Viết phương trình đường tròn (C) có tâm A(3 1 và cắt đường thẳng dyx 2 tại hai điểm MN sao cho MN 2)

ĐƯỜNG TRÒNCâu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d): x y2 – –5 0= và đường tròn (C’): x y x2 220 50 0+ − + =. Hãy viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).• A(3; 1), B(5; 5) ⇒ (C): x y x y2 24 8 10 0+ − − + =Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 32, A(2; –3), B(3; –2), trọng tâm của ∆ABC nằm trên đường thẳng d x y:3 – –8 0=. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.• Tìm được C (1; 1)1−, C2( 2; 10)− −.+ Với C1(1; 1)− ⇒ (C): 2 2x y x y11 11 1603 3 3+ − + + =+ Với C2( 2; 10)− − ⇒ (C): 2 2x y x y91 91 41603 3 3+ − + + =Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d x y1: 2 3 0+ − =, d x y2:3 4 5 0+ + =, d x y3: 4 3 2 0+ + =. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d1 và tiếp xúc với d2 và d3.• Gọi tâm đường tròn là I t t( ;3 2 )− ∈ d1. Khi đó: d I dd I d2 3) ( , )( , = ⇔ t tt t3 4(3 2 ) 554 3(3 2 ) 25+ − +=+ − + ⇔ tt24==Vậy có 2 đường tròn thoả mãn: x y2 24925( 2) ( 1) =− + + và x y2 29( 4) ( 5)25− + + =.Câu hỏi tương tự: a) Với d x y1: –6 –10 0=, d x y2:3 4 5 0+ + =, d x y3: 4 3 5 0− − =.ĐS: x y2 2( 10) 49− + = hoặc x y2 2 210 70 743 43 43     − + + = ÷  ÷  ÷     .Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng∆:x y3 8 0+ + =, x y':3 4 10 0∆− + = và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆′.• Giả sử tâm I t t( 3 8; )− − ∈ ∆ Ta có: d I IA( , )∆′= ⇔ t tt t2 22 23( 3 8) 4 10( 3 8 2) ( 1)3 4− − − += − − + + −+ ⇔ t 3= − ⇒ I R(1; 3), 5− =PT đường tròn cần tìm: x y2 2( 1) ( 3) 25− + + =.Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng x y: 4 3 3 0∆− + = và x y':3 4 31 0∆− − =. Lập phương trình đường tròn C( ) tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '.∆Tìm tọa độ tiếp điểm của C( )và '∆.• Gọi I a b( ; ) là tâm của đường tròn (C). C( ) tiếp xúc với ∆ tại điểm M(6;9) và C( ) tiếp xúc với ∆′ nên aa b a bd I d Ia aIM ua ba b54 34 3 3 3 4 31( , ) ( , ')4 3 3 6 8545 5(3;4)3( 6) 4( 9) 03 4 54∆∆ ∆−− + − −= − + = −=⇔ ⇔  ⊥ = − + − =+ =uuurra aa baa bb25 150 4 6 8510; 654 3190; 1564− = −= =⇔ ⇔−= − ==Vậy: C x y2 2( ):( 10) ( 6) 25− + − = tiếp xúc với '∆ tại N(13;2)hoặc C x y2 2( ):( 19 0) ( 156) 60025+ + − = tiếp xúc với '∆ tại N( 43; 40)− −Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua A(2; 1)− và tiếp xúc với các trục toạ độ.• Phương trình đường tròn có dạng: x a y a a ax a y a a b2 2 22 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )− + + =− + − =a) ⇒ a a1; 5= =b) ⇒ vô nghiệm.Kết luận: x y2 2( 1) ( 1) 1− + + = và x y2 2( 5) ( 5) 25− + + =.Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x y( ): 2 4 0− − =. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).• Gọi I m m d( ;2 4) ( )− ∈là tâm đường tròn cần tìm. Ta có:m m m m42 4 4,3= − ⇔ = =.• m43= thì phương trình đường tròn là: x y2 24 4 163 3 9   − + + = ÷  ÷   .• m 4= thì phương trình đường tròn là: x y2 2( 4) ( 4) 16− + − =.Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng (∆): x y3 –4 8 0+ =. Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng (∆).• Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn ABd qua M(1; 2) có VTPT là AB (4;2)=uuur⇒ d: 2x + y – 4 = 0 ⇒ Tâm I(a;4 – 2a)Ta có IA = d(I,D) a a a211 8 5 5 10 10⇔ − = − + ⇔ 2a2 – 37a + 93 = 0 ⇔ aa3312==• Với a = 3 ⇒ I(3;–2), R = 5 ⇒ (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25• Với a = 312 ⇒ I31; 272 − ÷ , R = 652 ⇒ (C): x y2231 4225( 27)2 4 − + + = ÷ Câu 9. Trong hệ toạ độ Oxycho hai đường thẳng d x y: 2 3 0+ − = và x y: 3 5 0∆+ − =. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng 2 105 , có tâm thuộc d và tiếp xúc với ∆.• Tâm I ∈ d ⇒I a a( 2 3; )− +. (C) tiếp xúc với ∆ nên: 2d I R( , )∆=a 22 10510−⇔ =aa62=⇔= −⇒ (C): x y2 28( 9) ( 6)5+ + − = hoặc (C): x y2 28( 7) ( 2)5− + + =.Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 24 3 4 0+ + − =. Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C′), bán kính R′ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. • (C) có tâm I( 2 3;0)−, bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I′ là tâm của (C′). PT đường thẳng IA : x ty t2 32 2== +, I IA'∈ ⇒ I t t(2 3 ;2 2)′+. AI I A t I12 '( 3;3)2′= ⇔ = ⇒uur uur ⇒ (C′): x y2 2( 3) ( 3) 4− + − =Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y y2 2–4 –5 0+ =. Hãy viết phương trình đường tròn (C′) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M4 2;5 5  ÷ • (C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M ⇒ I′8 6;5 5 − ÷  ⇒ (C′): x y2 28 695 5   − + + = ÷  ÷   Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 22 4 2 0+ − + + =. Viết phương trình đường tròn (C′) tâm M(5; 1) biết (C′) cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB 3=.• (C) có tâm I(1; –2), bán kínhR 3=. PT đường thẳng IM: x y3 4 11 0− − =. AB 3=.Gọi H x y( ; ) là trung điểm của AB. Ta có: H IMIH R AH2 232∈= − = ⇔ x yx y2 23 4 11 09( 1) ( 2)4− − =− + + =⇔ x yx y1 2 9;5 1011 11;5 10= − = −= = − ⇒ H1 29;5 10 − − ÷  hoặc H11 11;5 10 − ÷ .• Với H1 29;5 10 − − ÷ . Ta có R MH AH2 2 243′= + = ⇒ PT (C′): x y2 2( 5) ( 1) 43− + − =.• Với H11 11;5 10 − ÷ . Ta có R MH AH2 2 213′= + = ⇒ PT (C′): x y2 2( 5) ( 1) 13− + − =.Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( 1) ( 2) 4− + − = và điểm K(3;4). Lập phương trình đường tròn (T) có tâm K, cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).• (C) có tâm I(1;2), bán kính R 2=. IABS∆ lớn nhất ⇔ ∆IAB vuông tại I ⇔ AB 2 2=.Mà IK 2 2= nên có hai đường tròn thoả YCBT.3+ T1( ) có bán kính R R12= = ⇒ T x y2 21( ): ( 3) ( 4) 4− + − =+ T2( ) có bán kính R2 22(3 2) ( 2) 2 5= + = ⇒ T x y2 21( ): ( 3) ( 4) 20− + − =.Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(–2;3), B C1;0 , (2;0)4  ÷ .• Điểm D(d;0) d124 < < ÷ thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A khi và chỉ khi ( )( )dDB ABd d dDC AC d2222913444 1 6 3 1.24 3 + − ÷− = ⇔ = ⇒ − = − ⇒ =−+ − Phương trình AD: x yx y2 31 03 3+ −= ⇔ + − =−; AC: x yx y2 33 4 6 04 3+ −= ⇔ + − =−Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là b1− và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có: ( )b bb b b2 23 1 4 63 53 4− + −= ⇔ − =+ ⇒ b b bb b b43 5313 52− = ⇒ = −− = − ⇒ =Rõ ràng chỉ có giá trị b12= là hợp lý. Vậy, phương trình của đường tròn nội tiếp ∆ABC là: x y2 21 1 12 2 4   − + − = ÷  ÷   Câu 15. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d1): x y4 3 12 0− − = và (d2): x y4 3 12 0+ − =. Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2) và trục Oy.• Gọi A d d B d Oy C d Oy1 2 1 2, ,= ∩ = ∩ = ∩ ⇒ A B C(3;0), (0; 4), (0;4)− ⇒ ∆ABC cân đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC⇒ I R4 4;0 ,3 3 = ÷ .Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0− − = và hai đường tròn có phương trình: (C1): x y2 2( 3) ( 4) 8− + + =, (C2): x y2 2( 5) ( 4) 32+ + − =. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).• Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I a a d( ; –1)∈. (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II R R II R R II R II R1 1 2 2 1 1 2 2, – –= + = + ⇒ =⇔ a a a a2 2 2 2( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2− + + − = − + + − ⇔ a = 0 ⇒ I(0; –1), R = 2⇒ Phương trình (C): x y2 2( 1) 2+ + =.Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp 4∆ABC.• y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C x y x2 2: 2 0+ + =. Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C, biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o.• C x y I R2 2( ):( 1) 1 ( 1;0); 1+ + = ⇒ − =. Hệ số góc của tiếp tuyến (∆) cần tìm là 3±. ⇒ PT (∆) có dạng x y b1: 3 0∆− + = hoặc x y b2: 3 0∆+ + =+ x y b1: 3 0∆− + = tiếp xúc (C) d I R1( , )∆⇔ = bb31 2 32−⇔ = ⇔ = ± +. Kết luận: x y1( ): 3 2 3 0∆− ± + =+ x y b2( ): 3 0∆+ + = tiếp xúc (C) d I R2( , )∆⇔ =bb31 2 32−⇔ = ⇔ = ± +. Kết luận: x y2( ): 3 2 3 0∆+ ± + =.Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 26 2 5 0+ − − + = và đường thẳng (d): x y3 3 0+ − =. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 045.• (C) có tâm I(3; 1), bán kính R = 5. Giả sử (∆): ax by c c0 ( 0)+ + = ≠. Từ: d Id( , ) 52cos( , )2∆∆== ⇒ a b ca b c2, 1, 101, 2, 10= = − = −= = = − ⇒ x yx y: 2 10 0: 2 10 0∆∆− − =+ − =.Câu 20. Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2( ):( 1) ( 1) 10− + − = và đường thẳng d x y: 2 2 0− − =. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường trònC( ), biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng dmột góc 045.• (C) có tâm I(1;1) bán kính R 10=. Gọi n a b( ; )=r là VTPT của tiếp tuyến ∆ a b2 2( 0)+ ≠,Vì ·d0( , ) 45∆= nên a ba b2 2212. 5−=+ a bb a33=⇔= −• Với a b3= ⇒ ∆: x y c3 0+ + =. Mặt khác d I R( ; )∆=c41010+⇔ =cc614=⇔= −• Với b a3= −⇒ ∆: x y c3 0− + =. Mặt khác d I R( ; )∆=c21010− +⇔ =cc812= −⇔=Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm: x y3 6 0;+ + =x y3 14 0+ − =; x y3 8 0;− − =x y3 1 2 0− + =.Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x y x y2 2–2 –2 –2 0+ =, (C2): x y x y2 2–8 –2 16 0+ + =.• (C1) có tâm I1(1; 1), bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I2(4; 1), bán kính R2 = 1.Ta có: I I R R1 2 1 23= = + ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)⇒ (C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy.5* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: y ax b ax y b( ): ( ): 0∆ ∆= + ⇔ − + = ta có:a ba ad I Ra bhayd I Ra bb ba b2 21 12 22 212 22( ; )4 4( ; )4 14 7 2 4 7 214 4∆∆+ − == = − =  +⇔ ⇔   =+ −− +  = ==   + Vậy, có 3 tiếp tuyến chung: x y x y x1 2 32 4 7 2 2 4 7 2( ): 3, ( ): , ( )4 4 4 4∆ ∆ ∆+ −= = − + = +Câu 22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): x y2 2( 2) ( 3) 2− + − = và (C’): x y2 2( 1) ( 2) 8− + − =. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’).• (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 2=; (C′) có tâm I′(1; 2) và bán kính R' 2 2=.Ta có: II R R' 2′= = −⇒ (C) và (C′) tiếp xúc trong ⇒ Tọa độ tiếp điểm M(3; 4).Vì (C) và (C′) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II ( 1; 1)′= − −uur ⇒ PTTT: x y 7 0+ − =Câu 23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x y y2 21( ): 2 3 0+ − − = và C x y x y2 22( ): 8 8 28 0+ − − + =. Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1( ) và C2( ).• C1( ) có tâm I1(0;1), bán kính R12=; C2( ) có tâm I2(4;4), bán kính R22=.Ta có: I I R R1 2 1 25 4= > = + ⇒ C C1 2( ),( ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp:+ Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0+ =.Khi đó: d I d d I d c c1 2( , ) ( , ) 4= ⇔ = + ⇔ c 2= − ⇒ d x: 2 0− =.+ Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d y ax b: = +.Khi đó: d I dd I d d I d11 2( , ) 2( , ) ( , )== ⇔ bab a ba a22 21211 4 41 1− +=+− + − +=+ + ⇔ a ba ba b3 7;4 23 3;4 27 37;24 12= == = −= − =⇒ d x y:3 4 14 0− + = hoặc d x y:3 4 6 0− − = hoặc d x y: 7 24 74 0+ − =.Vậy: d x: 2 0− =; d x y:3 4 14 0− + =; d x y:3 4 6 0− − =; d x y: 7 24 74 0+ − =.Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn C x y y2 21( ): 4 5 0+ − − = và C x y x y2 22( ): 6 8 16 0+ − + + =. Viết phương trình tiếp tuyến chung của C1( ) và C2( ).• C1( ) có tâm I1(0;1), bán kính R13=; C2( ) có tâm I2(3; 4)−, bán kính R23=.Giả sử tiếp tuyến chung ∆ của C C1 2( ), ( ) có phương trình: ax by c a b2 20 ( 0)+ + = + ≠.∆ là tiếp tuyến chung của C C1 2( ), ( )⇔ d I Rd I R1 12 2( , )( , )∆∆== ⇔ b c a ba b c a b2 22 22 3 (1)3 4 3 (2)+ = +− + = +Từ (1) và (2) suy ra a b2= hoặc a bc3 22− +=.+ TH1: Với a b2=. Chọn b 1= ⇒ a c2, 2 3 5= = − ± ⇒ x y: 2 2 3 5 0∆+ − ± =6+ TH2: Với a bc3 22− +=. Thay vào (1) ta được: aa b a ba b2 202 243=− = + ⇔= −.⇒ y: 2 0∆+ = hoặc x y: 4 3 9 0∆− − =.Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 24 3 4 0+ + − =. Tia Oy cắt (C) tại điểm A. Lập phương trình đường tròn (T) có bán kính R′ = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A.• (C) có tâm I( 2 3;0)−, bán kính R 4=. Tia Oy cắt (C) tại A(0;2). Gọi J là tâm của (T).Phương trình IA: x ty t2 32 2== +. Giả sử J t t IA(2 3 ;2 2) ( )+ ∈.(T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên AI JA t J12 ( 3;3)2= ⇒ = ⇒uur uur.Vậy: T x y2 2( ):( 3) ( 3) 4− + − =.Câu 26. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x y2 21+ = và phương trình: x y m x my2 2–2( 1) 4 –5 0+ + + = (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương trình của đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm) tiếp xúc với (C).• (Cm) có tâm I m m( 1; 2 )+ −, bán kính R m m2 2' ( 1) 4 5= + + +,(C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1, OI m m2 2( 1) 4= + +, ta có OI < R′ Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong. ⇒ R′ – R = OI ( vì R’ > R) ⇒ m m31;5= − =.Câu 27. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường tròn có phương trình C x y2 211( ):( 1)2− + = và C x y2 22( ):( 2) ( 2) 4− + − =. Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với C1( ) và cắt C2( ) tại hai điểm M N, sao cho MN 2 2=.• C1( ) có tâm I1(1;0), bán kính R112=; C2( ) có tâm I1(2;2), bán kính R22=. Gọi H là trung điểm của MN ⇒ MNd I d I H R222 2 2( , ) 22 = = − = ÷ Phương trình đường thẳng d có dạng: ax by c a b2 20 ( 0)+ + = + ≠.Ta có: d I dd I d121( , )2( , ) 2== ⇔ a c a ba b c a b2 22 222 2 2+ = ++ + = +. Giải hệ tìm được a, b, c.Vậy: d x y d x y: 2 0; : 7 6 0+ − = + − =; d x y: 2 0− − =; d x y: 7 2 0− − =Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x2 2–6 5 0+ + =. Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 060.• (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) ∈ Oy7 Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ⇒ ··AMBAMB0060 (1)120 (2)== Vì MI là phân giác của ·AMB nên: (1) ⇔ ·AMI = 300 IAMI0sin30⇔ = ⇔ MI = 2R ⇔m m29 4 7+ = ⇔ = ± (2) ⇔ ·AMI = 600 IAMI0sin60⇔ = ⇔ MI = 2 33R ⇔m24 393+ = Vô nghiệm Vậy có hai điểm M1(0;7) và M2(0;7−)Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng ∆ định bởi: C x y x y x y2 2( ): 4 2 0; : 2 12 0∆+ − − = + − =. Tìm điểm M trên ∆ sao cho từ M vẽ được với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600.• Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R 5=.Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là nửa tam giác đều suy ra IM R=2 52=.Như thế điểm M nằm trên đường tròn (T) có phương trình: x y2 2( 2) ( 1) 20− + − =.Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng ∆, nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương trình: x yx y2 2( 2) ( 1) 20 (1)2 12 0 (2)− + − =+ − =Khử x giữa (1) và (2) ta được: ( ) ( )yy y y yy2 2232 10 1 20 5 42 81 0275=− + + − = ⇔ − + = ⇔=Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: ( )M 6;3 hoặc M6 27;5 5  ÷ Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( 1) ( 2) 9− + + = và đường thẳng d x y m: 0+ + =. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.• (C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vuông cạnh bằng 3IA 3 2⇒ =⇔ mmmm153 2 1 672−= −= ⇔ − = ⇔=Câu hỏi tương tự:a) C x y d x y m2 2( ): 1, : 0+ = − + =ĐS: m 2= ±.Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( 1) ( 2) 9− + + = và đường thẳng d x y m:3 4 0− + =. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho PAB là tam giác đều. • (C) có tâm I(1; 2)−, bán kính R 3=. ∆PAB đều ⇒ PI AI R2 2 6= = = ⇒ P nằm trên đường tròn (T) có tâm I, bán kính r 6=. Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT nên d là tiếp tuyến của (T) ⇒ mmd I dm1119( , ) 6 6415+== ⇔ = ⇔= −.8Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn C x y x y2 2( ): 18 6 65 0+ − − + = và C x y2 2( ) : 9′+ =. Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C′), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8.• (C’) có tâm ( )O 0;0, bán kính R OA 3= =. Gọi H AB OM= ∩⇒ H là trung điểm của AB ⇒ AH125=. Suy ra: OH OA AH2 295= − = và OAOMOH25= =.Giả sử M x y( ; ). Ta có: M C x y x yOMx y2 22 2( ) 18 6 65 0525∈ + − − + =⇔ =+ = x xy y4 53 0 = =⇔ ∨ = = Vậy M(4;3) hoặc M(5;0).Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( 1) ( 2) 4− + + =. M là điểm di động trên đường thẳng d y x: 1= +. Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T T1 2 đi qua điểm A(1; 1)−.