Hình học giải tích là một kiến thức khá mới và thú vị trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn hướng dẫn giải toán nâng cao 12 cho một số dạng bài tập hay bắt gặp trong các đề thi, mà tập trung chính sẽ là chủ đề phương trình mặt phẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi tính vận dụng cao, ngoài kiến thức cơ bản, cũng yêu cầu sự kết hợp nhuần nhuyễn và linh hoạt các công thức mới có thể giải được. Cùng nhau khám phá bài viết nhé:
I. Giải toán nâng cao 12 – Kiến thức cần nắm.
Vecto pháp tuyến [VTPT] của mặt phẳng:
Chú ý:
+ Nếu
+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu ta biết VTPT của nó và một điểm nó đi qua.
+ Nếu hai vecto
Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
+ Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng sau: Ax+ By+Cz+D=0 [với A²+B²+C²≠0]
+ Khi đó vecto [A,B,C] được xem là VTPT của mặt phẳng.
+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M[x0,y0,z0] và xem vecto [A,B,C] ≠ 0 là VTPT là:
A[x-x0]+B[y-y0]+C[z-z0]=0
Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình mặt phẳng [α]: Ax+ By+Cz+D=0
[với A²+B²+C²≠0]:
+ Nếu D=0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.
+ Nếu A=0, BC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.
+ Nếu B=0, AC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy
+ Nếu C=0, AB≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz.
+ Nếu A=B=0, C≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxy]
+ Nếu B=C=0, A≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oyz]
+ Nếu A=C=0, B≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với [Oxz]
Như vậy ta rút ra nhận xét:
+ Nếu trong phương trình [α] không chứa ẩn nào thì mặt phẳng [α] sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng [ví dụ A=0, tức là thiếu ẩn x, kết quả là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox].
+ Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: x/a +y/b + z/c=1. ở đây, mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ [a,0,0]; [0,b,0] và [0,0,c] [với abc≠0]
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho [α]: Ax+By+Cz+D=0 và [β]: A’x+B’y+C’z+D’=0, khi đó:
+ [α] song song [β]:
+ [α] trùng [β]:
+ [α] cắt [β]: chỉ cần
Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: cho mặt phẳng [α]: Ax+By+Cz+D=0 và điểm M[x0,y0,z0], lúc này khoảng cách từ M đến mặt phẳng [α] được tính theo công thức:
II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.
Dạng 1: viết phương trình khi biết 1 điểm và VTPT. Dạng này có thể biến tấu bằng cách cho trước 1 điểm và một phương trình mặt phẳng khác song song với phương trình mặt phẳng cần tìm.
Phương pháp: Áp dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có VTPT, áp dụng thêm lưu ý hai mặt phẳng song song thì có cùng VTPT.
VD: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua A[1;0;-2] và VTPT [1;-1;2]?
Hướng dẫn:
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
Phương pháp:
Mấu chốt vấn đề là ta phải tìm được VTPT của mặt phẳng, vì đã biết trước được một điểm mà mặt phẳng đi qua rồi [A, B và C].
Do A, B, C cùng nằm trên mặt phẳng nên AB, AC là hai đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng, lúc này:
Trường hợp này có thể biến tấu bằng cách thay vì cho 3 điểm cụ thể, bài toán sẽ cho 2 đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng cần tìm. Cách làm là tương tự, thay các vecto AB, AC bằng các vecto chỉ phương của mặt phẳng, ta sẽ tìm được VTPT. Sau đó, chọn 1 điểm bất kì trên 1 đường thẳng là ta lại quay về dạng 1.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A[1;0;-2], B[1;1;1] và C[0;-1;2].
Hướng dẫn:
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng [α] song song với mặt phẳng [β]: Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước.
Phương pháp:
Do [α] song song [β] nên mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax+By+Cz+D’=0.
Sử dụng công thức khoảng cách để tìm D’.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với [Q]: x+2y-2z+1=0 và cách điểm M[1;-2;1] một khoảng là 3.
