = 0 Nhìn vào phương trình y’ = 0, ta thấy luôn có một nghiệm x = 0. Do đó việc biện luận tiếp theo sẽ phụ thuộc vào phương trình (*) . Từ (*) ta thấy: Từ đây, ta có thể khẳng định: Hàm số không có cực trị ⇔ a = b = 0 Hàm số có cực trị ⇔ a2 + b2 > 0 Hàm số có một cực trị ⇔ Hàm số có ba cực trị ⇔ a․b < 0 Lưu ý : Việc sử dụng a2 + b2 > 0 là thể hiện a, b không đồng thời bằng 0, tuy nhiên BPT a2 + b2 > 0 mang tính phức tạp do bậc của m có thể ≥ 4. Để khắc phục điều này, ta dùng phương pháp phủ định như sau: Xét (Giải tìm) ⟶ Quay lại giải a2 + b2 > 0 tức là lấy phủ định kết quả của bước một. Ta có Tìm điều kiện để hàm số y = ax4 + bx2 + c thỏa mãn điều kiện K: – Bước 1: Tập xác định: D = ℝ. Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx = 2x (2ax2 + b) y’ = 0 ⇔ – Bước 2: Điều kiện hàm số có một cực trị (hoặc có ba cực trị) – Xem mục 1 (lý thuyết). – Bước 3: Dựa vào điều kiện K đề tìm tham số m rồi so sánh điều kiện có cực trị (bước 2) trước khi kết luận. Xử lý điều kiện K (Công thức trắc nghiệm): Hàm số có cực trị và thỏa mãn: Hàm số có cực đại mà không có cực tiểu Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Ba cực trị tạo thành tam giác vuông hoặc đều, ta dùng công thức nhanh Ba cực trị tạo thành tam giác vuông Ba cực trị tạo thành tam giác đều Ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích S. Ta dùng công thức nhanh bình phương diện tích: Tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị là A(0;c), với ∆ = b2 – 4ac Tam giác ABC có Công thức diện tích khác: ; S = pr .Trong đó: R, r theo thứ tự là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác a, b, c là độ dài ba cạnh; là nửa chu vi tam giác Bài tập vận dụngCâu 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m trên miền [-10;10] để hàm số y = x4 – 2(2m + 1) x2 + 7 có ba điểm cực trị?
Lời giải Chọn D Cách 1: Tự luận Tập xác định: D = ℝ . Ta có y’ = 4x3 – 4(2m + 1) x y’ = 0 ⇔ 4x3 – 4(2m + 1) x = 0 Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m > -½ . Vì m nguyên thuộc [-10;10] nên m ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Cách 2: Trắc nghiệm Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi a․b < 0 ⇔ 1․[-2(2m + 1)] < 0 ⇔ 2(2m + 1) > 0 ⇔ m > -½. Câu 2. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx4 + (m2 – 9) x2 + 10 có 3 cực trị.
Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận Tập xác định: D = ℝ . Ta có y’ = 4mx3 – 2(m2 – 9) x = 2x (2mx2 + m2 – 9) y’ = 0 ⇔ Hàm số đã cho có 3 cực trị ⇔ y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 . Suy ra m ∈ (-∞; -3) ∪ (0; 3) Cách 2: Trắc nghiệm Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi ab < 0 ⇔ m (m2 – 9) < 0 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx4 + (m – 1) x2 + 1 – 2m chỉ có một cực trị.
Lời giải Chọn D Hàm số có một cực trị khi và chỉ khi ⇔ m ≤ 0 ∨ m ≥ 1 Vậy m m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 thỏa mãn đề bài Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
Lời giải Chọn B Nhận xét : Có hai trường hợp để hàm số y = ax4 + bx2 + c có cực tiểu mà không có cực đại: Một là: Hàm bậc bốn có đúng một cực trị và là cực tiểu, khi đó: Hai là: Hàm số trở thành hàm bậc hai (đồ thị parabol có bề lõm hướng lên), ta có: Ta thấy , vì vậy điều kiện bài toán tương đương với b ≥ 0 ⇔ -2m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0 Vậy m ≤ 0 thỏa mãn đề bài. Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m2 – 1) x4 + mx2 + m – 2 chỉ có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu.
Lời giải Chọn C Hàm số có một điểm cực đại mà không có cực tiểu Giải (1): Giải (2): Từ (*) và (**) suy ra -1 ≤ m ≤ 0 Dạng 6: Tìm tham số thỏa mãn điều kiện cực trị của những hàm số khácPhương pháp giảiHàm số phân thức bậc hai trên bậc mộtHàm số: Tập xác định: D = ℝ \ Đạo hàm: với Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ y’ đổi dấu hai lần trên tập xác định ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị có phương trình: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đốiHàm số y = |f(x)| Đạo hàm: Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên D. Ta xác định đồ thị hàm y = |f(x)|: – Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) nằm phía trên trục hoành. – Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm dưới trục hoành qua trục hoành. Hợp của hai phần trên (bỏ phần dưới trục hoành), ta được đồ thị hàm y = |f(x)|. Minh họa: Đồ thị y = f(x) Đồ thị y = |f(x)| Đúc kết : Số cực trị hàm y = |f(x)| = số cực trị hàm y = f(x) + Số giao điểm (không tính tiếp xúc) Hàm số y = f(|x|): Cho trước đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên D. Ta xác định đồ thị hàm y = f(|x|) – Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) nằm bên phải trục tung (ứng với x ≥ 0); bỏ đi phần đồ thị y = f(x) nằm bên trái trục tung (ứng với x < 0) – Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm bên phải trục tung qua trục tung. Hợp của hai phần trên, ta được đồ thị hàm y = f(|x|) Minh họa: Đồ thị y = f(x) Đồ thị y = f(|x|) Đúc kết : Xét hàm đa thức f(x) có tập xác định là ℝ (chắc chắn đồ thị hàm này sẽ cắt Oy tại một điểm), ta có: Số cực trị hàm y = f(|x|) = 2 × Số cực trị nằm bên phải Oy của hàm y = f(x) +1 Để cho dễ nhớ, ta gọi n là số cực trị dương của hàm số y = f(x), khi ấy số cực trị của hàm số y = f(|x|) bằng 2n + 1. Bài tập vận dụngCâu 1. Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho hàm số có cực đại, cực tiểu.
Lời giải Chọn A Tập xác định: D = ℝ \{m}. Đạo hàm: Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ đổi dấu hai lần trên tập xác định ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m Câu 2. Tìm tất cả giá trị tham số m để điểm A(1; -3) cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành ba điểm không thẳng hàng.
Lời giải Chọn C Tập xác định: D = ℝ \{-1}. Đạo hàm: Hàm số có hai cực trị ⇔ y’ đổi dấu hai lần trên tập xác định ⇔ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1 |