• (C) có tâm I(1; 2)−, bán kính R 2=. Giả sử M x x d0 0( ; 1)+ ∈. IM x x x R2 2 20 0 0( 1) ( 3) 2( 1) 8 2= − + + = + + > = ⇒ M nằm ngoài (C) ⇒ qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C).Gọi J là trung điểm IM ⇒ x xJ0 01 1;2 2 + − ÷ . Đường tròn (T) đường kính IM có tâm J bán kính IMR12= có phương trình x x x xT x y2 22 20 0 0 01 1 ( 1) ( 3)( ):2 2 4   + − − + +− + − = ÷  ÷   Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C) ⇒ ··IT M IT M T T T01 2 1 290 , ( )= = ⇒ ∈T T C T1 2{ , } ( ) ( )⇒ = ∩ ⇒ toạ độ T T1 2, thoả mãn hệ:x x x xx yx x x y xx y2 22 20 0 0 00 0 02 21 1 ( 1) ( 3)( ) ( )(1 ) (3 ) 3 0 (1)2 2 4( 1) ( 2) 4+ − − + +− + − =⇒ − − + − − =− + + =Toạ độ các điểm T T1 2, thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1 đường thẳng nên phương trình T T1 2 là x x y x x0 0 0(1 ) (3 ) 3 0− − + − − =.A(1; 1)− nằm trên T T1 2 nên x x x0 0 01 (3 ) 3 0− + + − − = ⇔ x01= ⇒ M(1;2).Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x y2 2( –1) ( 1) 25+ + = và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho MA = 3MB.• M CP/( )27 0= > ⇒ M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.Mặt khác: M CP MA MB MB MB BH2/( ). 3 3 3= = ⇒ = ⇒ =uuur uuurIH R BH d M d2 24 [ ,( )]⇒ = − = =Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).9aa bd M da ba b2 206 4[ ,( )] 4 4125=− −= ⇔ = ⇔= −+. Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt đường tròn (C) có phương trình x y2 2( 2) ( 1) 25− + + = theo một dây cung có độ dài bằng l 8=.• d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 ⇔ ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0)Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l 8= nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3.( )a b a bd I d a b a ba b2 22 22 2, 3 3 3− − −= = ⇔ − = ++ aa aba b208 6 034=⇔ + = ⇔= −• a = 0: chọn b = 1 ⇒ d: y – 2 = 0 • a = b34−: chọn a = 3, b = – 4 ⇒ d: 3x – 4 y + 5 = 0.Câu hỏi tương tự:a) d đi qua O, C x y x y2 2( ): 2 6 15 0+ − + − =, l 8=. ĐS: d x y:3 4 0− =; d y: 0=.b) d đi qua Q(5;2), C x y x y2 2( ): 4 8 5 0+ − − − =, l 5 2=.ĐS: d x y: 3 0− − =; d x y:17 7 71 0− − =.c) d đi qua A(9;6), C x y x y2 2( ): 8 2 0+ − − =, l 4 3=.ĐS: d y x: 2 12= −; d y x1 21:2 2= − +Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y x y2 22 8 8 0+ + − − =. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d x y:3 2 0+ − = và cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài l 6=.• (C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng ∆ có dạng: x y c c3 0, 2+ + = ≠.Vì ∆ cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:( )ccd Ic23 44 10 1, 44 10 13 1∆− + += −⇒ = = ⇔= − −+.Vậy phương trình ∆ cần tìm là: x y3 4 10 1 0+ + − =hoặc x y3 4 10 1 0+ − − =.Câu hỏi tương tự:a) C x y2 2( ):( 3) ( 1) 3− + − =, d x y:3 4 2012 0− + =, l 2 5=.ĐS: x y:3 4 5 0∆− + =; x y:3 4 15 0∆− − =.Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2( ):( 4) ( 3) 25+ + − = và đường thẳng x y:3 4 10 0∆− + =. Lập phương trình đường thẳng d biết d ( )∆⊥ và d cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6.• (C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d∆⊥ nên PT của d có dạng: x y m4 3 0+ + =.Ta có: d I1( ,( ))∆ = IH = AI AH2 2 2 25 3 4− = − = ⇔ mmm2 22716 94134 3=− + += ⇔= −+Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: x y4 3 27 0+ + = và x y4 3 13 0+ − =.10Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 22 2 3 0+ − − − = và điểm M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất.• (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5. IM = 2 5< ⇒ M nằm trong đường tròn (C).Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d. Ta có: AB = 2AH = IA IH IH IM2 2 2 22 2 5 2 5 2 3− = − ≥ − =.Dấu "=" xảy ra ⇔ H ≡ M hay d ⊥ IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI (1; 1)= −uuur⇒ Phương trình d: x y 2 0− + =.Câu hỏi tương tự: a) Với (C): x y x y2 28 4 16 0+ − − − =, M(–1; 0). ĐS: d x y: 5 2 5 0+ + =Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho ∆OAB có diện tích lớn nhất.• Tam giác OAB có diện tích lớn nhất ⇔ ∆OAB vuông cân tại O. Khi đó d O d5 2( , )2=.Giả sử phương trình đường thẳng d: A x B y A B2 2( 2) ( 6) 0 ( 0)− + − = + ≠d O d5 2( , )2= ⇔ A BA B2 22 6 5 22− −=+ ⇔ B AB A2 247 48 17 0+ − = ⇔ B AB A24 5 554724 5 5547− −=− +=+ Với B A24 5 5547− −=: chọn A = 47 ⇒ B = 24 5 55− − ⇒ d: ( )x y47( 2) 24 5 55 ( 6) 0− − + − =+ Với B A24 5 5547− +=: chọn A = 47 ⇒ B = 24 5 55− + ⇒ d: ( )x y47( 2) 24 5 55 ( 6) 0− + − + − =Câu hỏi tương tự:a) C x y x y2 2( ): 4 6 9 0+ + − + =, M(1; 8)−. ĐS: x y x y7 1 0; 17 7 39 0+ + = + + =.Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 26 2 6 0+ − + − = và điểm A(3;3). Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C). • (C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) ∈ (C). PT đường thẳng d có dạng: a x b y a b2 2( 3) ( 3) 0, 0− + − = + ≠ ⇔ ax by a b3 3 0+ − − =. Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B ⇒ AB = 42. Gọi I là tâm hình vuông. Ta có: d I d AD AB1 1( , ) 2 2 ( )2 2= = =a b a ba b2 23 3 32 2− − −⇔ =+b a b a b a b2 2 2 24 2 2⇔ = + ⇔ = ⇔ = ±. Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x y 6 0+ − = hoặc x y 0− =.11Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x y2 213+ = và (C2): x y2 2( 6) 25− + =. Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.• (C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13. (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao điểm A(2; 3). Giả sử d: a x b y a b2 2( 2) ( 3) 0 ( 0)− + − = + ≠. Gọi d d O d d d I d1 2 2( , ), ( , )= =.Từ giả thiết ⇒ R d R d2 2 2 21 1 2 2− = − ⇔ d d2 22 112− = ⇔ a a b a ba b a b2 22 2 2 2(6 2 3 ) ( 2 3 )12− − − −− =+ +⇔ b ab23 0+ = ⇔ bb a03== −.• Với b = 0: Chọn a = 1 ⇒ Phương trình d: x 2 0− =.• Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 ⇒ Phương trình d: x y3 7 0− + =.Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: mx y4  0+ =, đường tròn (C): x y x my m2 2 22 2 24 0+ − − + − = có tâm I. Tìm m để đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.• (C) có tâm I m(1; ), bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB. m m mIH d Im m2 24 5( , )16 16+= ∆ = =+ +; mAH IA IHmm22 222(5 ) 20251616= − = − =++IABS 12∆= ⇔ md I AH m mm23( , ). 12 3 25 48 0163= ±∆ = ⇔ − + = ⇔= ±Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C x y2 2( ): 1+ =, đường thẳng d x y m( ): 0+ + =. Tìm m để C( )cắt d( ) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.• (C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B d O d( ; ) 1⇔ Đọc tiếp