CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONGKHÔNG GIAN HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁNChủ đề Phương trình đường thẳng trong không gianCác công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải [phần2]Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương uViết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểmViết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳngViết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳngViết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳngViết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông gócvới đường thẳngViết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc vớiđường thẳngViết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặtphẳngViết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳngViết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳngViết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắtđường thẳng d2Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳngViết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳngViết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳngViết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhauViết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳngVị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gianVị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳngVị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầuHình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳngKhoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéonhauViết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cáchGóc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳngTìm điểm thuộc đường thẳng thỏa điều kiện cho trước, bài toán về cực trị,...60 câu hỏi trắc nghiệm đường thẳng trong không gian có giải chi tiết [phần 1]60 câu hỏi trắc nghiệm đường thẳng trong không gian có giải chi tiết [phần 2]Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong không gianCác công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gianI. Phương trình đường thẳng+Chođườngvectơsố là :+ChothẳngΔđiquađiểmvànhậnlàm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình thamđườngthẳngΔđiquađiểmvànhậnvectơsao cho a.b.c ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ cóphương trình chính tắc là :II. GócM1. Góc giữa hai đường thẳng:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d1; d2. Trong đó:· Đường thẳng d1 vectơ chỉ phương u1→· Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u2→· Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi:2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d và mặt phẳng [P]. Trongđó:· Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→· Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến là n→· Gọi φ là góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng [P]. Khi đó ,ta có:III. Khoảng cách:1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua điểm M 0[ x0; y0;z0] và có vecto chỉ phương u→.Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d2.Trong đó:·Đường thẳng d1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u1→· Đường thẳng d2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u2→·Khoảng cách hai đường thẳng d1 và d2 là:19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải1. Phương pháp giảiNếu đường thẳng d đi qua điểm M[xo; yo; zo] và vecto chỉ phương u→ [ a; b; c] thì+ Phương trình tham số của đường thẳng d:+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d [ với a.b.c ≠ 0 ] là:* Chú ý:+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng [α] thì vectơ chỉphương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng [α]vì d ⊥[α]+ Nếu đường thẳng d// ∆ thì đường thẳng d nhận vecto u d→ = uΔ→ làm vecto chỉphương .2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Cho đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A [2 ; 1 ; 5] và có vectơ chỉphương u→=[1;1;2]. Tìm mệnh đề đúngA. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:B. Phương trình tham số của đường thẳng d:C. Phương trình tham số của đường thẳng d:D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:Hướng dẫn giải:Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:Trong đó t là tham sốPhương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:Chọn B.Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi quaA[1;0; -1] và vuông góc với mặt phẳng [P]: 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đềđúng?A. Vậy phương trình tham số của ∆ làB. Phương trình chính tắc của ∆ làC. Vậy phương trình tham số của ∆ là:D. Phương trình chính tắc của ∆ làHướng dẫn giải:Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng [α] nên vectơ chỉ phương của ∆ là:u∆→ = nα→ = [2; -1;1]Vậy phương trình tham số của ∆ làPhương trình chính tắc của ∆ làChọn A.Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d điqua A [1; 2; 3] và song song với [d’]:. Tìm mệnh đề saiA. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ [ -4; 4; 2]B. Vậy phương trình tham số của d làC. Phương trình chính tắc của d làD. đường thẳng d không có phương trình chính tắcHướng dẫn giải:Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud→ = ud'→ = [ 2; -2; -1]Vậy phương trình tham số của d làPhương trình chính tắc của d làChọn D.Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d điqua A [0; 2; -1] và song song với [d’]:sai ?. Tìm mệnh đềA. Điểm M[2; 8; - 3] thuộc đường thẳng d.B. Phương trình tham số của đường thẳng d:C. Đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] : x+ 3y- z+ 10= 0D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:Hướng dẫn giải:Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud→ = ud'→ = [ 1; 3; -1]Vậy phương trình tham số của d làCho t= 2 ta được điểm M [ 2; 8; -3] thuộc đường thẳng dPhương trình chính tắc của d là:Mặt phẳng [P]: x+ 3y – z+ 10= 0 có vecto pháp tuyến n→[ 1; 3; -1]=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d là vecto pháp tuyến của măt phẳng [P]=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [P].=> C saiChọn C.Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắtnhau [P] và [Q] hoặc đường thẳng d đi qua M và song song với 2 mặt phẳngcắt nhau [P] và [Q].1. Phương pháp giảiCách 1:+ Cả hai trường hợp đều suy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥nQ→Mà [P] và [Q] cắt nhau nên VTCP của d là ud→⊥ [nP→; nQ→]+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d.+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto ud→⊥ [nP→; nQ→] làm vecto chỉphương=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳngCách 2:Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau [P] và [Q] thì với mỗi điểmM [ x; y;z] thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:phương trình [P] và Phương trình [Q] [*]Đặt x= t [ hoặc y = t hoặc z = t] thay vào hệ [*] rồi rút y; z theo tTừ đó suy ra phương trình của đường thẳng d.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặtphẳng [α]: x- 3y + z = 0 và [α’]: x+y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số củađường thẳng dHướng dẫn giải:* Cách 1: Điểm M [x; y; z] ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:Đặt y = t, ta cóVậy phương trình tham số của d là:Cách 2: Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ [*]Ta có hệVậy điểm Mo[ -2; 0; 2] thuộc đường thẳng d.Do uα→ [ 1;-3; 1]; n'α→[ 1; 1; -1]Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→[1;1;2]Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→[1; 1;2]Vậy phương trình tham số của d là:Chọn C.Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng[P]: y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ [Oyz].Chọn 1 vectơ chỉ phương củađường thẳng d là [1; 1;2]Hướng dẫn giải:Mặt phẳng [Oyz] có phương trình x= 0Điểm M [x; y; z]∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:Đặt z= t ta được:là phương trình đường thẳng dChọn A.Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A [1; 2; - 1] và song song vớiđường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng [α]:x+ y - z + 3= 0 và [α’]: 2x – y+ 5z– 4= 0Hướng dẫn giải:Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là: nα→[1; 1; -1]; nα'→[2; -1; 5]Vectơ chỉ phương của đường thẳng d làVậy phương trình đường thẳng d làChọn A.Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng [α]:2x+ y + 1= 0 và [β]: x- y + z – 1 = 0Hướng dẫn giải:Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng nα→[2; 1; 0] và nβ→[1; -1; 1]Vectơ chỉ phương của đường thẳng d làĐiểm M [x; y; z] ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ [*]Ta có hệVậy điểm Mo [0; -1; 0] thuộc đường thẳng d.Vậy phương trình đường thẳng d làChọn C.Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ là giao tuyếncủa hai mặt phẳng [α]: x - 2y – z + 10= 0 và [β]: 2x+2y – 3z – 40= 0 . Phươngtrình đường thẳng d đi qua điểm M[2; 3; 1] và song song với đường thẳng ∆ làHướng dẫn giải:Mặt phẳng [α] có vec tơ pháp tuyến nα→[1; -2; -1]Mặt phẳng [β] có vec tơ pháp tuyến nβ→[2; 2; -3]Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là ud→ = [nα→;nα→]=[ 8;1; 6]Vậy phương trình của d là:Chọn D.Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặtphẳng [P] và vuông góc với đường thẳng d’ [d’ không vuông góc với [P]].1. Phương pháp giảiDo đường thẳng song song với mặt phẳng [ P] và vuông góc với đường thẳng d’nênSuy ra ud→⊥nP→ và ud→⊥ ud'→Mà d’ không vuông góc với [P]Nên VTCP của d là ud→ = [nP→;ud'→]+ Đường thẳng d đi qua điểm M[ đã biết] và nhận vecto ud→ làm vecto chỉphương=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M [1; 2; -1], song song vớimặt phẳng [P]: x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’:Hướng dẫn giải:Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là nP→[1; 1; -1]Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: ud'→[1; 3; 2]Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] và vuông góc với đường thẳng d’nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [nP→; ud'→] =[ 5; -3; 2]d đi qua điểm M [1; 2; -1]Vậy phương trình đường thẳng d làChọn B.Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M [0; 1; 2], song song vớimặt phẳng [Oxy] và vuông góc với đường thẳngHướng dẫn giải:Phương trình mặt phẳng [Oxy] là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng nàylà nOxy→[0; 0; 1]Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là ud'→[1; -2; 1]Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [Oxy] và vuông góc với đường thẳngd’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [ud'→;nOxy→] = [ 2; 1; 0]d đi qua điểm M [0; 1; 2]Vậy phương trình đường thẳng d làChọn C.Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng [P] : y- 2z- 1= 0và đường thẳng ∆ :. Phương trình chính tắc đườngthẳng d đi qua điểm B[ 2 ; 2 ; - 2] song song với [P] và vuông góc với ∆ làHướng dẫn giải:Dường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u∆→[2 ; 1 ;1]Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến nP→[0 ; 1 ; - 2].Gọi ud→ là vectơ chỉ phương của d.Do đường thẳng d song song với mặt phẳng [P] và vuông góc với đường thẳng ∆nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: ud→= [nP→; uΔ→] = [ 3;-4; -2]Vậy phương trình chính tắc của d là:Chọn D.Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: x- 2y+ 2z- 5=0 và hai điểm A[0; 0; 1]; B[ 1; -1; 3]. Trong các đường thẳng đi qua A và songsong với [P], đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhấtcó phương trình là.Hướng dẫn giải:Gọi d là đường thẳng cần tìm+ Gọi mặt phẳng [Q] qua A[ -3; 0;1] và song song với [P].Khi đó: [Q] có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0Thay tọa độ điểm A vào phương trình [ Q] ta được : -3- 2.0+ 2.1+ D= 0=> D = 1Vậy phương trình [ Q]: x- 2y + 2z +1= 0+ Gọi K; H lần lượt là hình chiếu của B lên d; [Q].Ta có: d[ B; d] = BK ≥BHDo đó AH là đường thẳng cần tìm.+ Mặt phẳng [ Q] có vectơ pháp tuyến nQ→[1; -2; 2]BH qua B và có vectơ chỉ phương uBH→ = nQ→[1; -2; 2]=> Phương trình đường thẳng BH là:Do H ∈ BH nên H[ 1+ t; - 1- 2t; 3+ 2t]. Do H thuộc mp [P] nên1+ t – 2[- 1- 2t] + 2[ 3+ 2t ] – 5= 0 => t= -4/9Do đó H[5/9; -1/9; 19/9]+ Đường thẳng d đi qua điểm A[0; 0; 1] và có vectơ chỉ phươngud→ = AH→ = 1/9[5;-1;10]Vậy phương trình của d làChọn A.Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng [P]: x- 2y+ 2z- 5=0; điểm A[2;1; 1]; B[ -1; 2; 3] . Mặt phẳng [Q] song song với mặt phẳng [P] và điqua A. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M[1;0; 0] đồng thời song song với[P] và vuông góc với đường thẳng OB?Hướng dẫn giải:+ Mặt phẳng [Q] qua A[2; 1;1] và song song với [P].Khi đó [Q] có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0Thay tọa độ điểm A vào phương trình [ Q] ta đưọc: 2- 2.1 + 2.1+ D= 0=> D = - 2Vậy phương trình [ Q]: x- 2y +2z - 2= 0Mặt phẳng [ Q] có vecto pháp tuyến n→[1; -2; 2]+ Đường thẳng OB có vecto chỉ phương là OB→[ -1; 2; 3]+ Đường thẳng d đi qua điểm M[1;0 ; 0] và có vectơ chỉ phương là :u→ = [n→; OB→] = [ -10; 5; 0] = - 5[ 2; -1; 0]Vậy phương trình của d làChọn C.Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M; nằm trong mặtphẳng [P] và vuông góc với đường thẳng ∆ [hoặc song song với mặt phẳng [Q]].1. Phương pháp giải+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆: u∆→+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] và [Q]: nP→; nQ→+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:u→ = [u∆→; nP→] hoặc [nP→; nQ→]+ Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→=> phương trình đường thẳng d:2. Ví dụ minh họaVí dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng∆:và mặt phẳng [P]: x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trìnhđường thẳng d đi qua M[ 1; -1; 1]; nằm trong mặt phẳng [P] và vuông góc vớiđường thẳng ∆?Hướng dẫn giải:+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u∆→[ 1; 2; -1]Mặt phẳng [ P] có vecto pháp tuyến n→[ 1; -2; 3].+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P] và vuông góc với đường thẳng ∆nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:u→ = [u∆→; n→] = [ 4; - 4; - 4] chọn [ 1; -1; -1] .=> Phương trình đường thẳng d cần tìmChọn B.Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng∆:và mặt [P]: x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham sốcủa đường thẳng d nằm trong [P] , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:Hướng dẫn giải:+ Tìm giao điểm M của ∆ và mặt phẳng [ P]:Điểm M[ - 2+ t; 2+ t;- t] thuộc ∆.Thay tọa độ M vào phương trình [P] ta được:- 2+ t+ 2[2+ t] – 3[ - t] + 4= 0 ⇔ - 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M [ - 3; 1; 1]+ Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến uP→[ 1; 2;-3]+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u∆→[ 1; 1; -1]+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng [P]và vuông góc với đường thẳng ∆nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u→=[nP→;u∆→] = [1; -2; -1]+ Đường thẳng d đi qua điểm M[ -3; 1; 1] và có vectơ chỉ phương là u→ = [1; -2;-1]Vậy phương trình tham số của d là:Chọn B.Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳngd:và mặt phẳng [P]: 2x+ y- 2z + 9= 0. Gọi A là giaođiểm của d và [P]. Phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong [P], đi quađiểm A và vuông góc với d làHướng dẫn giải:+ Điểm A là giao điểm của đường thẳng d và [P].=> Tọa độ A[ 1- t; - 3+ 2t; 3+ t]Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng [P] ta được :2[ 1- t] + [ -3+ 2t] – 2[ 3+ t] + 9= 0⇔ 2- 2t- 3+ 2t – 6 – 2t + 9= 0 ⇔ - 2t+ 2= 0