Bài 55 trang 14 sbt hình học 10 nâng cao

LG a

Chứng tỏ rằng \(G\) cũng là trọng tâm tam giác \(MNC\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm \(MN\) thì \(I\) cũng là trung điểm \(AB\), do đó

\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = 2\overrightarrow {GI}= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} \)

Suy ra

\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GC} \)

\(= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(G\) cũng là trọng tâm của tam giác \(MNC.\)

LG b

Đặt \(\overrightarrow {GA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {GB} = \overrightarrow b \). Hãy biểu thị các vec tơ sau đây qua \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \): \(\overrightarrow {GC} ,\,\overrightarrow {AC} ,\,\overrightarrow {GM} ,\,\overrightarrow {CN} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \overrightarrow a - \overrightarrow b \\
\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {GC} - \overrightarrow {GA} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow a \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2\overrightarrow a - \overrightarrow b
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} \\= \overrightarrow {GA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {GA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} } \right)\\= \overrightarrow a + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a ) \\= \dfrac{{2\overrightarrow a + \overrightarrow b }}{3}.\\\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AN} \\= - \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \\= - \overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GA} } \right)\\= 2\overrightarrow a + \overrightarrow b + \dfrac{2}{3}(\overrightarrow b - \overrightarrow a )\\ = \dfrac{{4\overrightarrow a + 5\overrightarrow b }}{3}.\end{array}\)