1. Đạo hàm cấp hai
Cho hàm số f có đạo hàm f’. Nếu f’ cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f và kí hiệu là f’’, tức là:
$f'' = \left[ {f'} \right]'$
f' còn gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f[x] còn được kí hiệu là y’’.
Chú ý
* Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f[x] được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y’’’ hoặc ${f^{\left[ 3 \right]}}\left[ x \right]$.
* Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu là ${f^{\left[ {n - 1} \right]}}\left[ x \right]\left[ {n \in N,n \ge 4} \right]$. Nếu ${f^{\left[ {n - 1} \right]}}\left[ x \right]$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f[x], kí hiệu là ${y^n}$ hoặc ${f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right]$.
${f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right] = \left[ {{f^{\left[ {n - 1} \right]}}\left[ x \right]} \right]'$.
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Ta đã biết: Nếu một chất điểm chuyển động có phương trình s = s[t] thì vận tốc tại thời điểm ${t_0}$ của chất điểm đó là $v\left[ {{t_0}} \right] = s'\left[ {{t_0}} \right]$.
Nếu ${t_0}$ nhận một số gia $\Delta t$ thì $v\left[ {{t_0}} \right]$ nhận một số gia $\Delta v = v\left[ {{t_0} + \Delta t} \right] - v\left[ {{t_0}} \right]$. Khi $\left| {\Delta t} \right|$ càng nhỏ [khác 0] thì $\Delta v$ càng phản ánh chính xác sự biến thiên vận tốc của chất điểm tại thời điểm ${t_0}$.
Trong cơ học, giới hạn hữu hạn [nếu có] của tỉ số $\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}$ khi $\Delta t$ dần đến 0 được gọi là gia tốc tức thời tại điểm ${t_0}$[hay gia tốc tại thời điểm ${t_0}$] của chất điểm đó, và được kí hiệu là $a\left[ {{t_0}} \right]$. Vậy:
$a\left[ {{t_0}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}$
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai được phát biểu như sau:
Gia tốc [tức thời] $a\left[ {{t_0}} \right]$tại thời điểm ${t_0}$của một chất điểm chuyển động cho bởi phương trình s = s[t] bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s = s[t]tại ${t_0}$, tức là:
$a\left[ {{t_0}} \right] = s''\left[ {{t_0}} \right]$
Page 2
SureLRN
Qua rất nhiều bài viết về công thức đạo hàm, quy tắc đạo hàm,… đến những bài vận dụng như trắc nghiệm, bài tập tự luyện,… Thì bài viết này được coi là khó. Khi soạn bài tính đạo hàm cấp cao thì admin cũng phải chọn việt như nào cho dễ hiểu, ví dụ sao cho dễ tiếp thu và vận dụng tốt cho lý thuyết đã nói ở trên. Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích được cho các em
Cơ sở lý thuyết
Tính đạo hàm cấp cao
Áp dụng trực tiếp định nghĩa:
$y” = {\left[ {y’} \right]^\prime }$, $y”’ = {\left[ {y”} \right]^\prime }$,…, ${y^{\left[ n \right]}} = \left[ {{y^{\left[ {n – 1} \right]}}} \right]’$.
Tính đạo hàm cấp n
Trước tiên ta tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, … sau đó dự đoán công thức tổng quát của ${f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right]$.
Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm
Tính đến đạo hàm cấp cao nhất có trong đẳng thức rồi thay thế vào vị trí tương ứng và biến đổi cho ta được kết quả.
Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai
Gia tốc tức thời $\left[ \gamma \right]$ tại thời điểm $t$ là đạo hàm cấp 2 của hàm số $s = f\left[ t \right]$.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tính $y”$, biết $y = x\sqrt {1 + {x^2}} $.
A. $y” = \frac{{x\left[ {3 + 2{x^2}} \right]}}{{\left[ {1 + {x^2}} \right]\sqrt {1 + {x^2}} }}$.
B. $y” = \frac{{2x\left[ {3 + 2{x^2}} \right]}}{{\sqrt {{{\left[ {1 + {x^2}} \right]}^3}} }}$.
C. $y” = \frac{{x\left[ {3 – 2{x^2}} \right]}}{{\sqrt {{{\left[ {1 + {x^2}} \right]}^2}} }}$.
D. $y” = \frac{{x\left[ {1 + {x^2}} \right]}}{{2\sqrt {{{\left[ {1 + {x^2}} \right]}^3}} }}$.
Lời giải
Đáp án A
$\begin{array}{l}y’ = \frac{{1 + 2{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ \Rightarrow y” = {\left[ {y’} \right]^\prime } = \frac{{4x\left[ {1 + {x^2}} \right] – x\left[ {1 + 2{x^2}} \right]}}{{\left[ {1 + {x^2}} \right]\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \frac{{x\left[ {3 + 2{x^2}} \right]}}{{\left[ {1 + {x^2}} \right]\sqrt {1 + {x^2}} }}\end{array}$
STUDY TIP
Sau khi tính được đạo hàm bậc nhất $y’$ ta có thể sử dụng MTCT với chức năng: $\left[ {{{\left. {\frac{d}{{dx}}\left[ \ldots \right]} \right|}_x}} \right]$ để kiểm tra và tính được kết quả.
Câu 2. Cho hàm số \[y = \frac{1}{x}\].Tính \[{y^{[4]}}\]
A. \[{y^{[4]}} = \frac{{ – 4}}{{{x^5}}}\].
B. \[{y^{[4]}} = \frac{{1.2.3.4}}{{{x^5}}}\].
C. \[{y^{[4]}} = \frac{{ – 4!}}{{{x^5}}}\].
D. \[{y^{[4]}} = \frac{{ – 1.2.3.4}}{{{x^6}}}\].
Lời giải
Đáp án B
\[\begin{array}{l}y’ = – \frac{1}{{{x^2}}},\\y” = \frac{{1.2}}{{{x^3}}},\\{y^{\left[ 3 \right]}} = \frac{{1.2.3}}{{{x^4}}}\\ \Rightarrow {y^{\left[ 4 \right]}} = \frac{{{{\left[ { – 1} \right]}^4}.4!}}{{{x^{4 + 1}}}} = \frac{{4!}}{{{x^5}}}\end{array}\]
STUDY TIP
Tổng quát: \[{\left[ {\frac{1}{x}} \right]^{[n]}} = \frac{{{{[ – 1]}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\]
Đạo hàm cấp $n$ của hàm số \[y = \frac{1}{{ax + b}}\],\[a \ne 0\] là:
A. \[{y^{[n]}} = \frac{{{2^n}.{a^n}.n!}}{{{{[ax + b]}^{n + 1}}}}\].
B. \[{y^{[n]}} = \frac{{{{\left[ { – 1} \right]}^n}.{a^n}.n!}}{{{{[x + 1]}^{n + 1}}}}\].
C. \[{y^{[n]}} = \frac{{{{\left[ { – 1} \right]}^n}.n!}}{{{{[ax + b]}^{n + 1}}}}\].
D. \[{y^{[n]}} = \frac{{{{\left[ { – 1} \right]}^n}.{a^n}.n!}}{{{{[ax + b]}^{n + 1}}}}\].
Lời giải
Đáp án D
\[\begin{array}{l}y’ = – \frac{a}{{{{\left[ {ax + b} \right]}^2}}},\\y” = \frac{{2{a^2}}}{{{{\left[ {ax + b} \right]}^3}}},\\y”’ = \frac{{ – {a^3}.2.3}}{{{{\left[ {ax + b} \right]}^4}}}\end{array}\]
Dự đoán công thức \[{y^{[n]}} = \frac{{{{[ – 1]}^n}.{a^n}.n!}}{{{{[ax + b]}^{n + 1}}}}\]
Nhận xét: Việc dự đoán công thức ta đã được ngay kết quả của bài toán. Tuy nhiên để hiểu rõ và chính xác hơn ta có thể chứng minh công thức tổng quát bằng phương phức quy nạp toán học [ bạn đọc tự làm]
STUDY TIP
Phương pháp quy nạp: ta cần chứng minh mệnh đề \[P\left[ n \right],n \in {N^*}\]
- Kiểm tra với \[n = 1,2 \ldots \]
- Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \ge 1,$ ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với \[n = k + 1\] .
Câu 3. Đạo hàm cấp ba của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\] là:
A. \[\frac{{ – 6}}{{{{[x + 1]}^4}}}\].
B. \[\frac{{ – 4}}{{{{[x + 1]}^3}}}\].
C. \[\frac{6}{{{{[x + 1]}^3}}}\].
D. \[\frac{{ – 12}}{{{{[x + 1]}^4}}}\].
Lời giải
Đáp án A
Ta phân tích \[y = x + \frac{1}{{x + 1}}\]
$\begin{array}{l} \to y’ = 1 – \frac{1}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}},\\ y” = \frac{2}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^3}}},\\ y”’ = \frac{{ – 6}}{{{{\left[ {x + 1} \right]}^4}}} \end{array}$
Nhận xét: Với hàm phân thức bậc của tử cao hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì ta chia tách phân số và đưa về các phân số dạng \[\frac{A}{{ax + b}}\]
Câu 5. Đạo hàm cấp 4 của hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} – 5x + 6}}\] là :
A. \[{y^{[4]}} = \frac{{7.4!}}{{{{[x – 3]}^5}}} – \frac{{5.4!}}{{{{[x – 2]}^5}}}\].
B. \[{y^{[4]}} = \frac{{5.4!}}{{{{[x – 3]}^5}}} – \frac{{2.4!}}{{{{[x – 2]}^5}}}\].
C. \[{y^{[4]}} = \frac{{5.4!}}{{{{[x – 2]}^5}}} – \frac{{7.4!}}{{{{[x – 3]}^5}}}\].
D. \[{y^{[4]}} = \frac{7}{{{{[x – 3]}^5}}} – \frac{5}{{{{[x – 2]}^5}}}\].
Lời giải
Đáp án A
\[y = \frac{{2x + 1}}{{[x – 2][x – 3]}} = \frac{7}{{x – 3}} – \frac{5}{{x – 2}}\].
Mà \[{\left[ {\frac{1}{{x – 2}}} \right]^{[4]}} = \frac{{{{[ – 1]}^4}.4!}}{{{{[x – 2]}^5}}} = \frac{{4!}}{{{{[x – 2]}^5}}}\]
\[{\left[ {\frac{1}{{x – 3}}} \right]^{[4]}} = \frac{{{{[ – 1]}^4}.4!}}{{{{[x – 3]}^5}}} = \frac{{4!}}{{{{[x – 3]}^5}}}\]
\[ \Rightarrow {y^{[4]}} = \frac{{7.4!}}{{{{[x – 3]}^5}}} – \frac{{5.4!}}{{{{[x – 2]}^5}}}\]
Nhận xét: Với các hàm phân thức có bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì ta cố gắng đưa mẫu số về dạng tích và phân tích phân số thành tổng, hiệu các phân số dạng \[\frac{A}{{ax + b}}\]
STUDY TIP
\[\frac{{2x + 1}}{{[x – 2][x – 3]}} = \frac{A}{{x – 2}} + \frac{B}{{x – 3}}\]
Các hằng số A, B tìm được bằng cách quy đồng và đồng nhất hệ số 2 vế
Câu 6. Đạo hàm cấp 3 của hàm số\[y = \sin x\] là:
A. \[{y^{[3]}} = \sin \left[ {x + \frac{{5\pi }}{2}} \right]\].
B. \[{y^{[3]}} = \sin \left[ {x + \frac{\pi }{2}} \right]\].
C. \[{y^{[3]}} = \sin \left[ {x + \pi } \right]\].
D. \[{y^{[3]}} = \sin \left[ {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right]\].
Lời giải
Đáp án D
Ta có: \[y’ = \cos x = \sin \left[ {x + \frac{\pi }{2}} \right]\]
\[y” = \cos \left[ {x + \frac{\pi }{2}} \right] = \sin \left[ {x + \pi } \right] = \sin \left[ {x + 2\frac{\pi }{2}} \right]\]
\[y”’ = \cos \left[ {x + \pi } \right] = \sin \left[ {x + \frac{{3\pi }}{2}} \right]\]
STUDY TIP
Tổng quát:
\[{[\sin x]^{[n]}} = \sin [x + \frac{{n\pi }}{2}]\] ; \[{[\cos x]^{[n]}} = \cos [x + \frac{{n\pi }}{2}]\] [với n ≥ 1, $n \in N*$ ]
\[{\left[ {\sin [ax + b]} \right]^{[n]}} = {a^n}.\sin \left[ {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right]\]
\[{\left[ {\cos [ax + b]} \right]^{[n]}} = {a^n}.cos\left[ {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right]\]
Câu 7. Đạo hàm cấp 4 của hàm số \[y = {\sin ^4}x\] là :
A. \[ – 8\cos 2x + 32\cos 4x\].
B. \[4\cos 2x + 16\cos 4x\].
C. \[8\cos 2x – 12\cos 2x\].
D. \[6\cos 2x – 32\cos 4x\].
Lời giải
Đáp án A
Ta có:
\[\begin{array}{l}y = {\sin ^4}x\\ = \frac{1}{4}\left[ {1 – 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right]\\ = \frac{3}{8} – \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\end{array}\]
\[ \Rightarrow y’ = \sin 2x – \frac{1}{2}\sin 4x\],
\[y” = 2\cos 2x – 2\cos 4x\],
\[y”’ = – 4\sin 2x + 8\sin 4x\],
STUDY TIP
Đối với hàm lượng giác, khi tính đạo hàm bậc cao thì ta biến đổi hạ bậc hoặc biến đổi từ tích thành tổng để đưa về bậc nhất, sin[ax + b], cos[ax + b].
Câu 8. Đạo hàm cấp 4 của hàm số \[y = \sin 5x.\sin 3x\] là:
A. \[{y^{[4]}} = – 2048\cos 8x + 8\cos 2x\].
B. \[{y^{[4]}} = 2048\cos 8x – 8\cos 2x\].
C. \[{y^{[4]}} = 1024\cos 16x + 4\cos 4x\].
D. \[{y^{[4]}} = 2048\cos 8x – 4\cos 4x\].
Lời giải
Ta có\[y = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2x – \cos 8x} \right] \Rightarrow {y^{[4]}} = – 2048\cos 8x + 8\cos 2x\].
STUDY TIP
\[\sin x.\sin y = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {x – y} \right] – \cos \left[ {x + y} \right]} \right]\]
Câu 10. Cho hàm số \[f[x] = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} – 12x – 1\]. Tập hợp các giá trị x để đạo hàm cấp 2 của\[f[x]\] không âm là :
A. \[\left[ { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right]\].
B. \[\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right]\].
C. \[\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right]\].
D. \[\left[ { – \frac{1}{2}; + \infty } \right]\].
Lời giải
\[f’\left[ x \right] = {x^2} + x – 12,f”\left[ x \right] = 2x + 1\]
Do đó: \[f”\left[ x \right] \ge 0 \Leftrightarrow x \ge – \frac{1}{2}\].
Câu 11. Cho hàm số \[y = \sqrt {2x – {x^2}} \]. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. \[{y^3}.y” + 1 = 0\].
B. \[{y^2}.y” – 1 = 0\].
C. \[3{y^2}.y” + 1 = 0.\].
D. \[2{y^3}.y” + 3 = 0.\]
Lời giải
Ta có: \[y’ = \frac{{1 – x}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}\], \[y” = – \frac{1}{{\sqrt {{{\left[ {2x – {x^2}} \right]}^3}} }}\]
Thay vào: \[{y^3}.y” + 1 = \sqrt {{{\left[ {2x – {x^2}} \right]}^3}} .\frac{{\left[ { – 1} \right]}}{{\sqrt {{{\left[ {2x – {x^2}} \right]}^3}} }} + 1 = – 1 + 1 = 0.\]