Câu hỏi:
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của đường tròn?
- A \[7{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 5 = 0.\]
- B \[4{x^2} + 4{y^2} - 2xy + 7y + 5 = 0.\]
- C \[{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 11 = 0.\]
- D \[{x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 11 = 0.\]
Phương pháp giải:
Phương trình \[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\] là phương trình đường tròn \[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0.\]
Lời giải chi tiết:
+] Xét phương trình: \[7{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 5 = 0\] có hệ số của \[{x^2}\] và hệ số của \[{y^2}\] khác nhau nên không là phương trình đường tròn.
+] Xét phương trình: \[4{x^2} + 4{y^2} - 2xy + 7y + 5 = 0\] có đại lượng \[xy\] đây không là phương trình đường tròn.
+] Xét phương trình: \[{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 11 = 0\] có: \[{1^2} + {\left[ { - 3} \right]^2} - 11 < 0 \Rightarrow \] đây là không phương trình đường tròn.
+] Xét phương trình: \[{x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 11 = 0\] có: \[{1^2} + {\left[ { - 3} \right]^2} + 11 > 0 \Rightarrow \] đây là phương trình đường tròn.
Chọn D.
Quảng cáo
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Phương pháp giải:
\[\left[ C \right]:\,\,{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by - c = 0\] là đường tròn nếu thỏa mãn:
+] Hệ số của \[{x^2},\,\,{y^2}\] bằng nhau.
+] \[{a^2} + {b^2} - c > 0\]
Lời giải chi tiết:
+] Xét đáp án A: \[\,4{x^2} + {y^2} - 10x + 6y + 2 = 0\] không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của \[{x^2}\] và \[{y^2}\] không bằng nhau.
+] Xét đáp án B: \[\left[ C \right]:{x^2} + {y^2} + 2x + 8y + 20 = 0,\] ta có: \[a = - 1,\,\,\,b = - 4,\,\,c = 20\].
Vì \[{\left[ { - 1} \right]^2} + {\left[ { - 4} \right]^2} - 20 < 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c < 0\] \[ \Rightarrow \] \[{x^2} + {y^2} + 2x + 8y + 20 = 0\] không phải là phương trình đường tròn.
+] Xét đáp án C: \[{x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0\], ta có: \[a = 2,\,\,b = 3,\,\,c = - 12\]
Vì \[{2^2} + {3^2} - \left[ { - 12} \right] = 25 > 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\] nên \[{x^2} + {y^2} - 4x - 6y - 12 = 0\] là phương trình đường tròn với bán kính \[I\left[ {2;\,\,3} \right]\], \[R = 5\].
Chọn C.
Thông thường khi làm toán dạng đường tròn chúng ta thường gặp một số yêu cầu như: tìm tâm và bán kính đường tròn, viết phương trình đường tròn hay viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Tức là với những dạng này thì thường là chúng ta đã biết dạng tồn tại của phương trình đường tròn.
Vậy nếu các bạn gặp một bài toán yêu cầu nhận dạng một phương trình đường tròn hay yêu cầu chúng minh phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì các bạn sẽ đi tìm lời giải ra sao? Trong bài giảng hôm nay thầy sẽ giúp các bạn tìm hiểu về vấn đề này, các bạn cùng theo dõi nhé.
Phương pháp nhận dạng một phương trình đường tròn
Để có thể nhận biết đâu là phương trình đường tròn thì các bạn sẽ dựa vào dạng đúng của phương trình đường tròn hoặc dựa vào điều kiện của phương trình đường tròn. Cụ thể như sau:
Cách 1:
Các bạn chuyển phương trình đã cho về dạng: $[x-a]^2+[y-b]^2=R^2$. Khi đó đường tròn đã cho có tâm là: $I[a;b]$ và bán kính là $R$.
Cách 2:
Các bạn chuyển phương trình đã cho về dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ và chứng minh điều kiện $a^2+b^2-c>0$ luôn đúng.
Cách 3:
Dựa vào 2 dạng của phương trình đường tròn ở trên các bạn xem hệ số của $x^2, y^2$. Nếu hai hệ số này bằng $1$ hoặc có thể đưa chúng về hệ số cùng bằng $1$ thì sẽ có dạng phương trình đường tròn, sau đó tiếp tục dựa vào cách 1 hoặc cách 2 để chúng minh. Nếu hệ số $x^2, y^2$ mà không biến đổi được về cùng bằng $1$ thì các bạn có thể kết luận ngay phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
Chúng ta sẽ đi tìm hiểu một vài bài tập áp dụng cho một số cách làm trên.
Bài tập nhận dạng một phương trình đường tròn
Bài tập 1: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:
a. $x^2+y^2+2x-4y-4=0$
b. $x^2+y^2-8x+2y+20=0$
c. $3x^2+3y^2+2016x-18y=0$
Hướng dẫn giải:
a. $x^2+y^2+2x-4y-4=0$
Với bài toán này các bạn thấy hệ số của $x^2, y^2$ đều là $1$ rồi, ta sẽ sử dụng cách 1 và cách 2 để nhận dạng tiếp.
Cách 1:
$x^2+y^2+2x-4y-4=0$
$\Leftrightarrow x^2+2x+y^2-4y-4=0$
$\Leftrightarrow [x^2+2x+1]+[y^2-4y+4]-1-4-4=0$
$\Leftrightarrow [x+1]^2+[y-2]^2=9$
$\Leftrightarrow [x+1]^2+[y-2]^2=3^2$ [1]
[1] là phương trình đường tròn. Vậy phương trình ban đầu là phương trình đường tròn tâm $I[-1;2]$ bán kính là $R=3$.
Cách 2:
Trước tiên các bạn đi tìm hệ số $a, b, c$. Ta có:
$\left\{\begin{array}{ll}-2ax=2x\\-2by=-4y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll}a=-1\\b=2\end{array}\right.$.
Xét biểu thức: $a^2+b^2-c=[-1]^2+2^2-[-4]=9>0$. Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm là: $I[-1;2]$ bán kính là $R=3$.
b. $x^2+y^2-8x+2y+20=0$
Với bài toán này các bạn thấy hệ số của $x^2, y^2$ cũng đều là $1$ rồi, ta sẽ sử dụng cách 1 và cách 2 để nhận dạng tiếp.
Cách 1:
$x^2+y^2-8x+2y+20=0$
$\Leftrightarrow x^2-8x+y^2+2y+20=0$
$\Leftrightarrow [x^2-8x+16]+[y^2+2y+1]-16-1+20$
$\Leftrightarrow [x-4]^2+[y+2]^2=-3$ [1]
Ta thấy $-3