Tìm m để phương trình đạt cực đại tại x
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (x^3) - 2m(x^2) + (m^2)x + 2 đạt cực tiểu tại x=1. Show Câu 162 Thông hiểu Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 2$ đạt cực tiểu tại $x=1$. Đáp án đúng: d Phương pháp giải - Bước 1: Tính $y',y''$. - Bước 2: Nêu điều kiện để $x = {x_0}$ là cực trị của hàm số: + $x = {x_0}$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{gathered} f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ + $x = {x_0}$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ - Bước 3: Kết luận. Phương pháp giải một số bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản --- Xem chi tiết
Bài toán 1: Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}.$ Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta {{'}_{y'}}>0\text{ } \\ y'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\\end{matrix} \right..$ Bài toán 2: Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm $x={{x}_{0}}.$ Hàm số đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ ta suy ra $y'\left( {{x}_{0}} \right)=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số $m$. Với giá trị của tham số $m$ tìm được ta tính $y''\left( {{x}_{0}} \right)$ để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận. Bài tập tìm điều kiện để hàm bậc 3 đạt cực trị tại điểm x=x0
Lời giải chi tiết Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-4x+m.$ Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta {{'}_{y'}}=4-3m>0\text{ } \\ y'\left( 2 \right)=4+m=0\text{ } \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=-4.$ Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: $y'={{x}^{2}}+2x+m.$ Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta {{'}_{y'}}=1-m>0\text{ } \\ y'\left( -1 \right)=m-1=0\text{ } \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\varnothing .$ Chọn D.
Lời giải chi tiết Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6mx+m+9.$ Cho $y'\left( 2 \right)=24-12m+m+9=0\Leftrightarrow m=3.$ Với $m=3\Rightarrow y'=6{{x}^{2}}-18x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=2 \\ x=1 \\\end{matrix}. \right.$ Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-2mx+n\Rightarrow y'\left( 2 \right)=-4m+n+12=0\Leftrightarrow 4m-n=12$ Mặt khác $A\left( 2;7 \right)\in \left( C \right)$ nên $x=2\Rightarrow y=7$ nên ta có $8-4m+2n+1=7\Leftrightarrow 4m-2n=2$ Khi đó $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-11x+10\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=2 \\ x=\frac{5}{3} \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ Hàm số có hai điểm cực trị. Vậy $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow 2m+n=21.$ Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+6mx+n.$ Cho $y'\left( -1 \right)=3-6m+n=0\Leftrightarrow 6m-n=3.$ Mặt khác đồ thị hàm số qua$A\left( -1;4 \right)$ nên $4=-1+3m-n-2\Leftrightarrow 3m-n=7$ Do đó $\left\{ \begin{matrix} 6m-n=3 \\ 3m-n=7 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m=\frac{-4}{3} \\ n=-11 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-8x-11=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-1 \\ x=\frac{11}{3} \\\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn có 2 điểm cực trị). Chọn A.
Lời giải chi tiết $y'={{x}^{2}}-\left( 2m+4 \right)x+{{m}^{2}}+4m+3$ Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=2$ thì \[{{2}^{2}}-\left( 2m+4 \right).2+{{m}^{2}}+4m+3=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1\] Với $m=1$ thì $y'={{x}^{2}}-6x+8\Rightarrow y''=2x-6\Rightarrow y''\left( 2 \right)=-2<0\Rightarrow {{x}_{0}}=2$ là điểm cực đại. Với $m=-1$ thì $y'={{x}^{2}}-2x\Rightarrow y''=2x-2\Rightarrow y''\left( 2 \right)=2>0\Rightarrow {{x}_{0}}=2$ là điểm cực tiểu. Vậy $m=1$ là điểm cần tìm. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1;y''=2x-2m$ Để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ thì $y'\left( 1 \right)={{m}^{2}}-3m+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=1 \\ m=2 \\\end{matrix} \right..$ Với $m=1\Rightarrow y''\left( 1 \right)=0\Rightarrow x=1$ không phải điểm cực đại. Với $m=2\Rightarrow y''\left( 1 \right)=-2<0\Rightarrow x=1$ là điểm cực đại của hàm số. Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có $y'=-54{{x}^{2}}+18\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+6\left( 2-3m \right),y''=-108x+18\left( {{m}^{2}}+1 \right).$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}$ khi đó $y'\left( \frac{1}{3} \right)=0\Leftrightarrow -6+6\left( {{m}^{2}}+1 \right)+6\left( 2-3m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=2\text{ } \\ m=-1 \\\end{matrix} \right..$ TH1: Với $m=-1\Rightarrow y'\left( \frac{1}{3} \right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ không phải điểm cực tiểu của hàm số. TH2: Với $m=2\Rightarrow y'\left( \frac{1}{3} \right)=54>0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ là điểm cực tiểu của hàm số. Suy ra với $m=2$ thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}.$ Cho \[y'\left( -1 \right)=-3-2m+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=-1 \\ m=3\text{ } \\\end{matrix} \right..\] Với $m=3\Rightarrow y''=-6x+2m=-6x+6\Rightarrow y''\left( -1 \right)=12>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$ Với $m=-1\Rightarrow y''=-6x+2m=-6x-2\Rightarrow y''\left( -1 \right)=4>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$ Chọn C.
Lời giải chi tiết Ta có $y'=3{{x}^{2}}+2ax+b.$ Cho $\left\{ \begin{matrix} y'\left( 1 \right)=3+2a+b=0\text{ } \\ y'\left( -2 \right)=12-4a+b=0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=\frac{3}{2}\text{ } \\ b=-6 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow a+b=\frac{-9}{2}.$ Chọn A.
Lời giải chi tiết Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b.$ Theo đề bài ta có $\left\{ \begin{matrix} f'\left( 1 \right)=0\text{ } \\ f\left( 1 \right)=-3\text{ } \\ f\left( 0 \right)=2\text{ } \\ f''\left( 1 \right)=6+2a>0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3+2a+b=0\text{ } \\ 1+a+b+c=-3 \\ c=2\text{ } \\ a>-3\text{ } \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=3\text{ } \\ b=-9 \\ c=2\text{ } \\\end{matrix} \right.\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+2$ $\Rightarrow f\left( -2 \right)=24.$ Chọn B.
Lời giải chi tiết Ta có $y'=3{{x}^{2}}+2bx+c.$ Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0;x=2\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y'\left( 0 \right)=c=0\text{ } \\ y'\left( 2 \right)=12a+4b=0 \\\end{matrix} \right.(1)$ Lại có $M,N\in \left( C \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y\left( 0 \right)=d=2\text{ } \\ y\left( 2 \right)=8a+4b+c+2 \\\end{matrix} \right.(2).$ Từ (1) và (2)$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} c=0,d=2 \\ a=1,b=-3 \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2.$ Do đó $y\left( -2 \right)=-18.$ Chọn D.
Lời giải chi tiết Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ Điểm $E\left( 0;-4 \right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y'\left( 0 \right)=0\text{ } \\ y\left( 0 \right)=-4 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c=0\text{ } \\ d=-4 \\\end{matrix} \right.(1).$ Điểm $F\left( -1;-3 \right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y'\left( -1 \right)=0\text{ } \\ y\left( -1 \right)=-3 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3a-2b=0\text{ } \\ -a+b-4=-3 \\\end{matrix} \right.(2).$ Từ (1) và (2) suy ra $a=2,b=3,c=0,d=-4\Leftrightarrow y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4\Rightarrow y\left( -2 \right)=-8.$ Chọn A. |