Ví dụ: Cho nguyên hàm $I = \int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} ,\,\,\,x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$, nếu đặt $x = \sin t$ thì nguyên hàm $I$ tính theo biến $t$ trở thành:
A. $I = t + \sin 2t + C.$
B. $I = \dfrac{t}{2} + \cos 2t + C.$
C. $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$
D. $I = \dfrac{t}{2} - \dfrac{{\cos 2t}}{4} + C.$
Giải:
Đặt $x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt$ và $1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t$
Suy ra
$\begin{array}{l}\int {\sqrt {1 - {x^2}} \,{\rm{d}}x} = \int {\sqrt {{{\cos }^2}t} \,\cos t\,{\rm{d}}t} = \int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = \int {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\,{\rm{d}}t} \\ = \int {\left[ {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos 2t} \right]{\rm{d}}t} = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.\end{array}$
[Vì \[x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow \cos x > 0\] \[ \Rightarrow \sqrt {{{\cos }^2}x} = \cos x\]]
Vậy $I = \dfrac{t}{2} + \dfrac{{\sin 2t}}{4} + C.$
Chọn C.
Dạng bài tập tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc Gia. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập minh họa giúp các em tự tin khi làm dạng bài này. Tham khảo ngay trong bài viết dưới đây nhé!
Phương pháp đổi biến số là một trong những phương pháp được dùng rất nhiều khi giải bài tập vì khi sử dụng phương pháp này, việc xử lý bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn.
Một số công thức nguyên hàm được sử dụng khi đổi biến số:
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f[x] = [3x + 2]^{3}$
Giải:
Ví dụ 2: Tính tích phân sau $I=-\int_{1}^{0}x[1-x]^{19}dx$
Giải:
2. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và ví dụ
Để tìm nguyên hàm thông thường người ta sẽ sử dụng 2 phương pháp đổi biến số nguyên hàm sau: phương pháp đổi biến số loại 1 và phương pháp biến đổi biến số loại 2.
2.1. Phương pháp đổi biến số loại 1
Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 1 ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt ẩn phụ t = u[x]
-
Bước 2: Tính vi phân dt = u'[x]dx
-
Bước 3: Biểu thị f[x] và d[x] theo t và dt. Giả sử f[x]dx = g[t]dt
$\int[x]$ có chứa $\sqrt[n]{g[x]}$ đặt $t=\sqrt[n]{g[x]} \Leftrightarrow t^{n}=g[x] \Rightarrow n.t^{n-1}dt=g'[x]dx$
$\int[x]$ có chứa $[ax+b]^{n}$ đặt $t=ax+b \Rightarrow dt= adx$ hoặc $x=\frac{t-b}{a}$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm sau:
a] $\int \frac{x^{3}}{1+x^{2}}dx$
b] $\int x^{3} \sqrt{x^{2}+9}dx$
Giải:
2.2. Phương pháp đổi biến số loại 2
Để giải nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số loại 2 ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt ẩn phụ x = u[t]
-
Bước 2: Tìm vi phân dx = u'[t]dx
-
Bước 3: Biểu thị hàm số f[x] và d[x] theo t và dt.
Giả sử f[x]dx = g[t]dt
-
Bước 4: Tìm $I = \int g[t]dt$
Ví dụ: Tìm nguyên hàm:
a] $\int xe^{x^{2}}dx$
b] $\int \frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}$
Giải:
3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
3.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1 ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt t = u[x] đổi cận ta có:
-
$x = a \Rightarrow t = u[a] = a'$
-
Hoặc $x = b \Rightarrow t = u[b] = b'$
-
Bước 2: Tìm vi phân dt = u'[x]dx
-
Bước 3: Biến đổi f[x]dx thành g[t]dt
-
Bước 4: Tích phân $\int^{b}_{a}f[x]dx=\int^{b'}_{a'}g[t]dt$
Ví dụ: Tính tích phân sau đây:
a] $\int^{\frac{π}{2}}_{0}sin^{2}x cos^{3}xdx$
b] $\int^{e\frac{π}{2}}_{0}\frac{cos[Inx]}{x}dx$
Giải:
3.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2
Để giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 ta thực hiện các bước sau:
-
Bước 1: Đặt x = u[t] đổi cận ta có:
$x = a \Rightarrow t = a'$ hoặc $x = b \Rightarrow t = b'$
-
Bước 2: Tìm vi phân hai vế dx = u'[t]dt
-
Bước 3: Biến đổi $f[x]dx = f[u][t]].u'[t]dt = g[t]dx$
-
Bước 4: Tính tích phân theo công thức $\int^{b}_{a}f[x]dx = \int^{b'}_{a'}g[t]dt$
Ví dụ: Tính tích phân: $I = \int^{2}_{1}x^{2}\sqrt{4-x^{2}}dx$
Giải:
4. Các bài tập về phương pháp đổi biến số giải nguyên hàm, tích phân
Để nắm chắc kiến thức, các em hãy tham khảo những bài tập về phương pháp đổi biến số nguyên hàm, tích phân dưới đây nhé!
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm sau: $\int \frac{2sinx}{1+3cosx}dx$
Giải:
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm sau $\int \frac{In^{2}x-1}{xInx}dx$
Giải:
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: $\int xe^{x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 4: Tính nguyên hàm $\int \frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx$
Giải:
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm $\int \frac{x}{[2x+1]^{3}}$
Giải:
Ví dụ 6: Tính tích phân $I=\int^{1}_{0}\frac{1}{1+x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 7: Tính tích phân $I=\int^{1}_{0}\sqrt{1-x^{2}}dx$
Giải:
Ví dụ 8: Tính tích phân của $I=\int_{0}^{1}x^{5}[1-x^{3}]^{6}dx$
Giải:
Ví dụ 9: Tính tích phân $I=\int^{0}_{-1}x^{2}[1-x]^{9}dx$
Giải:
Ví dụ 10: Tính tích phân $I=\int^{1}_{0}[1+3x][1+2x+3x^{2}]^{10}dx$
Giải:
Trên đây là toàn bộ kiến thức về tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi biến số và các dạng bài thường gặp. Hy vọng rằng qua bài viết trên, các em có thể tự tin làm bài tập khi sử dụng phương pháp đổi biến số. Để học nhiều hơn kiến thức về toán học lớp 12, truy cập trang web Vuihoc.vn ngay nhé!
>> XEM THÊM: