Ý nghĩa của học phần phương pháp tối ưu
Trong toán học, thuật ngữ tối ưu hóa chỉ tới việc nghiên cứu các bài toán có dạng Show Đây là ký hiệu cho giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} , với x {\displaystyle x} nằm trong tập số thực R {\textstyle \mathbb {R} } . Giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là 1 {\displaystyle 1} , xảy ra tại x = 0 {\displaystyle x=0} . Tương tự thì ký hiệu max x ∈ R 2 x {\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x} chỉ ra giá trị lớn nhất cho hàm mục tiêu 2 x {\displaystyle 2x} , với x {\displaystyle x} là một số thực. Trong trường hợp này, không có giá trị đó do biểu thức không bị chặn trên, vậy kết quả là "giá trị vô cùng" hoặc "không xác định". Đối số tối ưuSửa đổiXét ký hiệu sau đây: a r g m i n x ∈ ( − ∞ , − 1 ] x 2 + 1 , {\displaystyle {\underset {x\in (-\infty ,-1]}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,} hay tương đương là a r g m i n x x 2 + 1 , subject to: x ∈ ( − ∞ , − 1 ] . {\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,min} }}\;x^{2}+1,\;{\text{subject to:}}\;x\in (-\infty ,-1].} Ký hiệu này biểu diễn một hoặc nhiều giá trị của đối số x {\displaystyle x} trong đoạn ( − ∞ , − 1 ] {\textstyle (-\infty ,-1]} sao cho hàm mục tiêu x 2 + 1 {\textstyle x^{2}+1} đạt giá trị nhỏ nhất (chứ không yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất đó). Kết quả là x = − 1 {\displaystyle x=-1} , do không như ví dụ đầu tiên, x = 0 {\displaystyle x=0} không nằm trong tập khả thi. Tương tự, a r g m a x x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R x cos ( y ) , {\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),} hay ký hiệu tương đương a r g m a x x , y x cos ( y ) , subject to: x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R , {\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} ,} Biểu diễn một hay nhiều cặp ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} làm cho hàm mục tiêu x cos ( y ) {\displaystyle x\cos(y)} đạt giá trị lớn nhất, với ràng buộc là x nằm trong đoạn [ − 5 , 5 ] {\textstyle [-5,5]} . (Một lần nữa, giá trị tối ưu của hàm mục tiêu không quan trọng, hàm arg max {\displaystyle \arg \max } chỉ cho ra cặp ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} thỏa mãn yêu cầu trên.) Trong trường hợp này, kết quả là các cặp số có dạng ( 5 , 2 k π ) {\textstyle (5,\,2k\pi )} và ( − 5 , ( 2 k + 1 ) π ) {\textstyle (-5,\,(2k+1)\pi )} , với k {\displaystyle k} là số nguyên tùy ý. Các lĩnh vực con chínhSửa đổi
Các kỹ thuậtSửa đổiĐối với các hàm khả vi hai lần (twice-differentiable), có thể giải các bài toán không ràng buộc bằng cách tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm mục tiêu bằng 0 (điểm dừng) và sử dụng ma trận Hesse để xác định xem đó là cực tiểu, cực đại, hay điểm yên ngựa. Ta có thể tìm các điểm dừng bằng cách bắt đầu từ một điểm dự đoán là điểm dừng rồi tiến về điểm dừng bằng cách lặp đi lặp lại các phương pháp như
Nếu hàm mục tiêu là hàm lồi trong vùng quan tâm thì cực tiểu địa phương sẽ là cực tiểu toàn cục. Có các phương pháp số nhanh chóng và hiệu quả cho việc tối ưu hóa các hàm lồi khả vi hai lần. Các bài toán ràng buộc thường có thể được biến đổi thành một bài toán không có ràng buộc bằng phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multiplier). Dưới đây là một số phương pháp thông dụng:
Ứng dụngSửa đổiCác bài toán trong động lực học vật rắn (cụ thể là động lực học vật rắn chính xác) thường đòi hỏi các kỹ thuật quy hoạch toán học, do ta có thể coi động lực học vật rắn như là việc giải các phương trình vi phân thường (ordinary differential equation) trên một đa tạp ràng buộc (constraint manifold); các ràng buộc là các ràng buộc hình học không tuyến tính đa dạng, chẳng hạn "hai điểm này phải luôn trùng nhau", "bề mặt này không được xuyên qua các bề mặt khác", hoặc "điểm này phải nằm đâu đó trên đường cong này". Ngoài ra, vấn đề tính toán các lực tiếp xúc có thể được thực hiện bằng cách giải một bài toán bù tuyến tính (linear complementarity problem). Dạng bài nài cũng có thể được coi là bài toán quy hoạch bậc hai. Nhiều bài toán thiết kế cũng có thể được biểu diễn dưới dạng các chương trình tối ưu hóa. Áp dụng này được gọi là tối ưu hóa thiết kế. Một lĩnh vực con mới phát triển trong thời gian gần đây là multidisciplinary design optimization. Nó hữu ích cho nhiều bài toán và đã được áp dụng cho các bài toán kỹ nghệ hàng không (aerospace engineering). Vận trù học (operations research) là lĩnh vực sử dụng rất nhiều đến các kỹ thuật tối ưu hóa. Xem thêmSửa đổi
Tham khảoSửa đổi
Liên kết ngoàiSửa đổi
Phần mềm:
|