Hướng dẫn:
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng [α] tiếp xúc với mặt cầu [S] cho trước.
Phương pháp:
Ta tìm tọa độ tâm I của [S]. Do [α] tiếp xúc [S] nên ta sẽ tìm tọa độ tiếp điểm, gọi tiếp điểm là M. Có được điểm đi qua, VTPT lại là vecto MI thì ta dễ dàng áp dụng như dạng 1.
Nếu bài toán không cho tiếp điểm mà ta chỉ có thể tìm được VTPT dựa vào 1 số dữ kiện ban đầu, lúc này phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm D.
Ví dụ: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q]: x+2y-2z+1=0 và tiếp xúc với mặt cầu [S]: x²+y²+z²+2x-4y-2z-3=0.
Hướng dẫn:
III. Giải toán nâng cao 12 – Các bài tập tự luyện.
Đáp án:
Trên đây là những vấn đề giải toán nâng cao 12 chủ đề phương trình mặt phẳng mà Kiến Guru muốn chia sẻ tới các bạn. Trong khuôn khổ bài viết, tuy mới chỉ là một trong số rất nhiều dạng trong chương trình Toán THPT, nhưng Kiến hy vọng đây sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều bài viết khác trên trang của Kiến nhé. “Có công mài sắt có ngày nên kim”, chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPT sắp tới.
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng [Oyz] và đi qua điểm \[K\left[ {4; - 5;7} \right]\]có phương trình là
A.
B.
C.
D.
– Chọn bài -Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gianBài 2 : Phương trình mặt phẳngBài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gianÔn tập chương 3 Hình học 12Câu hỏi trắc nghiệm chương 3 Hình học 12Ôn tập cuối năm Hình học 12
Sách giải toán 12 Bài 2 : Phương trình mặt phẳng giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 70: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A[2; -1; 3], B[4; 0; 1], C[-10; 5; 3]. Hãy tìm tọa độ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC].
Đang xem: Viết phương trình mặt phẳng song song với oxy
Lời giải:
AB→ = [2;1;-2]; AC→ = [-12;6;0]
= [12;24;24]
⇒ một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC] là n→[1;2;2]
Lời giải:
Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [α] là n→[4; -2; -6]
Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 72: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng [MNP] với M[1; 1; 1], N[4; 3; 2], P[5; 2; 1].
Lời giải:
MN→ = [3;2;1]; MP→ = [1;-1;-1]
= [-1;4;-5]
⇒ Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [MNP] là n→[1;-4;5]
Phương trình tổng quát của mặt phẳng [MNP] với M[1; 1; 1], N[4; 3; 2], P[5; 2; 1]là : [x-1]-4[y-1]+5[z-1]=0
Hay x – 4y + 5z – 2 = 0
Lời giải:
B = 0 ⇒ mặt phẳng [α] // hoặc chứa trục Oy ; C = 0 ⇒ mặt phẳng [α] // hoặc chứa trục Oz
Lời giải:
A = C = 0 và B ≠ 0 ⇒ mặt phẳng [α] // hoặc trùng với [Oxz]
B = C = 0 và A ≠ 0 ⇒ mặt phẳng [α] // hoặc trùng với [Oyz]
Trả lời câu hỏi Toán 12 Hình học Bài 2 trang 74: Cho hai mặt phẳng [α] và [β] có phương trình
[α]: x – 2y + 3z + 1 = 0
[β]: 2x – 4y + 6z + 1 = 0.
Có nhận xét gì về vecto pháp tuyến của chúng ?
Lời giải:
nα→ = [1;-2;3]; nβ→ = [2;-4;6]
Hai vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là hai vecto tỉ lệ
[α]: x – 2 = 0
[β]: x – 8 = 0.
Lời giải:
Ta có [α]//[β]
Lấy M [8;0;0] ∈ [β]
d[[α],[β]] = d[M,[α]] = |8 – 2|/√12 = 6
Bài 1 [trang 80 SGK Hình học 12]: Viết phương trình mặt phẳng:
a] Đi qua điểm M[1; -2; 4] và nhận n→ = [2 ; 3 ; 5] làm vec tơ pháp tuyến
b] Đi qua A[0; -1; 2] và song song với giá của mỗi vec tơ u→ = [3; 2; 1] và v→ = [-3; 0; 1].
c] Đi qua ba điểm A[-3; 0; 0]; B[0; -2; 0] và C[0; 0; -1].
Lời giải:
a] Mặt phẳng đi qua điểm M[1; -2; 4] và nhận n→ = [2; 3; 5] làm vectơ pháp tuyến là:
2[x – 1] + 3[y + 2] + 5[z – 4] = 0
⇔ 2x + 3y + 5z – 16 = 0.
b] Mặt phẳng nhận u→ và v→ là vec tơ chỉ phương
⇒ nhận
= [2.1 – 1.0 ; 1.[-3] – 3.1 ; 3.0 – [-3].2] = [2; -6; 6] là vec tơ pháp tuyến.
Mặt phẳng đi qua A[0 ; -1 ; 2] nên có phương trình :
2[x – 0] – 6[y + 1] + 6[z – 2] = 0
⇔ 2x – 6y + 6z – 18 = 0
⇔ x – 3y + 3z – 9 = 0.
c] Cách 1:
Mặt phẳng [R] đi qua ba điểm A, B, C nhận
là hai vec tơ chỉ phương
⇒ Nhận
= [[-2].[-1] – 0; 0.3 – 3.[-1]; 3.0 – 3.[-2]] = [2; 3; 6] là vec tơ pháp tuyến.
[R] đi qua A[-3; 0; 0] nên có phương trình:
2[x + 3] + 3y + 6z = 0
⇔ 2x + 3y + 6z + 6 = 0.
Cách 2 :
[R] đi qua A[-3 ; 0 ; 0] ; B[0 ; -2 ; 0] ; C[0 ; 0 ; -1] nên có phương trình đoạn chắn là :
⇔ 2x + 3y + 6z + 6 = 0.
Xem thêm: Xem Cách Tính Công Suất Điều Hòa Theo M2, Cách Tính Công Suất Điều Hòa Theo M3
Bài 2 [trang 80 SGK Hình học 12]: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A[2; 3; 7], B[4; 1; 3]
Lời giải:
Bài 3 [trang 80 SGK Hình học 12]:
a] Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx
b] Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M[2; 6; -3] và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải:
a] Mặt phẳng Oxy là tập hợp các điểm có cao độ z = 0 nên có phương trình: z = 0.
Tương tự:
Mặt phẳng Oyz: x = 0
Mặt phẳng Ozx: y = 0.
b] Phương trình mặt phẳng đi qua M[2; 6; -3] và song song với [Oxy]: z + 3 = 0
Phương trình mặt phẳng đi qua M[2; 6; -3] và song song với [Oyz]: x – 2 = 0
Phương trình mặt phẳng đi qua M[2; 6; -3] và song song với [Ozx]: y – 6 = 0.
Bài 4 [trang 80 SGK Hình học 12]: Lập phương trình mặt phẳng:
a]Chứa trục Ox và điểm P[4; -1; 2]
b]Chứa trục Oy và điểm Q[1; 4; -3]
c]Chứa trục Oz và điểm R[3; -4; 7]
Lời giải:
a] [P] chứa Ox và điểm P[4; -1; 2].
+ [P] chứa Ox ⇒ nhận i→ = [1; 0; 0] là 1 vtcp
+ [P] chứa O[0 ; 0 ; 0] và P[4 ; -1 ; 2] ⇒ nhận
= [ 4 ; -1 ; 2] là 1 vtcp
⇒ [P] nhận
= [0; -2; -1] là 1 vtpt
⇒ [P]: -2.[y – 0] – 1.[z – 0] = 0
hay [P] : 2y + z = 0.
b] [Q] chứa trục Oy và điểm Q[1; 4; -3]
+ [Q] chứa Oy ⇒ nhận j→ = [0; 1; 0] là 1 vtcp].
+ [Q] chứa O[0 ; 0 ; 0] và Q[1 ; 4 ; -3] ⇒ nhận
= [ 1 ; 4 ; -3] là 1 vtcp
⇒ [Q] nhận
= [-3; 0; -1] là 1 vtpt
⇒ [Q]: -3[x – 0] – 1.[z – 0] = 0
hay [Q]: 3x + z = 0.
c] [R] chứa trục Oz và điểm R[3; -4; 7]
+ [R] chứa Oz ⇒ nhận k→ = [0; 0; 1] là 1 vtcp.
+ [R] chứa O[0 ; 0 ; 0] và R[3 ; -4 ; 7] ⇒ nhận
= [ 3 ; -4 ; 7] là 1 vtcp
⇒ [R] nhận
= [4; 3; 0] là 1 vtpt
⇒ [R]: 4[x – 0] + 3.[y – 0] = 0
hay [R]: 4x + 3y = 0.
Bài 5 [trang 80 SGK Hình học 12]: Cho tứ diện có các đỉnh là A[5; 1; 3], B[1; 6; 2], C[5; 0; 4], D[4; 0; 6]
a]Hãy viết phương trình của các mặt phẳng [ACD] và [BCD]
b]Hãy viết phương trình mặt phẳng [α] đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Lời giải:
Bài 6 [trang 80 SGK Hình học 12]: Hãy viết phương trình mặt phẳng [α] đi qua điểm M[2; -1; 2] và song song với mặt phẳng [β] : 2x – y + 3z + 4 = 0
Lời giải:
Vì mặt phẳng [α] song song với mặt phẳng [ β] : 2x – y + 3z + 4 = 0 nên phương trình của mp[α] có dạng 2x – y + 3z + D = 0
Vì M[2; -1; 2] ∈ mp[α] nên 4 + 1 + 6 + D = 0 D = -11
Vậy phương trình của mp[α] là: 2x – y + 3z – 11= 0
Bài 7 [trang 80 SGK Hình học 12]: Lập phương trình mặt phẳng [α] qua hai điểm A[1; 0; 1], B[5; 2; 3] và vuông góc với mặt phẳng [ β] : 2x – y + z – 7 = 0
Lời giải:
Bài 8[trang 81 SGK Hình học 12]: Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau;
a]2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 =0
b]3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0
Lời giải:
Bài 9 [trang 81 SGK Hình học 12]: Tính khoảng cách từ điểm A[2; 4; -3] lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a] 2x – y + 2z – 9 = 0 [α]
b] 12x – 5z + 5 = 0 [ β]
c] x = 0 [ γ;]
Lời giải:
Bài 10 [trang 81 SGK Hình học 12]: giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a]Chứng minh hai mặt phẳng [AB’D’] và [BC’D] song song.
Xem thêm: Các Bài Tập Cho Người Mới Tập Gym, Hướng Dẫn Tập Gym Cho Người Mới Bắt Đầu
b]Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O ≡ A;
⇒ A[0; 0; 0] ; B[1; 0; 0]; C[1; 1; 0]; D[0; 1; 0].
A’[0; 0; 1]; B’[1; 0; 1]; C’[1; 1; 1]; D’[0; 1; 1].
a]
⇒ Vectơ pháp tuyến của [AB’D’] là:
⇒ Vectơ pháp tuyến của [BC’D] là:
⇒ [AB’D’] // [BC’D].
b] Phương trình [BC’D] là: x – y – z – 1 = 0.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [AB’D’] và [BC’D] chính là khoảng cách từ A đến [BC’D] và bằng :
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình