search

So sánh nhiều sơ đồ trên matlab năm 2024

Ngày đăng: 30/03/2024
Trả lời: 0
Lượt xem: 199

Bài toán tìm câu trả lời (còn gọi là bài toán lựa chọn câu trả lời hay tìm câu trả lời tốt nhất) là một bài toán chính trong hệ thống hỏi đáp. Khi một câu hỏi được đăng lên forum sẽ có nhiều người tham gia trả lời câu hỏi. Bài toán lựa chọn câu trả lời với mục đích thực hiện sắp xếp các câu trả lời theo mức độ liên quan tới câu hỏi. Những câu trả lời nào đúng nhất sẽ được đứng trước các câu trả lời kém liên quan hơn. Trong những năm gần đây, rất nhiều mô hình học sâu được đề xuất sử dụng vào nhiều bài toán xử lý ngôn ngữ tự nhiên (NLP) trong đó có bài toán lựa chọn câu trả lời trong hệ thống hỏi đáp nói chung và trong hệ thống hỏi đáp cộng đồng (CQA) nói riêng. Hơn nữa, các mô hình được đề xuất lại thực hiện trên các tập dữ liệu khác nhau. Vì vậy, trong bài báo này, chúng tôi tiến hành tổng hợp và trình bày một số mô hình học sâu điển hình khi áp dụng vào bài toán tìm câu trả lời đúng trong hệ thống hỏi đáp và phân tích một số thách thức trên các tập dữ liệu cho bài toán trên hệ thố...

Show

This study aims to train the Science Process skills to students on learning Acid, Base, and Salt using the Virtual Lab. The research was conducted on the students of SMA Negeri Cerme Gresik in the year 2017/2018. During the student learning using the virtual lab and guided by Student Worksheet, during the learning process conducted an observation of student activity, after learning conducted test of learning result, and questionnaire of student response to the use of the virtual laboratory. The result of the research shows that during the active learning of the students, the learning result reaches completeness, and the students give positive responses to the use of virtual laboratory as the learning medium of acid, base and salt.

Bài tập toán cao cấp.Tập 3,Phép giải tích nhiều biến số. DSpace/Manakin Repository. ...

Công trình này công bố kết quả nghiên cứu cấu trúc, độ bền và bản chất liên kết hóa học của các cluster silic pha tạp Si2M với M là một số kim loại hóa trị I bằng phương pháp phiếm hàm mật độ tại mức lý thuyết B3P86/6-311+G(d). Theo kết quả thu được, đồng phân bền của các cluster pha tạp Si2M có cấu trúc tam giác cân, đối xứng C2v và tồn tại hai trạng thái giả suy biến có cùng độ bội spin (A1 và B1). Kết quả thu được cho thấy liên kết Si-M được hình thành chủ yếu từ sự chuyển electron từ AO-s của các nguyên tử Li, Na, K, Cu, Cr sang khung Si2 và sự xen phủ của các AO-d của nguyên tử Cu, Cr với AO của khung Si2. Kết quả nghiên cứu các cluster Si2M (M là Li, Na, K, Cu, Cr) cho ra kết luận rằng cluster Si2Cr là bền nhất.

Mục tiêu của bài viết này nhằm phân tích hiệu quả hiệu quả lợi nhuận sản xuất nông nghiệp mà cụ thể là phân tích hiệu quả lợi nhuận của hộ trồng cam sành ở Hàm Yên tỉnh Tuyên Quang bằng cách tiếp cận phương pháp hồi quy. Số liệu sơ cấp của đề tài được thu thập bằng cách phỏng vấn trực tiếp 200 nông hộ trồng cam sành theo phương pháp chọn ngẫu nhiên vào thời điểm tháng 5 năm 2022. Trong giai đoạn đầu chúng tôi sử dụng phương pháp bao dữ liệu (DEA) để tính toán hiệu quả kĩ thuật của các nông hộ trồng cam sành. Ở giai đoạn 2, để khắc phục hạn chế của phương pháp bao dữ liệu nghiên cứu sử dụng mô hình hồi quy bootstrap truncated để xác định các yếu tố ảnh hưởng đến hiệu quả lợi nhuận của các hộ nói trên. Kết quả phân tích cho thấy hiệu quả lợi nhuận trung bình của các hộ sản xuất cam sành được khảo sát là 0,486, nó dao động từ 0,034 đến 1,000. Điều đó có nghĩa rằng các nông hộ có nhiều tiềm năng để cải thiện hiệu quả của lợi nhuận sản ...

Uploaded by

Man Ebook

0% found this document useful (0 votes)

403 views

304 pages

Copyright

© © All Rights Reserved

Available Formats

PDF, TXT or read online from Scribd

Share this document

Did you find this document useful?

Is this content inappropriate?

0% found this document useful (0 votes)

403 views304 pages

Xử Lý Ảnh Số - Lý Thuyết Và Thực Hành Với Matlab

Uploaded by

Man Ebook

Jump to Page

You are on page 1of 304

Search inside document

Reward Your Curiosity

Everything you want to read.

Anytime. Anywhere. Any device.

No Commitment. Cancel anytime.

So sánh nhiều sơ đồ trên matlab năm 2024

  • 1. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 5 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN Trang MỞ ĐẦU................................................................................................................ 1 NỘI DUNG ............................................................................................................ 5 CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ MATLAB........................................ 5 1.1. TỔNG QUAN............................................................................................. 5 1.1.1 Chương trình....................................................................................... 7 1.1.2 Dòng lệnh ........................................................................................... 7 1.1.3 Hàm số ............................................................................................... 8 1.1.4 Biến số................................................................................................ 9 1.2. MỘT SỐ LỆNH CƠ BẢN .......................................................................... 9 1.2.1 Lệnh gán........................................................................................... 10 1.2.2 Các lệnh trên ma trận và vectơ.......................................................... 10 1.2.3 Các lệnh cấu trúc .............................................................................. 10 1.2.4 Vẽ hình............................................................................................. 12 1.2.5 Một số lệnh khác............................................................................... 13 1.2.6 Các dạng thức (format) biểu diễn số.................................................. 14 1.3. CÁC BÀI TOÁN ...................................................................................... 14 Bài 1.3.1..................................................................................................... 14 Bài 1.3.2..................................................................................................... 16 Bài 1.3.3..................................................................................................... 18 CHƯƠNG 2. ĐA THỨC TAYLOR.................................................................... 22 2.1. ĐA THỨC TAYLOR................................................................................ 22 Ví dụ 2.1.1.................................................................................................. 23 Ví dụ 2.1.2.................................................................................................. 24
  • 2. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 6 Ví dụ 2.1.3.................................................................................................. 25 Ví dụ 2.1.4.................................................................................................. 25 Ví dụ 2.1.5.................................................................................................. 26 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 27 Chương trình 2.1 ........................................................................................ 28 Chương trình 2.2 ........................................................................................ 30 2.2. SAI SỐ TRONG ĐA THỨC TAYLOR .................................................... 31 Định lý 2.2.1............................................................................................... 31 Ví dụ 2.2.2.................................................................................................. 31 Ví dụ 2.2.3.................................................................................................. 32 Ví dụ 2.2.4.................................................................................................. 33 Định lý 2.2.5............................................................................................... 35 Ghi chú 2.2.6.............................................................................................. 36 2.2.1 Chuỗi số vô hạn ................................................................................. 36 Định lý 2.2.7............................................................................................... 38 Định lý 2.2.8.............................................................................................. 38 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 39 Chương trình 2.3 ........................................................................................ 39 Chương trình 2.4 ........................................................................................ 41 2.3. TÍNH GIÁ TRỊ SỐ CỦA ĐA THỨC ........................................................ 43 Ví dụ 2.3.1.................................................................................................. 45 2.3.1 Một chương trình mẫu ....................................................................... 46 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 47 Chương trình 2.5 ........................................................................................ 48 CHƯƠNG 3. TÌM NGHIỆM ............................................................................. 51 Định lý 3.1.................................................................................................. 51 Định lý 3.2.................................................................................................. 51 Định lý 3.3.................................................................................................. 51
  • 3. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 7 3.1. PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI .................................................................... 52 3.1.1 Mô tả phương pháp........................................................................... 52 Ví dụ 3.3.1.................................................................................................. 52 3.1.2 Đánh giá sai số.................................................................................. 53 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 53 Chương trình 3.1 ........................................................................................ 54 3.2. PHƯƠNG PHÁP NEWTON..................................................................... 56 3.1.1 Mô tả phương pháp........................................................................... 56 Ví dụ 3.2.1.................................................................................................. 57 3.1.2 Đánh giá sai số.................................................................................. 58 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 59 Chương trình 3.2 ........................................................................................ 60 3.3. PHƯƠNG PHÁP CÁT TUYẾN................................................................ 62 3.3.1 Mô tả phương pháp........................................................................... 62 Ví dụ 3.3.1.................................................................................................. 63 3.3.2 Đánh giá sai số.................................................................................. 64 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 65 Chương trình 3.3 ........................................................................................ 65 3.3.3 Hàm số Matlab fzero......................................................................... 67 CHƯƠNG 4. PHÉP NỘI SUY VÀ PHÉP TÍNH XẤP XỈ ................................ 68 4.1. PHÉP NỘI SUY ĐA THỨC .................................................................... 68 4.1.1 Đa thức nội suy................................................................................. 68 4.1.2 Sự tồn tại và duy nhất của đa thức nội suy ........................................ 68 Định lý 4.1.1............................................................................................... 68 4.1.3 Sai số nội suy và chọn nút nội suy .................................................... 69 Định lý 4.1.2............................................................................................... 69 4.1.4 Đa thức nội suy Lagrange ................................................................. 70 4.1.5 Các tỷ sai phân.................................................................................. 70
  • 4. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 8 Định lý 4.1.3............................................................................................... 71 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 71 Chương trình 4.1 ........................................................................................ 72 4.1.6 Công thức nội suy tỷ sai phân Newton.............................................. 73 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 74 Chương trình 4.2 ........................................................................................ 74 4.2. ĐA THỨC CHEBYSHEV ........................................................................ 75 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 77 Chương trình 4.3 ........................................................................................ 77 4.3. PHÉP NỘI SUY DÙNG HÀM GHÉP TRƠN (HÀM SPLINE) ................ 80 4.3.1 Phép nội suy spline ........................................................................... 81 4.3.2 Xây dựng hàm spline bậc 3 nội suy................................................... 81 Ví dụ 4.3.1.................................................................................................. 82 4.3.3 Chương trình MATLAB spline ......................................................... 83 4.4. BÀI TOÁN XẤP XỈ HÀM THỰC NGHIỆM ........................................... 84 4.4.1 Trường hợp f(x)=Ax+B .................................................................... 84 Ví dụ 4.4.1.................................................................................................. 85 4.4.2 Trường hợp f(x)=Ax2 +Bx+C ........................................................... 85 Ví dụ 4.4.2.................................................................................................. 86 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 86 Chương trình 4.4 ........................................................................................ 86 CHƯƠNG 5. TÍCH PHÂN SỐ VÀ VI PHÂN ................................................... 88 5.1. CÔNG THỨC HÌNH THANG ................................................................. 88 5.1.1 Thiết lập công thức ........................................................................... 88 Ví dụ 5.1.1.................................................................................................. 88 Ví dụ 5.1.2.................................................................................................. 88 5.1.2 Đánh giá sai số.................................................................................. 90 Ví dụ 5.1.3.................................................................................................. 90
  • 5. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 9 5.1.3 Nhận xét chung................................................................................. 90 Ví dụ 5.1.4.................................................................................................. 91 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 92 Chương trình 5.1 ........................................................................................ 92 5.2. CÔNG THỨC SIMPSON ........................................................................ 94 5.1.1 Thiết lập công thức ........................................................................... 94 5.1.2 Đánh giá sai số.................................................................................. 94 5.1.3 Nhận xét chung................................................................................. 95 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 96 Chương trình 5.2 ........................................................................................ 96 5.3. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN GAUSS........................................................ 98 5.1.1 Thiết lập công thức ........................................................................... 98 5.1.2 Công thức sai số................................................................................ 99 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB....................................................................... 99 Chương trình 5.3 ........................................................................................ 99 Chú thích.................................................................................................. 100 Chương trình 5.3a..................................................................................... 102 5.4. VI PHÂN SỐ ......................................................................................... 102 5.4.1 Vi phân số dùng phép nội suy ......................................................... 103 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 105 Chương trình 5.4 ...................................................................................... 106 Chương trình 5.4a..................................................................................... 107 Chương trình 5.4b..................................................................................... 108 Chương trình 5.4c..................................................................................... 110 CHƯƠNG 6. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ............................ 112 6.1. PHƯƠNG PHÁP GAUSS....................................................................... 112 Ví dụ 6.1.1................................................................................................ 114 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 116
  • 6. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 10 Chương trình 6.1 ...................................................................................... 116 6.2. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU............................................................ 118 Định lý 6.2.1............................................................................................. 118 Ví dụ 6.2.2................................................................................................ 119 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 119 Chương trình 6.2 ...................................................................................... 119 Ví dụ 6.2.3................................................................................................ 122 Chương trình 6.2a..................................................................................... 123 6.3. PHƯƠNG PHÁP LẶP ........................................................................... 123 Định nghĩa 6.3.1....................................................................................... 124 Ví dụ 6.3.2................................................................................................ 124 Định lý 6.3.3............................................................................................. 124 Định nghĩa 6.3.4....................................................................................... 125 Định lý 6.3.5............................................................................................. 125 Ví dụ 6.3.6................................................................................................ 125 Định lý 6.3.7............................................................................................. 126 Định nghĩa 6.3.8....................................................................................... 127 Ví dụ 6.3.9................................................................................................ 128 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 131 Chương trình 6.3 ...................................................................................... 132 Chương trình 6.3a..................................................................................... 133 CHƯƠNG 7. GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG .................. 135 7.1. PHƯƠNG PHÁP EULER ....................................................................... 136 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 138 Chương trình 7.1 ...................................................................................... 139 Chương trình 7.1a..................................................................................... 141 7.2. PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA ..................................................... 142 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 145
  • 7. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 11 Chương trình 7.2 ...................................................................................... 145 7.3. PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC (MULTISTEP METHODS) ..................... 147 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 149 Chương trình 7.3 ...................................................................................... 149 7.4. BÀI TOÁN BIÊN TUYẾN TÍNH CẤP HAI........................................... 152 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 153 Chương trình 7.4 ...................................................................................... 153 CHƯƠNG 8. GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG..................... 156 8.1. BÀI TOÁN LAPLACE 1 CHIỀU ........................................................... 156 8.1.1 Bài toán .......................................................................................... 156 8.1.2 Phân rã bài toán .............................................................................. 156 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 157 Chương trình 8.1 ...................................................................................... 158 8.2. BÀI TOÁN PARABOLIC 1 CHIỀU....................................................... 159 8.2.1 Bài toán .......................................................................................... 159 8.2.2 Phân rã bài toán .............................................................................. 160 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 161 Chương trình 8.2 ...................................................................................... 161 8.3. BẬC HỘI TỤ VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN CỦA BÀI TOÁN MỘT CHIỀU ............................................................................................... 165 8.3.1 Bậc hội tụ ....................................................................................... 165 8.3.2 Điều kiện biên Neumann................................................................. 167 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 168 Chương trình 8.3 ...................................................................................... 169 8.4. BÀI TOÁN LAPLACE 2 CHIỀU ........................................................... 172 8.4.1 Bài toán .......................................................................................... 172 8.4.2 Phân rã bài toán .............................................................................. 172 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 174
  • 8. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 12 Chương trình 8.4 ...................................................................................... 174 8.5. BÀI TOÁN PARABOLIC 2 CHIỀU....................................................... 179 8.5.1 Bài toán .......................................................................................... 179 8.5.2 Phân rã bài toán .............................................................................. 179 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 180 Chương trình 8.5 ...................................................................................... 180 8.6. BẬC HỘI TỤ VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN CỦA BÀI TOÁN HAI CHIỀU ........................................................................................................ 186 CHƯƠNG TRÌNH MATLAB..................................................................... 187 Chương trình 8.6 ...................................................................................... 187 KẾT LUẬN ....................................................................................................... 191 1. NHẬN ĐỊNH CHUNG.............................................................................. 191 2. MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ....................................... 192 TÀI LIỆU THAM KHẢO
  • 9. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 13 DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 2.1. Xấp xỉ Taylor của ex quanh điểm x = 0....................................................... 25 Bảng 3.1. Phương pháp chia đôi đối với ví dụ 3.1.1 .................................................... 52 Bảng 3.2. Phương pháp Newton giải x6 – x – 1 = 0 ..................................................... 58 Bảng 3.3. Phương pháp cát tuyến giải x6 – x – 1 = 0 ................................................... 64 Bảng 4.1. Các giá trị và các tỷ sai phân của cos(x)...................................................... 73 Bảng 4.2. Nội suy cos(x)............................................................................................. 74 Bảng 4.3. Giá trị     -1 1 max x nx e c x ............................................................................... 80 Bảng 5.1. Các ví dụ về quy tắc hình thang .................................................................. 92 Bảng 5.2. Các ví dụ về quy tắc Simpson ..................................................................... 95 Bảng 6.1. Vài kết quả giải ví dụ 6.3.9 bằng phương pháp Jacobi............................... 130 Bảng 6.2. Vài kết quả giải ví dụ 6.3.9 bằng phương pháp Gauss - Seidel .................. 131 Bảng 7.1. Kết quả giải số bằng phương pháp Euler hiện với n = 0, 1, ...,10.............. 140 Bảng 7.2. Kết quả giải số bằng phương pháp Euler ẩn với n = 0, 1, ...,10................. 142 Bảng 7.3. Kết quả giải số bằng công thức (7.12) với n = 0, 1, ...,10.......................... 146 Bảng 7.4. Kết quả giải số bằng phương pháp AB2 với n = 0, 1, ...,10....................... 151 Bảng 7.5. Kết quả giải số bài toán biên tuyến tính cấp 2 với n = 0, 1, ...,10.............. 155
  • 10. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 14 DANH MỤC CÁC HÌNH Trang Hình 1.1. Đồ thị hàm số f(x)=x2 + sin(x)..................................................................... 15 Hình 1.2. Đồ thị của y=s(x) (xanh) và y=sin(x) (đỏ).................................................... 17 Hình 1.3. .................................................................................................................... 19 Hình 1.3a. .................................................................................................................. 20 Hình 1.3b. .................................................................................................................. 21 Hình 2.1. Đồ thị xấp xỉ Taylor bậc nhất của ex quanh điểm x = 0 ................................ 23 Hình 2.2. Đồ thị xấp xỉ Taylor bậc nhất và bậc hai của ex quanh điểm x = 0 ............... 24 Hình 2.3. Đồ thị xấp xỉ Taylor của log(x)=ln(x) quanh điểm x = 1.............................. 27 Hình 2.4. Đồ thị sai số trong xấp xỉ Taylor của ex quanh điểm x = 0 ........................... 32 Hình 2.5. Đồ thị xấp xỉ Taylor của ex quanh điểm x = 0 .............................................. 41 Hình 2.6. Đồ thị sai số trong xấp xỉ Taylor của log(x)=ln(x) quanh điểm x=1 ............ 43 Hình 2.7. Các xấp xỉ Taylor của Sint(x) ..................................................................... 50 Hình 3.1. Dạng biểu đồ của phương pháp Newton ...................................................... 57 Hình 3.2. Biểu đồ của phương pháp cát tuyến: 1 0x x  .......................................... 62 Hình 3.3. Biểu đồ của phương pháp cát tuyến: 1 0x x   .......................................... 63 Hình 4.1. Đồ thị thể hiện hàm nội suy......................................................................... 79 Hình 4.2. Đồ thị dáng điệu của sai số trong phép nội suy ............................................ 80 Hình 4.3. Đồ thị của đa thức thực nghiệm f (màu xanh) và các điểm dữ kiện (màu đỏ) .............................................................................................................................. 87 Hình 5.1. Đồ thị của f, f’, f” và f”’ ............................................................................ 107 Hình 5.2. Đồ thị thể hiện các điểm (x) để f3=0.......................................................... 108 Hình 5.3. Đồ thị biểu thị điểm cực tiểu của hàm f ..................................................... 110 Hình 5.4. Đồ thị biểu hiện độ lệch của f và k............................................................. 111 Hình 7.1. Giải số (màu xanh), giải chính xác (màu đỏ).............................................. 141
  • 11. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 15 Hình 7.2. Giải số (màu xanh), giải chính xác (màu đỏ).............................................. 142 Hình 7.3. Giải số (màu xanh), giải chính xác (màu đỏ).............................................. 147 Hình 7.4. Giải số (màu xanh), giải chính xác (màu đỏ).............................................. 151 Hình 7.5. Giải số (màu xanh), giải chính xác (màu đỏ).............................................. 155 Hình 8.1. Giải số (màu xanh), giải chính xác (màu đỏ).............................................. 159 Hình 8.2a. Giải số (màu xanh), giải chính xác (màu đỏ)............................................ 163 Hình 8.2b. Giải số (màu xanh), giải chính xác (màu đỏ)............................................ 164 Hình 8.3a. Đây là đồ thị của –ln(error(h)) VS –ln(h)................................................. 166 Hình 8.3b. Giải số với N=10 (màu xanh), giải chính xác (màu đỏ)............................ 170 Hình 8.4a. Đây là phép giải số .................................................................................. 177 Hình 8.4b. Đây là phép giải chính xác....................................................................... 177 Hình 8.4c. Đây là đồ thị của phép giải số .................................................................. 178 Hình 8.4d. Đây là đồ thị của phép giải chính xác ...................................................... 178 Hình 8.5a. Đây là đồ thị của phép giải số .................................................................. 183 Hình 8.5b. Đây là đồ thị của phép giải chính xác ...................................................... 184 Hình 8.5c. Đây là đồ thị của phép giải số .................................................................. 185 Hình 8.5d. Đây là đồ thị của phép giải chính xác ...................................................... 185 Hình 8.6a. Đây là đồ thị của lời giải số thứ nhất........................................................ 189 Hình 8.6b. Đây là đồ thị của lời giải số thứ hai.......................................................... 189 Hình 8.6c. Đây là đồ thị của lời giải chính xác.......................................................... 190
  • 12. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 16 MỞ ĐẦU Giải tích số hiện đang phát triển mạnh và càng mạnh hơn với sự phát triển cực kỳ nhanh của tin học. Công nghệ tin học và giải tích số có vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực, ngay cả trong thị trường chứng khoán đang mới nổi ở Việt Nam và diễn biến rất gay gắt hiện nay trong nền kinh tế thị trường, cũng phải nghiên cứu nhiều bài toán phương trình vi tích phân ngẫu nhiên mà không thể không sử dụng kiến thức về giải tích số và tin học ứng dụng. Ở đây chúng tôi không đi vào nghiên cứu bài toán về thị trường chứng khoán mà chỉ muốn nói rõ vai trò của giải tích số và tin học. Thực tế hiện nay: Giải tích số, các phương pháp tính trình bày đơn thuần bằng kiến thức toán thì tài liệu và sách hiện nay có rất nhiều và phổ biến. Tài liệu và sách về giải số các bài toán bằng các chương trình máy tính hiện cũng đã có nhưng bằng MATLAB thì không nhiều và chương trình MATLAB được đưa vào còn rời rạc và chưa hướng dẫn cho người đọc cách thực hiện một chương trình cụ thể như thế nào. Trong khi đó, MATLAB – là phần mềm nổi tiếng của công ty MathWorks, là một ngôn ngữ hiệu năng cao cho tính toán kỹ thuật. Nó tích hợp tính toán, hiện thị và lập trình trong một môi trường dễ sử dụng. Các ứng dụng tiêu biểu của MATLAB bao gồm: hỗ trợ toán học và tính toán; phát triển thuật toán; mô hình, mô phỏng; phân tích, khảo sát và hiển thị số liệu; đồ họa khoa học và kỹ thuật; phát triển ứng dụng với giao diện đồ họa. Ngoài MATLAB cơ bản với các khả năng rất phong phú, phần mềm MATLAB còn được trang bị thêm các ToolBox – các gói chương trình (thư viện) cho các lĩnh vực ứng dụng rất đa dạng như xử lý tín hiệu, nhận dạng hệ thống, xử lý ảnh, mạng nơ ron, logic mờ, tài chính, tối ưu hóa, phương trình đạo hàm riêng,
  • 13. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 17 sinh tin học,... Đây là các tập hợp mã nguồn viết bằng chính MATLAB dựa theo các thuật toán mới, hữu hiệu mà người dùng có thể chỉnh sửa hoặc bổ sung thêm các hàm mới. MATLAB được thiết kế để giải các bài toán bằng số chứ không nhằm mục đích chính là tính toán ký hiệu như MATHEMATICA và MAPLE. Tuy nhiên, trong MATLAB cũng có thể tính toán ký hiệu được nhờ các hàm trong Symbolic Math ToolBox. Trên thế giới, MATLAB được cộng đồng hàn lâm trên thế giới chấp nhận rộng rãi như một công cụ phục vụ cho giảng dạy, nghiên cứu toán học và phát triển các ứng dụng kỹ thuật. Hơn 3500 trường đại học nhất là các trường đại học kỹ thuật đã đưa MATLAB vào giảng dạy và nghiên cứu. Hiện nay đã có trên 700 đầu sách về MATLAB dành cho giáo viên, sinh viên và các nhà chuyên môn. Ở Việt nam, theo chúng tôi được biết, MATLAB đã được đưa vào giảng dạy cho sinh viên, học viên cao học hoặc giới thiệu tại một số khoa, trường đại học và cũng đã xuất bản một số đầu sách về MATLAB dành cho sinh viên các khối khoa học và kỹ thuật. Tuy nhiên mức độ phổ biến của MATLAB chưa phải là cao. Nhất là ở đồng bằng sông Cửu Long. Với ưu thế về tính toán số trị MATLAB rất thích hợp cho việc giảng dạy môn học giải tích số, các phương pháp số - môn học không thể thiếu được đối với sinh viên toán, lý, công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật. Việc sử dụng MATLAB để lập trình các thuật toán của môn học này có cái lợi là đơn giản, dễ dàng vẽ các đồ thị để hiện thị kết quả và kiểm tra kết quả các chương trình tự viết so với kết quả của các hàm đã cài đặt sẵn vì MATLAB cơ bản chứa đựng rất nhiều các hàm tính toán toán học. Từ đó, góp phần nâng cao năng lực dạy và học toán trong các trường Đại học, đặc biệt là môn học giải tích số và phương pháp tính. Chính vì thế, PGS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG đã khuyên tôi nên chọn đề tài
  • 14. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 18 “GIẢI SỐ BẰNG MATLAB”. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày sơ lược (không đi sâu) về lý thuyết giải số mà chú trọng vào các chương trình MATLAB để giải quyết bài toán số. Để thực hiện luận văn này, chúng tôi đã tham khảo tài liệu có liên quan trong và ngoài nước, phân tích, chọn lọc và hệ thống hoá thành cơ sở lý luận phục vụ cho đề tài. Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng công nghệ thông tin, internet. Khi nhận được lời khuyên từ PGS.TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG về đề tài này, tôi bắt đầu tìm hiểu sơ lược về đề tài, chọn đề tài. Sau đó, nghiên cứu những tài liệu có liên quan rồi phân tích, tổng hợp, chọn lọc những nội dung cơ bản phục vụ cho đề tài. Lập đề cương dự kiến, tìm hiểu và chạy thử một số chương trình MATLAB. Tiến hành sắp xếp lại các vấn đề, điều chỉnh, bổ sung các đoạn chương trình và viết hoàn chỉnh thành nội dung của luận văn. Nội dung của luận văn được chia thành 8 chương. Chương 1, giới thiệu sơ lược về MATLAB, một số đặc tính và một số lệnh được sử dụng trong các chương trình MATLAB trong luận văn này. Chương 2, trình bày đa thức Taylor, cách thiết lập, cách xác định giá trị và sai số của đa thức Taylor, và cách ước lượng đa thức. Chương 3, trình bày một số phương pháp tìm nghiệm thực của phương trình phi tuyến, phương pháp chia đôi, phương pháp Newton và phương pháp cát tuyến. Chương 4, phép nội suy và phép tính xấp xỉ, trong phần này chúng tôi trình bày phép nội suy đa thức, đa thức Chebyshev, phép nội suy dùng hàm ghép trơn và bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm. Chương 5, tích phân số và vi phân, chúng tôi trình bày một số công thức tính tích phân, công thức hình thang, công thức Simpson và công thức tích phân Gauss, và sơ lược về vi phân số. Chương 6, một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính như là phương pháp Gauss, phương pháp
  • 15. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 19 nhân tử LU và phương pháp lặp. Chương 7, một số phương pháp giải số phương trình vi phân thường như là phương pháp Euler, phương pháp Runge – Kutta và phương pháp đa bước đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp một, và giải bài toán biên tuyến tính cấp hai. Chương 8, giải số phương trình đạo hàm riêng dựa trên cơ sở phân rã các bài toán, bài toán Laplace và bài toán Parabolic một chiều và hai chiều cùng với việc đánh giá bậc hội tụ và điều kiện Neumann của nó. Nhìn chung nội dung luận văn đã trình bày tương đối đầy đủ các nội dung chương trình của môn học giải tích số cũng như môn học phương pháp tính của sinh viên chuyên ngành toán, sinh viên bách khoa và sinh viên ngành kỹ thuật. Cùng với các chương trình MATLAB ở từng mục sẽ tạo nên một phong cách tươi mới hơn, tích cực hơn, hiệu quả và hiện đại hơn trong việc dạy và học môn giải tích số cũng như môn phương pháp tính. Góp phần nâng cao năng lực dạy và học toán trong các trường đại học. Đây cũng là mục tiêu hướng tới của chúng tôi khi thực hiện luận văn này.
  • 16. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 20 NỘI DUNG CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ MATLAB 1.1. TỔNG QUAN Như đã biết, MATLAB được thiết kế để giải các bài toán bằng số chứ không nhằm mục đích chính là tính toán ký hiệu như MATHEMATICA và MAPLE. Tuy nhiên, trong MATLAB cũng có thể tính toán ký hiệu được nhờ các hàm trong Symbolic Math ToolBox (chúng tôi không trình bày cụ thể lý thuyết phần này mà chỉ chú trọng phần lập trình). Tên của phần mềm MATLAB là viết tắt của thuật ngữ “MATrix LABoratory”, được Cleve Moler phát minh vào cuối thập niên 1970, và sau đó là chủ nhiệm khoa máy tính tại Đại học New Mexico. Đầu tiên nó được viết bằng FORTRAN để cung cấp truy nhập dễ dàng tới phần mềm ma trận được phát triển bởi các dự án LINPACK và EISPACK. Sau đó nó được viết bằng ngôn ngữ C trên cơ sở các thư viện và phát triển thêm nhiều lĩnh vực của tính toán khoa học và các ứng dụng kỹ thuật. Steve Bangert là người đã viết trình thông dịch cho MATLAB. Công việc này kéo dài gần 1½ năm. Sau này, Jack Little kết hợp với Moler và Steve Bangert quyết định đưa MATLAB thành dự án thương mại - công ty The MathWorks ra đời thời gian này – năm 1984. Năm 2004 MATLAB 7 phát hành, có khả năng chính xác đơn và kiểu nguyên, hỗ trợ hàm lồng nhau, công cụ vẽ điểm, và có môi trường phân tích số liệu tương tác. Đến tháng 12 năm 2008, phiên bản 7.7 được phát hành với SP3 cải thiện Simulink cùng với hơn 75 sản phẩm khác.
  • 17. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 21 Một số đặc trưng chính của MATLAB:  MATLAB là ngôn ngữ thông dịch. Vì thế nó có thể làm việc ở hai chế độ: tương tác và lập trình. Trong chế độ tương tác MATLAB thực hiện từng lệnh được gõ trong cửa sổ lệnh sau dấu nhắc lệnh và kết quả tính toán được hiện ngay trong cửa sổ này, còn đồ thị được hiện trong một cửa sổ khác. Lệnh tương tác có thể là đơn giản, thí dụ tính sin(1.5) hoặc vẽ fplot('sin(1 ./ x)', [0.01 0.1]), có thể là cấu trúc điều kiện, thí dụ if x<=0; y=0; else; y=1; end hoặc các cấu trúc lặp xác định và không xác định. Trong chế độ lập trình một tập lệnh được soạn thảo và ghi thành một têp đuôi .m (m-file). Các hàm cũng được tổ chức thành các m-file. Một chương trình có thể gồm nhiều m-file. Để chạy chương trình chỉ cần gõ tên m-file chính trong cửa sổ lệnh rồi Enter.  Các hàm trong MATLAB cơ bản (không kể các thư viện chuyên dụng được gọi là các ToolBox) được chia làm 2 loại: hàm trong và hàm ngoài. Các hàm trong là các hàm được cài đặt sẵn (built-ins) tức là tồn tại dưới dạng mã nhị phân nên ta không thể xem được mã nguồn của chúng, thí dụ các hàm sin, sqrt, log, clear, clc,.... Đây là các hàm hay được sử dụng hoặc các hàm đòi hỏi nhiều thời gian xử lý. Các hàm ngoài là các hàm tồn tại dưới dạng mã nguồn mà người dùng có thể tham khảo hoặc chỉnh sửa, bổ sung khi cần thiết, thí dụ log10, ode23, fzero,...  Phần tử dữ liệu chính của MATLAB là các ma trận (mảng) mà kích thước của chúng không cần khai báo trước như trong các ngôn ngữ lập trình khác. Tuy nhiên, để tăng tốc độ xử lý cần báo trước cho MATLAB biết kích thước tối đa của mảng để phân bổ bộ nhớ bằng một lệnh gán, chẳng hạn A(20,30)=0. Các khả năng chính của MATLAB cơ bản:  Thực hiện các tính toán toán học bao gồm: ma trận và đại số tuyến tính, đa thức và nội suy, phân tích số liệu và thống kê, tìm cực trị của hàm một biến hoặc nhiều biến, tìm nghiệm của phương trình, tính gần đúng tích phân, giải phương trình vi phân…
  • 18. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 22  Đồ họa 2 chiều và 3 chiều: MATLAB cung cấp rất nhiều các hàm đồ họa, nhờ đó ta có thể nhanh chóng vẽ được đồ thị của hàm bất kỳ 1 biến hoặc 2 biến, vẽ được các kiểu mặt, các contour, trường vận tốc,...Ngoài ra MATLAB còn vẽ rất tốt các đối tượng 3 chiều phức tạp như hình trụ, hình cầu, hình xuyến,..và cung cấp khả năng xử lý ảnh và hoạt hình.  Xây dựng giao diện người dùng: với MATLAB 7 người dùng có thể dễ dàng xây dựng giao diện gồm các thực đơn, nút lệnh, hộp thoại, hộp chọn,...mà không cần phải viết mã như các phiên bản trước đây. 1.1.1 Chương trình  Một chương trình MATLAB thường được soạn trong các M-file (các file có đuôi .m).  Để chạy các dòng lệnh trong file xyz.m nào đó, ta vào cửa sổ làm việc và gõ xyz rồi Enter. Lưu ý: lúc này đường dẫn tới thư mục chứa file xyz.m (và các file liên quan) phải được khai báo trong Current Directory của MATLAB. Khi mới khởi động, thư mục này mặc định là Work trong chỗ cài đặt Matlab (thường là C:MATLAB7work). 1.1.2 Dòng lệnh  Các dòng lệnh trong MATLAB được thực hiện tiếp nối nhau. Mỗi dòng lệnh thông thường có thể có dấu “ ; ” ở cuối hoặc không. Nếu dòng lệnh không có dấu “ ; ” ở cuối thì kết quả sẽ được xuất ra. Trong trường hợp không muốn nhìn các kết quả trung gian mà chỉ muốn xem kết quả cuối cùng, ta sử dụng dấu “ ; ” cho các dòng lệnh mà ta không muốn xem kết quả. Ví dụ: dòng lệnh x=1+2 sẽ xuất ra x=3. Tuy nhiên dòng lệnh x=1+2; sẽ không xuất ra gì hết (mặc dù giá trị của biến x bây giờ là 3).
  • 19. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 23  Nếu muốn loại bỏ một dòng lệnh khi chạy chương trình, ta có thể để dấu % ở đầu dòng lệnh. Thông thường dấu % được sử dụng để ghi các chú thích (chỉ dùng cho người đọc, máy không thực thi). 1.1.3 Hàm số  Ta có quyền viết sin(2) vì hàm sin là một hàm đã có sẵn trong thư viện MATLAB. Ngoài ra ta có quyền định nghĩa thêm các hàm mới, và sau khi định nghĩa thì ta có quyền sử dụng các hàm mới này y hệt như các hàm cơ bản như hàm sin.  Hàm số xyz được viết trên file xyz.m, có cú pháp kiểu như: function a=xyz(b,c) % day la ham xyz Trong đó b, c là các dữ liệu nhập vào, a là giá trị trả về (trong chương trình sẽ có ít nhất một lệnh gán, chẳng hạn a = b + c;), dòng chữ day la ham xyz là chú thích về công dụng của hàm xyz. Ví dụ: ta thành lập một hàm đổi độ sang radian function rad=change(do) % day la ham doi do sang radian. rad=do*pi/180; % doi do sang radian. Đặt tên file là change.m. Nếu ta đổi 45 độ sang radian, chỉ cần gõ: >> rad=change(45) Rồi nhấn Enter sẽ cho ta kết quả rad = 0.7854 Bây giờ ta thử tạo hàm giải phương trình bậc hai 2 0ax bx c   , với tên file là bachai.m. Trong đó a, b, c được đưa vào khi gọi chương trình. function [x1,x2]=bachai(a,b,c) delta=b^2-4*a*c; x1=(-b-sqrt(delta))/(2*a); x2=(-b+sqrt(delta))/(2*a);
  • 20. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 24 Khi chạy chương trình từ Command Windo, ta gõ >>[x1,x2]=bachai(4,6,-7) MATLAB sẽ chạy chương trình giải phương trình bậc hai với a=4, b=6, c=-7, và cho kết quả là x1= -2.2707 x2= 0.7707 Ta cũng có thể lập hàm để giải phương trình bậc hai với các hệ số thay đổi được nhập từ bàn phím theo yêu cầu của từng phương trình.  Để xem công dụng của một hàm số xyz (là hàm có sẵn trong thư viện hoặc do ta tự định nghĩa), ta vào cửa sổ làm việc và gõ help xyz rồi Enter. Ta sẽ được xem các chú thích trong file xyz.m. 1.1.4 Biến số  Các biến được ký hiệu bằng một ký tự hoặc 1 chuỗi ký tự. MATLAB phân biệt chữ thường và chữ hoa.  Các biến thông thường được định nghĩa trong 1 file được gọi là biến địa phương (local variable). MATLAB cũng cho phép sử dụng một số biến toàn cục (global variable). Biến toàn cục xx phải được khai báo là global xx, trong tất cả các file mà xx xuất hiện, có một file định nghĩa xx, chẳng hạn gán xx=3.  Biến i và j được mặc định là số ảo đơn vị (i^2=-1). Tuy nhiên, nếu ta dùng lệnh gán i=3 thì biến i sẽ mang giá trị 3. 1.2. MỘT SỐ LỆNH CƠ BẢN Thư viện có sẵn của MATLAB rất phong phú và có thể tự học các lệnh trong MATLAB một cách dễ dàng bằng cách vào phần Help (hoặc bấm F1) của
  • 21. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 25 chương trình. Trong các chương trình ở phần sau ta chỉ cần một số rất ít các lệnh dưới đây. 1.2.1 Lệnh gán Có dạng x=y. Chú ý rằng để thực hiện lệnh gán thì x không cần phải khai báo trước, mà cũng không cần có cùng kiểu dữ liệu với y. Lệnh này đơn giản làm cho x trở thành một copy của y. 1.2.2 Các lệnh trên ma trận và vector  Lệnh A(m,n) trả về phần tử dòng m, cột n của matrận A.  Lệnh A’ sẽ chuyển A thành At .  Lệnh A=zeros(m,n) sẽ cho A là ma trận 0 có m dòng và n cột. Tương tự cho lệnh ones(m,n).  Lệnh size(A) sẽ cho số dòng và số cột của A.  Lệnh B=f(A) sẽ cho ma trận B cùng cỡ với ma trận A và B(m,n)=f(A(m,n)).  Lệnh A+B, A*B cho phép cộng và nhân ma trận.  Lệnh A^(-1) cho nghịch đảo ma trận A. Vì vector cũng là ma trận nên ta có thể dùng lại các lệnh của ma trận, và  Lệnh X=[a1,a2,a3] sẽ cho vector X có X(n)=an, chỉ số n đánh từ 1.  Lệnh X=[a:b] sẽ cho vector X=[a,a+1,…,b]; a, b là các số nguyên.  Lệnh Ab tương đương với A^(-1)*b.  Lệnh norm(X,p) cho chuẩn của X theo lp ; norm(X) tương đương norm(X,2) là chuẩn Euclide, và norm(X,inf) là chuẩn sup. 1.2.3 Các lệnh cấu trúc  Lệnh if có dạng
  • 22. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 26 if (biểu thức logic) (Các dòng lệnh) else (Các dòng lệnh) end Lưu ý là else có thể bỏ đi để được dạng thu gọn if … end. Trong các biểu thức logic, ta có thể dùng các toán tử so sánh như == (equal), ~= (not equal), >=, <=, >,<, và các toán tử logic như & (and), | (or)…  Lệnh for có dạng for i=a:b (Các dòng lệnh) end Ở đây ban đầu i=a, sau mỗi bước lặp i sẽ được tăng lên 1, và i=b tại vòng lặp cuối cùng.  Lệnh while có dạng while (biểu thức logic) (Các dòng lệnh) end Vòng lặp sẽ dừng khi biểu thức logic trả về giá trị 0 (sai).  Các lệnh break, return và error: Lệnh break: kết thúc sự thực thi vòng lặp for hoặc while. Lệnh return: thường được sử dụng trong các hàm của MATLAB, nó cho phép quay trở lại thực thi những lệnh nằm trong tác dụng của lệnh này. Lệnh error(‘dòng nhắn’): kết thúc việc thực thi lệnh và hiển thị dòng nhắn trên màn hình. Xét ví dụ, chọn một số nguyên dương bất kỳ, nếu số chẵn thì chia cho 2, số lẻ thì nhân nó với 3 rồi cộng 1. Lặp lại quá trình này cho đến khi được kết quả là 1. Chương trình có trong file dk.m. Khi chạy chương trình sẽ thấy tác dụng của lệnh break (dừng chương trình khi nhập số âm hoặc số 0).
  • 23. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 27 Chương trình: while 1 n=input('Nhap vao mot so:'); if n<=0 break end while n>1 if rem(n,2)==0 % phan du cua n chia 2. n=n/2 else n=n*3+1 end end end 1.2.4 Vẽ hình MATLAB cung cấp rất nhiều công cụ vẽ hình, tuy nhiên ta có thể dùng một số lệnh đơn giản cho phép vẽ hình từ dữ liệu rời rạc. Trước tiên ta có một số lệnh vẽ hình trong 2 chiều:  Lệnh plot(X,Y) trong đó X,Y là hai vector có cùng cỡ, sẽ vẽ bằng cách nối các điểm có tọa độ (X(n),Y(n)).  Một số option (có hoặc không, sau lệnh plot): Ta có thể dùng xlabel(‘x’), ylabel(‘f(x)’) để ghi chú cho trục hoành và trục tung. Ta có thể dùng title(‘Tua de cua hinh ve’) để thêm tựa đề cho một hình. Ta cũng có thể định trước miền hiển thị, chẳng hạn lệnh axis([0 1 2 3]) sẽ chỉ hiển thị phần hình vẽ trên hình vuông [0,1]x[2,3]. Nếu muốn đồ thị có màu đỏ chẳng hạn, ta dùng plot(X,Y, ‘r’).  Trong trường hợp muốn vẽ nhiều hình, ta phải gọi các lệnh figure(1) plot(X1,Y1,’r’) figure(2) plot(X2,Y2,’b’)
  • 24. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 28 Khi đó ta sẽ có hai hình vẽ phân biệt. Nếu ta không có các lệnh figure, MATLAB sẽ mặc định ta đang vẽ trên figure(1) và do đó, nếu ta vẽ nhiều hình thì cũng chỉ có hình cuối cùng được lưu lại.  Các lệnh hold on và hold off cho MATLAB biết ta muốn giữ nguyên hiện trạng đang có của một hình và thực hiện các lệnh đè lên, chẳng hạn figure(2) plot(X1,Y1,’r’) hold on plot(X2,Y2,’b’) hold off Sẽ vẽ đồ thị của (X1,Y1) bằng màu đỏ, và đồ thị ứng với (X2,Y2) bằng màu xanh trên cùng một hình vẽ. Nếu không có các lệnh hold on, hold off, thì chỉ có đồ thị thứ hai được vẽ lại.  Ta cũng có thể dùng lệnh plot(X1,Y1,’r’,X2,Y2,’b’) để vẽ đồ thị ứng với (X1,Y1) bằng màu đỏ, và đồ thị ứng với (X2,Y2) bằng màu xanh trên cùng một hình vẽ. Cách vẽ này thường dùng để so sánh hai (hoặc nhiều) hàm số với nhau. Để vẽ hình trong 3 chiều, ta có thể các lệnh cho trường hợp 2 chiều và  Lệnh surf(X,Y,Z) sẽ vẽ bằng cách nội suy tuyến tính các điểm (X(m),Y(n),Z(n,m)), trong đó X,Y là hai vector và Z là ma trận với cỡ tương thích. Lệnh surfc(X,Y,Z) có chức năng tương tự, nhưng thêm “cái bóng” xuống đáy đồ thị. 1.2.5 Một số lệnh khác  Lệnh clear all dùng để xóa tất cả các lưu trữ tạm của MATLAB. Nó thường được dùng để bắt đầu file .m chứa chương trình chính của chúng ta (để mỗi lần chạy thì không bị ảnh hưởng bởi các lần chạy trước đó).  Lệnh disp('thong bao') dùng để xuất các thông báo.
  • 25. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 29 1.2.6 Các dạng thức (format) biễu diễn số Format short: Số dấu phẩy cố định, với 5 chữ số có nghĩa sau dấu phẩy Format long: Số dấu phẩy cố định, với 15 chữ số có nghĩa sau dấu phẩy Format short e: Số dấu phẩy động, với 5 chữ số có nghĩa sau dấu phẩy Format long e: Số dấu phẩy động, với 15 chữ số có nghĩa sau dấu phẩy Format short g: Lựa chọn tốt nhất phẩy cố định hay động với 5 chữ số có nghĩa sau dấu phẩy. Format long g: Lựa chọn tốt nhất phẩy cố định hay động với 15 chữ số có nghĩa sau dấu phẩy. Format rat: Biểu thị số thực về số hữu tỷ gần nhất. disp: Hiển thị nội dung của biến. Fprintf: Hàm cho phép hiển thị theo các khuôn dạng chỉ định. Sprintf: Hàm trả về xâu ký tự in theo các khuôn dạng chỉ định. 1.3. CÁC BÀI TOÁN MATLAB là một ngôn ngữ lập trình rất dễ sử dụng, đặc biệt nếu ta đã biết dùng C hoặc Pascal. Nó cho phép làm được khá nhiều việc trong toán dựa trên một số rất ít các lệnh. Bài 1.3.1 Vẽ đồ thị hàm số f(x)=x^2+sin(x) trên đoạn [0,1] bằng cách lấy 11 điểm ( 1) /10, 1, 10ix i i   . Yêu cầu:  Định nghĩa hàm số f(x)=x^2+sin(x) riêng trong file f.m. Sau đó vẽ đồ thị hàm số trong file bai1.m.  Trên đồ thị ghi chú trục hoành là “x”, trục tung là “x^2+sin(x)”, đặt tựa đề là “Đồ thị hàm số f(x)=x^2+sin(x)”. Chương trình: % file f.m function a=f(x); a=x^2+sin(x); % file bai1.m clear all N=10; X=[0:N]*1/N;
  • 26. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 30 Y=zeros(1,N+1); for i=1:(N+1) Y(i)=f(X(i)); end plot(X,Y); xlabel('x'); ylabel('x^2+sin(x)'); title('Hinh 1.1. Do thi ham so f(x)=x^2+sin(x).'); Chạy file bai1.m, các file này đã có sẵn trong thư mục bai1.3.1. Kết quả: Để chạy chương trình, ta làm từng bước sau:  Mở của sổ làm việc của MATLAB.  Vào ô có chữ Current Directory, ghi đường dẫn chỉ tới thư mục, chẳng hạn DCAOHOCddtrongluanvan-ctch1cacbaitoanbai1.3.1bai1. Ta cũng có thể kích vào dấu ... để MATLAB hiện cây thư mục rồi chọn thư mục DCAOHOCddtrongluanvan-ctch1cacbaitoanbai1.3.1bai1; tới dòng >> trên cửa sổ làm việc, gõ bai1, rồi Enter. Ta sẽ thu được hình vẽ như mong muốn.
  • 27. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 31  Để lưu hình vẽ này vào máy tính, ta mở hình vẽ đó, vào FileSave As, rồi đặt tên và chọn định dạng thích hợp (chẳng hạn .bmp hoặc .ps). Hình vẽ này sẽ được lưu vào thư mục hiện hành là DCAOHOCddtrongluanvan- ctch1cacbaitoanbai1.3.1, với tên là hinh1.1.bmp. Bài 1.3.2 Ta biết rằng 1 2( 1) sin( ),0 1, n n x n x x n         theo nghĩa trong 2 (0,1)L . Yêu cầu:  Viết file s.m để định nghĩa hàm s(x) như sau 1 2( 1) ( ) sin( ) nM n s x n x n      , trong đó M là biến toàn cục (global).  Viết file bai2.m, trong đó định nghĩa M=20. Trên đoạn [0,1] lấy N+1 điểm ( 1) /10, 1,ix i i N   với N=100. Vẽ các đồ thị s(x) và y=x trên cùng một hình vẽ.  Tính xấp xỉ các sai số 2 (0,1) ( ) L s x x và (0,1) ( ) L s x x  dựa trên các dữ liệu rời rạc tại các điểm ix . Nêu nhận xét. Để tính sai số, ta dùng các xấp xỉ 2 1 1 22 10 [0,1] 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , 1 ( ) sup ( ) sup ( ) . N i iL i i iL x i N s x x s x x dx s x x N s x x s x x s x x                   Chương trình: (các file có trong thư mục bai1.3.2) % file s.m function a=s(x); global M a=0; for n=1:M a=a+2*(-1)^(n+1)/n/pi*sin(n*pi*x); end % file bai2.m clear all
  • 28. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 32 global M M=20; N=100; X=[0:N]*1/N; Y=zeros(1,N+1); for i=1:(N+1) Y(i)=s(X(i)); end plot(X,X,'r',X,Y,'b'); xlabel('x'); title('Hinh 1.2. Do thi cua y =s(x) (xanh) va y=x (do). '); disp('error in L^2'); err2=norm(X-Y)/sqrt(N+1) disp('error in L^infinity'); errsup=norm(X-Y,inf) Kết quả: (chạy file bai2.m; tất cả các file có trong thư mục bai1.3.2) Sai số: err2 = 0.1242, errsup =1. Nhận xét: sự xấp xỉ trong 2 L khá tốt nhưng xấp xỉ trong L thì không tốt, nguyên nhân là tại điểm x=1 thì s(1)=0.
  • 29. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 33 Ta cũng có thể vẽ đồ thị bằng cấu trúc lệnh đơn giản hơn như chương trình vẽ đồ thị của bài 1.3.3. Cũng từ bài 1.3.3 này chúng tôi sẽ làm rõ một vài vấn đề về MATLAB. Bài 1.3.3 Vẽ đồ thị hàm số    sin 2 2 x y x x  , với 10 10x   . Chương trình: (các file có trong thư mục bai1.3.3). % file bai3.m x=-10:0.2:10; % Chia [-10,10]thanh 101 diem, buoc nhay 0.2. y=1/2*sin(2*x)./x; % y la vecto co cung chieu dai cua vecto x, mang gia tri cua ham. plot(x,y,'r.-') % Ve do thi voi mau do, duong .-. grid % Ve cac duong dong tren do thi. title('Hinh 1.3.') % Dua tieu de len tren do thi. xlabel('x') % Dua nhan tren truc x. ylabel('sin(2x)/2x') % Dua nhan tren truc y. Chạy file bai3.m ta được Hình 1.3. Khi vẽ đồ thị, hàm số đã cho được lượng giá thành công ứng với mỗi phần tử trong ma trận x, ma trận  1 101 ; ngoại trừ  51 0x  , nơi mà có phép chia cho số 0 xảy ra. Điều này có ý nghĩa gì không? Bằng cách viết một mở rộng chuỗi Taylor (sẽ được trình bày chi tiết trong chương 2) cho  sin 2x và chia toàn bộ cho 2x, ta dễ dàng chứng tỏ rằng    0 sin 0 / 0 1y   . MATLAB không dừng lại ở điểm này, hàm plot() xử lý phần tử  51y dưới dạng dữ liệu bị thiếu (xem Hình 1.3)
  • 30. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 34 Một cách để khắc phục vấn đề tại  51 0x  , đó là đặt các phần tử zero trong ma trận x với eps, có nghĩa là, x=-10:0.2:10; x=x+(x==0)*eps; Trong lệnh MATLAB thứ hai, một thành phần của ma trận x sẽ được tăng bởi eps lúc biểu thức logic (x==0) lượng giá sang true. Ngược lại thì các thành phần của x vẫn giữ không thay đổi. Bây giờ ma trận y được tạo ra không có lỗi và  sin 0 / 0 lượng giá sang 1. Ta có file bai3a.m, chỉ cần thêm dòng lệnh x=x+(x==0)*eps; từ file bai3.m. Chạy file bai3a.m, ta được Hình 1.3a, và chúng ta đã giải quyết được vấn đề tại  51 0x  .
  • 31. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 35 Bây giờ ta nói thêm về các trục của đồ thị. Trong Hình 1.3 và Hình 1.3a, MATLAB đã ấn định tự động dãy các giá trị x và y để cho đồ thị được vẽ lắp đầy khoảng trống có sẵn (tức là xmin=min(x), xmax=max(x)). Để thực hiện điều đó, hạng mục dữ liệu thiếu tại y=0 phải được che giấu bởi các đường biên của hình Hình 1.3 và Hình 1.3a. Có lẽ điều này sẽ hiển nhiên hơn khi dãy các giá trị của y trong Hình 1.3 và Hình 1.3a được định lại tỷ lệ để chiếm trọn đoạn [-0.4, 1.2]. Như phần trên đã nêu, MATLAB cung cấp hàm axis để kiểm soát tỷ lệ và diện mạo của các trục trong đồ thị. Trong phần này chúng ta dùng phép gọi hàm axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) để cài đặt dãy các giá trị x và y trong biểu đồ hiện tại sang [xmin, xmax] và [ymin,ymax] tương ứng. Ngoài ra, lệnh axis (‘equal’) thay đổi kích thước của hộp ô trục hiện tại để cho các gia số của dấu kiểm trên các trục x và y đều bằng nhau. Tương tự như vậy,
  • 32. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 36 lệnh axis(‘off’) sẽ tắt tất cả các nhãn trên trục và các dấu kiểm. Các nhãn trên trục và các dấu kiểm được đưa trở về một lần nữa với axis(‘on’). Với file bai3b.m, chỉ cần thêm dòng lệnh axis([-10 10 -0.4 1.2]) từ file bai3a.m, sẽ tạo ra Hình 1.3b đồng nhất với Hình 1.3 và Hình 1.3a, trong trường hợp này với các dãy giá trị của x và y bao gồm các đoạn [-10,10] và [-0.4,1.2] tương ứng và việc lượng giá đúng  sin 2 / 2x x tại 0x  . Chạy file bai3b.m ta được Hình 1.3b. Ghi chú: Trên đây là phần giới thiệu rất sơ lược về MATLAB, các thông tin chuyên sâu hơn có thể tìm thấy ở http://www.mathworks.com; http://www.math.mtu.edu; http://www.math.ufl.edu/help/matlab-tutorial.
  • 33. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 37 CHƯƠNG 2 ĐA THỨC TAYLOR 2.1. ÐA THỨC TAYLOR Hầu hết các hàm số ( )f x trong toán học không thể được đánh giá một cách chính xác. Ví dụ, hãy xem xét giá trị của hàm số ( ) cosf x x, x e , hoặc x mà không cần sử dụng máy tính hoặc máy vi tính. Để xác định giá trị các biểu thức như thế, chúng ta sử dụng hàm  f x gần bằng với  f x và dễ xác định giá trị hơn. Loại phổ biến nhất của hàm xấp xỉ  f x là các đa thức. Chúng dễ thực hiện và chúng là phương thức hữu hiệu để tính gần đúng  f x . Trong số các đa thức, đa thức Taylor được sử dụng rộng rãi nhất. Đa thức Taylor tương đối dễ xây dựng, và nó thường là bước đầu tiên để đạt được các phép tính xấp xỉ hiệu quả hơn. Đa thức Taylor cũng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác của toán học. Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt lý thuyết về chuỗi Taylor và trình bày cách sử dụng MATLAB như là một công cụ thực nghiệm nhằm tạo cho sinh viên một trực giác về sự xấp xỉ địa phương của các hàm số. Với ( )f x là một hàm số cho trước, đa thức Taylor được xây dựng để phỏng theo sự biến thiên của ( )f x tại một điểm x = a nào đó . Kết quả, nó sẽ gần bằng ( )f x tại các điểm x gần với a. Cụ thể hơn, ta tìm một đa thức bậc nhất 1( )p x để 1 1 ( ) ( ), ' ( ) '( ). p a f a p a f a   (2.1) Ta dễ dàng xác định duy nhất đa thức được cho bởi
  • 34. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 38 1( ) ( ) ( ). '( )p x f a x a f a   . (2.2) Và như vậy, 1( )y p x là tiếp tuyến của đồ thị ( )y f x tại x a . Ví dụ 2.1.1 Cho ( ) x f x e và 0a  , thì 1( ) 1p x x  . Đồ thị của f và 1p được thể hiện trong Hình 2.1. Chú ý rằng 1( )p x thì xấp xỉ với x e khi x gần 0. Tiếp tục cách làm trên, tìm đa thức bậc hai 2 ( )p x là hàm xấp xỉ f(x) gần x a . Vì có 3 hệ số trong công thức của đa thức bậc 2, nên ta có 2 2 0 1 2( )p x b b x b x   . Để mô phỏng tốt hơn sự biến thiên của ( )f x tại x = a, chúng ta cần 2 2 2 ( ) ( ), ' ( ) '( ), " ( ) "( ). p a f a p a f a p a f a    (2.3)
  • 35. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 39 Ta được, 2 2 1 ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) "( ) 2 p x f a x a f a x a f a     . (2.4) Ví dụ 2.1.2 Tiếp tục ví dụ trước ( ) x f x e và a = 0, chúng ta có 2 2 1 ( ) 1 2 p x x x   . Xem Hình 2.2 để so sánh ( ) x f x e và 1( ) 1p x x  , 2 2 1 ( ) 1 . 2 p x x x   Tiếp tục cách thức trên, cho ( )np x là đa thức bậc n, và nó cần thoả ( ) ( ) ( ) ( )j j np a f a , với 1,j n . (2.5) Với   ( ) j f x là đạo hàm bậc j của ( )f x và quy ước (0) ( ) ( )f a f a . Thì 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) "( ) ... ( ) 2! ! ( ) ( ). ! n n n jn j j x a x a p x f a x a f a f a f a n x a f a j            (2.6)
  • 36. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 40 Nếu trong (2.6) chúng ta cần ghi chú một cách rõ ràng sự phụ thuộc của khai triển vào điểm a, chúng ta viết ( ; )np x a . Đa thức ( )np x trong (2.6) được gọi là đa thức Taylor bậc n đối với hàm số ( )f x và điểm xấp xỉ a. [ Tuy nhiên, chú ý rằng đa thức ( )np x có bậc thật sự nhỏ hơn n nếu ( ) ( ) 0n f a  ] Ví dụ 2.1.3 Lại cho ( ) x f x e và a = 0 , thì ( ) ( )j x f x e , ( ) (0) 1, 0j f j   2 0 1 1 ( ) 1 ... 2! ! ! jn n n j x p x x x x n j        . (2.7) Bảng 2.1 chứa các giá trị của 1( )p x , 2 ( )p x , 3( )p x và x e tại những giá trị khác nhau của x trong đoạn [-1, 1]. Với a cố định x, độ chính xác tăng khi bậc n tăng. Và với bậc của đa thức cố định, độ chính xác giảm khi x di chuyển ra xa a = 0. Bảng 2.1. Xấp xỉ Taylor của ex quanh điểm x = 0. x 1( )p x 2 ( )p x 3( )p x x e -1.0 0 0.500 0.33333 0.36788 -0.5 0.5 0.625 0.60417 0.60653 -0.1 0.9 0.905 0.90483 0.90484 0 1.0 1.000 1.00000 1.00000 0.1 1.1 1.105 1.10517 1.10517 0.5 1.5 1.625 1.64583 1.64872 1.0 2.0 2.500 2.66667 2.71828 Ví dụ 2.1.4 Cho ( ) x f x e và điểm a bất kỳ, không nhất thiết là 0, thì ( ) ( )j x f x e , ( ) (0) 1, 0j f j   . Chúng ta có công thức 2 0 1 1 ( ) ( ; ) [1 ( ) ( ) ... ( ) 2! ! ! jn a n a n j x a p x a e x a x a x a e n j            . Và như vậy,
  • 37. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 41 1 0 ( 1) ( ;1) ! jn n j x p x e j    . (2.8) Đa thức ( ;1)np x xấp xỉ tốt nhất khi x gần bằng 1, và đa thức ( ;0)np x [được cho trong (2.7)] thì xấp xỉ tốt nhất khi x gần bằng 0. Ở đây, khi thực hiện tính toán số, chúng tôi thay thế cách xác định giá trị một hàm số, chẳng hạn như x e với cách xác định giá trị một đa thức. Ví dụ 2.1.5 Cho ( ) log( )f x x , tức là ( ) ln( )f x x , và a =1, thì (1) 0f  . Bằng phương pháp quy nạp, với 1j  , ta có ( ) 1 1 ( ) ( 1) ( 1)!j j j f x j x     . Suy ra, ( ) 1 (1) ( 1) ( 1)!j j f j    . Nếu điều này đựơc áp dụng vào (2.6), thì đa thức Taylor được cho bởi     12 3 1 0 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ... 1 ( 1) 2 3 1 ( 1) . n n n jn j j p x x x x x n x j                 (2.9) Đồ thị của log(x) và các đa thức Taylor 1( )p x , 2 ( )p x và 3( )p x được thể hiện trên Hình 2.3. Trong bài viết này, chúng tôi dùng 2 ký hiệu có nghĩa là “gần bằng”. Ký hiệu “ ” thì thường được dùng chỉ sự gần đúng của các biểu thức đại số, ví dụ 5x  , nghĩa là x gần bằng 5; và 1 , 0x e x x   , nghĩa là x e gần bằng 1 x khi x gần bằng 0. Ký hiệu “ ” thường được dùng với số, như 2 6.2832; 168 12.961. Ký hiệu “ ” thường được dùng với độ sai số tính toán thực sự.
  • 38. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 42 Trong MATLAB, log(x) là logarit tự nhiên ln(x) và log10(x) là logarit thập phân lg(x). Xuyên suốt bài viết này, chúng tôi sẽ phát biểu một vài nhận xét chung hoặc các qui tắc để sử dụng khi xem xét giải số của các bài toán. (2.10) CHƯƠNG TRÌNH MATLAB: Sau đây là chương trình MATLAB, chương trình này sẽ tính toán một vài xấp xỉ đa thức Taylor của x e nằm trong đoạn [-b, b], với giá trị của b được đưa vào khi chạy chương trình. Chương trình sẽ xác định giá trị các đa thức Taylor bậc 1, 2, 3 và 4 tại các điểm x được chọn trong đoạn [-b, b], NHẬN XÉT CHUNG: Khi xem xét cách giải một bài toán, nếu không biết phương pháp giải trực tiếp bài toán đó thì hãy thay thế bằng một “bài toán xấp xỉ” mà có thể giải bằng máy tính.
  • 39. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 43 in giá trị x, giá trị đúng của x e và các sai số của chúng theo dạng biểu bảng. Kết quả sẽ được xuất ra trên cả màn hình đang sử dụng khi chạy file exp_taylor_simple.m trong cùng thư mục với file polyeval.m. Chương trình 2.1: Xác định giá trị đa thức Taylor. %TIEU DE: Uoc luong da thuc Taylor cua exp(x) xung quanh x = 0. % Vai uoc luong cua da thuc Taylor va sai so cua no voi bac tang dan. Xap xi % cua ham exp(x) tren doan [-b,b]. % Initialize: Khoi chay b = input('Nhap so b vao de tao doan [-b,b], b= '); h = b/10; % Khoang cach giua hai so x = -b:h:b; % x di tu -b den b voi buoc nhay la h max_deg = 4; % bac cao nhat bang 4 % Tao ra cac he so cua ham exp(x) khi mo rong quanh diem a = 0. % Nhung he so nay duoc luu tru trong mang c, voi do dai la max_deg+1. c=ones(max_deg+1,1); % c la ma tran don vi, max_deg+1 dong, mot cot fact = 1; % Gan cho bien fact gia tri bang 1 for i = 1:max_deg %Thuc hien vong lap for voi gia tri i di tu 1 den max_deg fact = i*fact; % Lan luot thay the gia tri cua bien fact bang i nhan voi fact; c(i+1) = 1/fact; % Gan gia tri cho cac phan tu c(i+1) bang 1/fact; end % Ket thuc vong lap % Tinh gia tri cua da thuc Taylor bac1, bac2, bac3, bac4 bang cach goi ham % polyeval la mot file trong cung thu muc. p1 = polyeval(x,0,c,1); p2 = polyeval(x,0,c,2); p3 = polyeval(x,0,c,3); p4 = polyeval(x,0,c,4); % Tinh gia tri dung cua e^x va cac sai so trong khai trien da thuc Taylor % tuong ung tung bac o tren true = exp(x); err1 = true-p1; err2 = true-p2; err3 = true-p3; err4 = true-p4; % Ghi ket qua ra mang hinh. Ket qua ghi thanh mot ma tran, voi cac cot %tuong ung voi gia tri x, gia tri chinh xac, sai so bac1, sai so bac2, sai so % bac3, sai so bac 4. Ung voi moi gia tri x chay tren doan [-b,b] thi cho ra 1 % bang ket qua tuong ung. diary exp_taylor % Ghi nho cac ket qua theo dinh dang ben duoi. disp(' x exp(x) err1 err2 err3 err4') [x',true',err1',err2',err3',err4'] diary off % Ket thuc viec ghi nho. Kết quả chạy file exp_taylor_simple.m, với b = 1.
  • 40. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 44 Nhap so b vao de tao doan [-b,b], b = 1 x exp(x) err1 err2 err3 err4 ans = -1.0000 0.3679 0.3679 -0.1321 0.0345 -0.0071 -0.9000 0.4066 0.3066 -0.0984 0.0231 -0.0043 -0.8000 0.4493 0.2493 -0.0707 0.0147 -0.0024 -0.7000 0.4966 0.1966 -0.0484 0.0088 -0.0013 -0.6000 0.5488 0.1488 -0.0312 0.0048 -0.0006 -0.5000 0.6065 0.1065 -0.0185 0.0024 -0.0002 -0.4000 0.6703 0.0703 -0.0097 0.0010 -0.0001 -0.3000 0.7408 0.0408 -0.0042 0.0003 -0.0000 -0.2000 0.8187 0.0187 -0.0013 0.0001 -0.0000 -0.1000 0.9048 0.0048 -0.0002 0.0000 -0.0000 0 1.0000 0 0 0 0 0.1000 1.1052 0.0052 0.0002 0.0000 0.0000 0.2000 1.2214 0.0214 0.0014 0.0001 0.0000 0.3000 1.3499 0.0499 0.0049 0.0004 0.0000 0.4000 1.4918 0.0918 0.0118 0.0012 0.0001 0.5000 1.6487 0.1487 0.0237 0.0029 0.0003 0.6000 1.8221 0.2221 0.0421 0.0061 0.0007 0.7000 2.0138 0.3138 0.0688 0.0116 0.0016 0.8000 2.2255 0.4255 0.1055 0.0202 0.0031 0.9000 2.4596 0.5596 0.1546 0.0331 0.0058 1.0000 2.7183 0.7183 0.2183 0.0516 0.0099 Ta có thể định dạng lại số xuất ra màn hình và vị trí tương ứng của các số bằng cách thay đoạn chương trình cuối bởi diary exp_taylor disp(' x exp(x) err1 err2 err3 err4') for i=1:length(x) fprintf('%7.3f%10.3f%14.3e%14.3e%14.3e%14.3en',... x(i),true(i),err1(i),err2(i),err3(i),err4(i)) end diary off Rồi lưu lại với tên exp_taylor.m. Thì ta được bảng kết quả sau: (chạy file exp_taylor.m ) Nhap so b vao de tao doan [-b,b], b= 1.
  • 41. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 45 x exp(x) err1 err2 err3 err4 -1.000 0.368 3.679e-001 -1.321e-001 3.455e-002 -7.121e-003 -0.900 0.407 3.066e-001 -9.843e-002 2.307e-002 -4.268e-003 -0.800 0.449 2.493e-001 -7.067e-002 1.466e-002 -2.404e-003 -0.700 0.497 1.966e-001 -4.841e-002 8.752e-003 -1.252e-003 -0.600 0.549 1.488e-001 -3.119e-002 4.812e-003 -5.884e-004 -0.500 0.607 1.065e-001 -1.847e-002 2.364e-003 -2.402e-004 -0.400 0.670 7.032e-002 -9.680e-003 9.867e-004 -7.995e-005 -0.300 0.741 4.082e-002 -4.182e-003 3.182e-004 -1.928e-005 -0.200 0.819 1.873e-002 -1.269e-003 6.409e-005 -2.580e-006 -0.100 0.905 4.837e-003 -1.626e-004 4.085e-006 -8.196e-008 0.000 1.000 0.000e+000 0.000e+000 0.000e+000 0.000e+000 0.100 1.105 5.171e-003 1.709e-004 4.251e-006 8.474e-008 0.200 1.221 2.140e-002 1.403e-003 6.942e-005 2.758e-006 0.300 1.350 4.986e-002 4.859e-003 3.588e-004 2.131e-005 0.400 1.492 9.182e-002 1.182e-002 1.158e-003 9.136e-005 0.500 1.649 1.487e-001 2.372e-002 2.888e-003 2.838e-004 0.600 1.822 2.221e-001 4.212e-002 6.119e-003 7.188e-004 0.700 2.014 3.138e-001 6.875e-002 1.159e-002 1.582e-003 0.800 2.226 4.255e-001 1.055e-001 2.021e-002 3.141e-003 0.900 2.460 5.596e-001 1.546e-001 3.310e-002 5.766e-003 1.000 2.718 7.183e-001 2.183e-001 5.162e-002 9.948e-003 Ðể chạy được chương trình trên ta cần tạo hàm polyeval rồi lưu vào cùng thư mục với file chương trình trên, được đặt tên là polyeval.m, để xác định giá trị các đa thức. Và nó cũng được dùng chung cho các chương trình MATLAB của chương này. Chương trình 2.2: % Chuong trinh tao file polyeval.m function value=polyeval(x,alpha,coeff,n); % Ham tinh gia tri da thuc gom 4 bien duoc dua vao. Tinh toan cac gia tri da % thuc Taylor tai cac diem duoc cho boi x, cach tinh theo ly thuyet trinh bay %trong muc 2.3, voi alpha la diem tham chieu mo rong cua da thuc Taylor %(alpha tung ung a trong ly thuyet), va n la bac toi da cua da thuc. Cac he %so duoc dua vao thong qua bien coeff; va no bao gom n+1 phan tu coeff voi %coeff(1) la mot hang so (gioi han) trong da thuc. value=coeff(n+1)*ones(size(x)); z=x-alpha; for i=n:-1:1
  • 42. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 46 value = coeff(i) + z.*value; end 2.2. SAI SỐ TRONG ĐA THỨC TAYLOR Thực hành sử dụng phép tính xấp xỉ đa thức Taylor đối với ( )f x , chúng ta cần biết tính chính xác của nó. Định lý sau đây cho chúng ta công cụ chính để đánh giá tính chính xác này. Chúng tôi trình bày chúng mà không chứng minh vì nó được ghi trong hầu hết các giáo trình toán. Định lý 2.2.1 (Ðịnh lý số dư Taylor) Thừa nhận rằng ( )f x có đạo hàm liên tục trong đoạn x   , và cho điểm a thuộc đoạn đó. Đối với đa thức Taylor ( )np x (2.6), cho ( ) ( ) ( )n nR x f x p x  biểu thị số dư trong phép tính xấp xỉ ( )f x bởi ( )np x . Thì   1 ( 1)( ) ( ) ( ), . 1 !         n n n x x a R x f c x n (2.11) Với xc là một số nằm giữa a và x. Ví dụ 2.2.2 Cho ( ) x f x e và a = 0, đa thức Taylor được cho trong (2.7). Từ định lý trên, sai số xấp xỉ được cho bởi   1 ( ) . , 0. 1 !      n x c n x e p x e n n (2.12) Với c nằm giữa 0 và x. Từ công thức này, chúng ta có thể chứng minh rằng đối với mỗi điểm x cố định, sai số tiến về 0 khi n  ; càng rõ ràng hơn khi x 1 . Cũng từ công thức, cho thấy rằng đối với mỗi giá trị cố định của n, sai số trở nên lớn hơn khi x di chuyển ra xa 0. Minh họa điều này bằng đồ thị, và ta vẽ đồ thị sai số ( )x ne p x sẽ tốt hơn vẽ đồ thị đơn giản của hàm số x e và đa thức ( )np x
  • 43. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 47 (phần 2.1), để quan sát sự xấp xỉ của chúng. Điều này được minh họa trong Hình 2.4 cho các sai số bậc n=1, 2, 3, 4 nằm trong đoạn [-1,1]. Rõ ràng, bậc càng cao thì sai số càng nhỏ. Ví dụ 2.2.3 Trường hợp đặc biệt của (2.12), cho x=1. Thì từ (2.7) n 1 1 1 e (1) 1 1 ... . 2! 3! ! p n        Và từ (2.12)   (1) (1) . 1 !     c n n e e p R n Vì e<3, chúng ta có thể giới hạn (1)nR như sau       1 3 (1) . 1 ! 1 ! 1 !       n e R n n n
  • 44. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 48 Điều này sử dụng bất đẳng thức 0 1  c e e e . Như một ví dụ số thực, giả định rằng chúng ta muốn tính xấp xỉ e bởi (1)np với 9 (1) 10 . nR Do đó, để có thể đạt được sai số mong, giới hạn trên cần thỏa 93 10 . (n+1)!   Điều này đúng khi 12n ; vì vậy, 12 (1)p là một phép tính xấp xỉ có độ chính xác cao đối với e. Công thức (2.6) và (2.11) có thể được dùng để hình thành phép tính xấp xỉ và công thức số dư cho hầu hết các hàm số chuẩn mà hay gặp trong các bài toán của sinh viên đại học. Để tham khảo sau này, chúng tôi nêu một vài công thức thường gặp 2 1 1 ... . 2! ! ( 1)!         n n x cx x x e x e n n (2.13) 3 5 2 1 2 1 1 sin( ) ... ( 1) ( 1) cos(c). 3! 5! (2 1)! (2 1)!              n n n nx x x x x x n n (2.14) 2 4 2 2 2 1 os( ) 1 ... ( 1) ( 1) cos(c). 2! 4! (2 )! (2 2)!            n n n nx x x x c x n n (2.15) 1 21 1 ... , 1. 1 1           n n x x x x x x x (2.16) 1 2 2 1 1 1 (1 ) 1 ... (1 ) .                 n n n n n x C x C x C x C x c (2.17) Trong tất cả các công thức, ngoại trừ (2.16), điểm c nằm giữa 0 và x. Ví dụ 2.2.4 Tính xấp xỉ cos(x) với / 4x  , với sai số không lớn hơn 10-5 . Vì điểm c nằm trong số dư của (2.15) là không xác định, và sai số mong muốn là
  • 45. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 49 2 2 5 2 1( ) 10 (2 2)! n n x R x n       , với / 4x  . Để bất đẳng thức này đúng, chúng ta cần có   2 2 5/ 4 10 (2 2)! n n      , nó thỏa mãn khi 3n  . Phép tính xấp xỉ mong muốn là 2 4 6 cos( ) 1 2! 4! 6! x x x x     . Nhiều đa thức Taylor và số hạng dư không được tạo ra một cách trực tiếp từ (2.6) và (2.11). Thay vào đó, các công thức Taylor chuẩn trên được khéo léo thực hiện để đạt được xấp xỉ Taylor cho các hàm số khác. Ví dụ, xem xét việc xây dựng một phép tính xấp xỉ đa thức Taylor đối với 2 ( ) x f x e  quanh điểm x = 0. Hãy bắt đầu bằng việc thay thế x bằng t trong (2.13), ta có 2 1 1 ... . 2! ! ( 1)!         n n t ct t t e t e n n Với c là một số nằm giữa 0 và t. Điều này đúng với mọi số thực t. Bây giờ thay t bằng 2 x , cho ra 2 4 6 2 1 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 ... . 2! 3! ! ( 1)!             n n n n x cx x x x e x e n n (2.18) Với c là một số thỏa 2 0  x c . Điều này cho phép tính xấp xỉ đa thức Taylor đối với 2 x e tới bậc 2n (và bậc 2n+1). Nếu chúng ta cố gắng xây dựng phép tính xấp xỉ Taylor trực tiếp, như dạng của phần 2.1, thì đạo hàm của 2 x e nhanh chóng trở nên không thể kiểm soát được. Như một ví dụ hơi phức tạp hơn một chút của việc xây dựng trực tiếp phép tính xấp xỉ đa thức Taylor, chúng ta xuất phát từ phép tính xấp xỉ đối với log(1-t). Bắt đầu bằng việc lấy tích phân (2.16) từ 0 đến t
  • 46. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 50 1 2 0 0 0 1 (1 ... ) . 1 1            t t t n n x dx x x x dx dx x x 1 2 3 1 0 1 1 1 log(1 ) ... . 2 3 1 1             t n n x t t t t t dx n x 1 2 3 1 0 1 1 1 log(1 ) ( ... ) . 2 3 1 1             t n n x t t t t t dx n x (2.19) Điều này đúng khi 0 t 1  . Số hạng dư có thể được làm đơn giản bằng việc áp dụng định lý giá trị trung bình tích phân, để đạt được 1 2 1 0 0 1 1 , 1 1 1 2 t tn n nx t dx x dx x c c n                 với c nằm giữa 0 và t, và cũng có giá trị đúng khi 1 0t   . Tóm tắt trường hợp quan trọng này, chúng ta có 2 2 3 11 1 1 1 log(1 ) ( ... ) 2 3 1 1 2 n n t t t t t t t n c n                  , (2.20) với tc nằm giữa 0 và t; và điều này đúng khi -1 t<1. Ðịnh lý 2.2.5 (Ðịnh lý giá trị trung bình tích phân) Cho w(x) là hàm khả tích không âm trên đoạn [a, b], và f(x) liên tục trên đoạn [a,b]. Thì có ít nhất một điểm c trong [a, b] sao cho ( ). ( ) ( ) ( ) . b b a a f x w x dx f c w x dx  Ðặc biệt, nếu w(x)=1 thì ( ) ( )( ). b a f x dx f c b a 
  • 47. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 51 Ghi chú 2.2.6 Khi chúng ta nói về giới hạn sai số trong một lượng nào đó, thì hãy nói giới hạn sai số ( ) ( )nf x p x , nghĩa là chúng ta tìm một số 1M sao cho 1( ) ( ) . nf x p x M Khi chúng ta nói đến giới hạn sai số trong đoạn x   , nghĩa là chúng ta muốn tìm một số 2M sao cho 2max ( ) ( ) .n x f x p x M      Hầu hết các ví dụ thì không “đẹp” như ví dụ 2.2.3 , và nói chung chúng ta phải sử dụng các giá trị tuyệt đối giải các bài toán sai số. 2.2.1 Chuỗi số vô hạn Bằng việc sắp xếp lại các số hạng trong (2.16), chúng ta có được tổng một cấp số nhân 1 2 1 1 ... , 1. 1          n n x x x x x x (2.21) Cho n   trong (2.16) khi 1x  , chúng ta có được một cấp số nhân lùi vô hạn 2 0 1 1 ... , 1. 1           j j x x x x x (2.22) Ðây cũng chính là một chuỗi số vô hạn. Một cách tổng quát, chúng ta nhắc lại rằng một chuỗi vô hạn 0 j j c    , thì hội tụ nếu tổng từng phần 0 n n j j S c    , 0n  , là một dãy hội tụ. Điều này có nghĩa là lim n n S S   , tồn tại và khi đó ta có thể viết 0 .     j j S c (2.23)
  • 48. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 52 Đối với cấp số vô hạn trong (2.22) với x 1 , tổng từng phần được cho bởi (2.21) là 1 1 . 1     n n x S x Khi 1x , rõ ràng dãy  nS có giá trị giới hạn  1 1/ x và vì thế chúng ta có thể nói chuỗi số vô hạn hội tụ với giá trị này. Khi 1x  , dãy  nS rõ ràng không hội tụ với bất cứ giá trị giới hạn nào; chúng ta nói chuỗi số vô hạn phân kỳ trong trường hợp này. Giả định ( )f x có đạo hàm bậc bất kỳ tại x = a. Khi đó, Chuỗi số vô hạn ( ) 0 ( ) ( ) ! j j j x a f a j     , được gọi là sự khai triển chuỗi Taylor của hàm số ( )f x quanh điểm x = a. Và tổng từng phần ( ) 0 ( ) ( ) ! jn j j x a f a j   , là đa thức Taylor ( )np x . Dãy  ( )np x có giới hạn ( )f x nếu sai số dần về 0 khi n  . Tức là, lim[ ( ) ( )] 0.   n n f x p x Trong trường hợp này, chúng ta có thể viết ( ) 0 ( ) ( ) ( ). !      j j j x a f x f a j (2.24) Như các ví dụ, chúng ta có thể chỉ ra rằng các số hạng sai số trong (2.13) đến (2.17) và (2.20) dần về 0 khi n   khi giá trị x phù hợp. Điều này dẫn đến sự khai triển Taylor sau 0 ! j x j x e j     , x   . (2.25)
  • 49. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 53 2 1 0 ( 1) sin (2 1)! j j j x x j       , x   . (2.26) 2 0 ( 1) cos (2 )! j j j x x j      , x   . (2.27) 0 (1 ) j j j x C x       , 1 1x   . (2.28) 0 log(1 ) j j t t j      , 1 1x   . (2.29) Chuỗi số vô hạn có dạng 0 ( )    j j j a x a (2.30) được gọi là chuỗi số lũy thừa. Công thức Taylor là một cách để đạt được những chuỗi số như thế, nhưng chúng cũng có thể được tạo ra bằng cách khác. Sự hội tụ của chúng có thể được xem xét một cách trực tiếp mà không cần nhờ vào công thức sai số của Taylor. Chúng tôi nhắc lại 2 định lý quan trọng được dùng để xem xét sự hội tụ. Định lý 2.2.7 Giả định rằng chuỗi số (2.30) hội tụ với giá trị 0x nào đó. Thì chuỗi số (2.30) cũng hội tụ với tất cả các giá trị x thỏa 0x a x x   . Định lý 2.2.8 Cho chuỗi số (2.30), giả định rằng giới hạn 1n n n a R lim a    , tồn tại. Thì khi x thỏa 1 x a R   , chuỗi số (2.30) hội tụ về một giới hạn S(x). Khi R = 0, chuỗi số (2.30) hội tụ với bất kỳ số thực x nào. Ví dụ, chúng ta hãy xem xét sự hội tụ của chuỗi số lũy thừa trong công thức (2.27). Cho t = x2 , chúng ta có được chuỗi số    0 1 . 2 !     j j j t j (2.31)
  • 50. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 54 Áp dụng định lý 2.2.8 với     1 2 ! j ja j   , chúng ta thấy R = 0. Vì thế chuỗi số (2.31) hội tụ với bất kỳ giá trị nào của t, và khi đó chuỗi số trong công thức (2.27) hội tụ với bất cứ giá trị nào của x. CHƯƠNG TRÌNH MATLAB: Chương trình MATLAB sau, vẽ lần lượt đồ thị các đa thức Taylor bậc 1, 2, 3 và các sai số bậc 1, 2, 3, 4 của e^x quanh điểm x = 0 trên đoạn [-b, b], với b là giá trị được đưa vào khi chạy chương trình. Trường hợp b = 1 sẽ vẽ ra các Hình 2.1, Hình 2.2, Hình 2.4, Hình 2.5; và được lưu với file plot_exp.m. Chương trình 2.3: % TIEU DE: Do thi cac da thuc Taylor cua exp(x) quanh diem x = 0. % Day la do thi cua vai da thuc Taylor va sai so cua chung voi bac tang dan % cua ham exp(x) tren doan [-b,b]. % Truoc het, neu nhap b = 1 ta duoc cac hinh da trinh bay trong ly thuyet. disp('Hay nhap b = 1 de duoc cac Hinh trong ly thuyet; Nhap xong nhan Enter de tiep tuc.') b = input('Nhap gia tri cua b de tao [-b,b], b = '); h = b/100; x = -b:h:b; max_deg = 4; % Tao ra cac he so cua ham exp(x) khi mo rong quanh diem a = 0. % Nhung he so nay duoc luu tru trong mang c, voi do dai la max_deg+1. c = ones(max_deg+1,1); fact = 1; for i = 1:max_deg fact = i*fact; c(i+1) = 1/fact; end % Tinh gia tri khai trien da thuc Taylor bac1, bac2, bac3, bac4 bang cach goi % ham polyeval la mot file trong cung thu muc. p1 = polyeval(x,0,c,1); p2 = polyeval(x,0,c,2); p3 = polyeval(x,0,c,3); p4 = polyeval(x,0,c,4); % Tinh gia tri cua exp(x) va gia tri cac sai so cua cac da thuc Taylor.
  • 51. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 55 true = exp(x); err1 = true-p1; err2 = true-p2; err3 = true-p3; err4 = true-p4; % Ve lan luot do thi cac da thuc Taylor. % Bac 1(Hinh 2.1) plot(x,true,x,p1,':',0,1,'m*'); title('Hinh 2.1. Do thi xap xi Taylor bac nhat cua e^x quanh diem x = 0.') axis('equal') legend('f','p1',-1) disp('Ta da duoc Hinh 2.1. Vui long nhan Enter de ve tiep Hinh 2.2.') pause % Bac 1, 2 (Hinh 2.2) hold off plot(x,true,x,p1,':',x,p2,'',0,1,'m*') title('Hinh 2.2. Do thi xap xi Taylor bac nhat va bac 2 cua e^x quanh diem x = 0.') axis('equal') legend('f','p1','p2',-1) disp('Vui long nhan Enter de ve tiep Hinh 2.5.') pause % Bac 1, 2, 3 (Hinh 2.5) hold off plot(x,true,x,p1,':',x,p2,'',x,p3,'-.',0,1,'m*'); titel('Hinh 2.5. Do thi xap xi Taylor cua e^x quanh diem x = 0.') axis('equal') legend('f','p1','p2','p3',-1) disp('Vui long nhan Enter de ve tiep Hinh 2.4.') pause % Ve do thi cac sai so (Hinh 2.4) plot(x,err1,x,err2,':',x,err3,'--',x,err4,'-.'); title('Hinh 2.4. Do thi sai so trong xap xi Taylor cua e^x quanh diem x = 0.') legend('bac 1','bac 2','bac 3','bac 4',0) disp('Nhan Enter de ket thuc.') hold off pause disp('Hay chay chuong trinh voi nhung gia tri b khac nhau de thay ro van de hon nhe. Chuc cac ban thanh cong. Bye!') Kết quả chạy file plot_exp.m với b = 1, ta được các hình vẽ Hình 2.1, Hình 2.2, Hình 2.4 và Hình 2.5.
  • 52. sĩ Toán học Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đặng Đức Trọng Học viên thực hiện: Nguyễn Văn Lâm Đề tài: GIẢI SỐ BẰNG MATLAB Trang 56 Chương trình 2.4: Chương trình MATLAB sau, vẽ đồ thị các đa thức Taylor bậc 1, 2, 3 và các sai số bậc 1, 2, 3, 4 của log(x) quanh điểm x = 1 trên [a,b], 01. Và được lưu với file plot_log.m. % TIEU DE: Ve do thi cua nhung da thuc Taylor cua log(x) quanh x = 1. % Day la nhung do thi cua nhung da thuc Taylor rieng biet va nhung sai so % cua no doi voi bac tang dan. Do la ham dac biet xap xi voi log(x) va duoc %khai trien quanh diem x = 1. Khoang xap xi la [a, b] voi 0 < a < 1 va b > 1. % Truoc het, chung ta ve do thi cua nhung da thuc Taylor va tam dung va % roi chung ta ve do thi cua nhung sai so cua chung khi nhan phim Enter. % Neu chon a = 1/2, b = 2 thi ta duoc Hinh 2.3, Hinh 2.6. % Khoi chay. disp('Hay nhap a=1/2 va b=2 de duoc Hinh 2.3 va Hinh 2.6 trong ly thuyet.') a = input('Khoi tao khoang [a,b], Nhap gia tri a voi 0 < a < 1, a = '); b = input('Nhap gia tri b > 1, b = '); h = (b-a)/200; x = a:h:b; max_deg = 4; c = zeros(max_deg+1,1); sign = 1; for i = 1:max_deg c(i+1) = sign/i; sign = -sign;end

đánh giá So Sánh So sánh MATLAB Online Matlab la gì

Bài Viết Liên Quan

Làm chủ cảm xúc là gì năm 2024
Làm chủ cảm xúc là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì
Lỗi driver usb 2.0 serial dấu chấm than năm 2024
Lỗi driver usb 2.0 serial dấu chấm than năm 2024

mẹo hay Sửa lỗi USB Driver USB
Vở bài tập ngữ văn lớp 8 tập 1 năm 2024
Vở bài tập ngữ văn lớp 8 tập 1 năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập
Chi phí phá dỡ tài sản cố định là gì năm 2024
Chi phí phá dỡ tài sản cố định là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì
Có loại nồi nào vừa nấu kho một lần năm 2024
Có loại nồi nào vừa nấu kho một lần năm 2024

mẹo hay Món Ngon Nấu
Khắc phục lỗi không kết nối được wifi năm 2024
Khắc phục lỗi không kết nối được wifi năm 2024

mẹo hay
Họ và tên bạn dịch sang tiếng trung là gì năm 2024
Họ và tên bạn dịch sang tiếng trung là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì Học Tốt Tiếng trung Ngôn ngữ Dịch
Lỗi không chơi được sleeping dogs definitive edition năm 2024
Lỗi không chơi được sleeping dogs definitive edition năm 2024

mẹo hay
Đề thi giữa học kì 1 toán 7 năm 2024
Đề thi giữa học kì 1 toán 7 năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học
Trình độ học vấn cao nhất là gì năm 2024
Trình độ học vấn cao nhất là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì Học Tốt Học
Bệnh viện nào chữa xơ gan tốt nhất năm 2024
Bệnh viện nào chữa xơ gan tốt nhất năm 2024

mẹo hay Top List Tốt nhất Review
Công thức hóa học của sắt 3 hidroxit năm 2024
Công thức hóa học của sắt 3 hidroxit năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học Công thức
Sử dụng cỏ mỹ bị phạt như thế nào năm 2024
Sử dụng cỏ mỹ bị phạt như thế nào năm 2024

mẹo hay Hỏi Đáp Thế nào
Sky villa là gì phân biệt sky villa và penthouse năm 2024
Sky villa là gì phân biệt sky villa và penthouse năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì Sky Villa Ecopark Duplex la gì
Phòng khám tai mũi họng hoàng văn thái năm 2024
Phòng khám tai mũi họng hoàng văn thái năm 2024

mẹo hay
Câu 8 sách giáo khoa trang 96 toán lớp 6 năm 2024
Câu 8 sách giáo khoa trang 96 toán lớp 6 năm 2024

mẹo hay Học Tốt Sách
Thuoốc phần mềm là gì và có nên dùng không năm 2024
Thuoốc phần mềm là gì và có nên dùng không năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì Có nên
Bài tập ôn tập chương 3 hóa học 10 violet năm 2024
Bài tập ôn tập chương 3 hóa học 10 violet năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập Học Tốt Học
Giải bài tập hóa học 9 bài 4 năm 2024
Giải bài tập hóa học 9 bài 4 năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập Học Tốt Học
We removed extra line breaks from this message là gì năm 2024
We removed extra line breaks from this message là gì năm 2024

là ai Hỏi Đáp Là gì

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Quyết định 15 về chế độ kế toán năm 2024
5 ngày trước . bởi WrittenDeflation
Lỗi warcraft 3 patch 1.27 hok chơi dc trên garena năm 2024
5 ngày trước . bởi ProletarianLoathing
Giao bưu tá đi phát là gì năm 2024
5 ngày trước . bởi MintJuncture
Viết đoạn văn từ 3 đến 5 câu năm 2024
5 ngày trước . bởi MaroonOriginality
Chính sách ưu đãi trong tiếng anh là gì năm 2024
5 ngày trước . bởi ProjectedTechnology
Tắt chức năng kiểm lỗi chính tả trong office 365 năm 2024
5 ngày trước . bởi UnassumingAdvertising
Xin lỗi người anh sẽ ra đi vì em năm 2024
5 ngày trước . bởi AdorableLordship
Cửa hàng trẻ em quảng trạch thanh hóa năm 2024
5 ngày trước . bởi Two-year-oldBreadth
Dầu tẩy trang nào có thể chuyển hoá thành sữa năm 2024
5 ngày trước . bởi UndefeatedBases
Quảng cáo báo lỗi trang đích không phản hồi năm 2024
5 ngày trước . bởi AnnoyingSnapshot

Toplist được quan tâm

#1
Top 9 bài tập bổ trợ tiếng anh lớp 4 family and friends 2023
5 tháng trước
#2
Top 8 các loại quyết định cá biệt 2023
5 tháng trước
#3
Top 9 xổ số vũng tàu ngày 25 tháng 2 2023
5 tháng trước
#4
Top 2 tân bảng phong thần phần 2 - tập 19 2023
5 tháng trước
#5
Top 8 biểu hiện của sự sáng tạo trong cuộc sống 2023
5 tháng trước
#6
Top 7 xét học bạ đại học giao thông vận tải 2023
5 tháng trước
#7
Top 7 khu vực khí hậu gió mùa châu á là nội phân bố của các cảnh quan 2023
5 tháng trước
#8
Top 9 thể tích khối lăng trụ khi biết diện tích đáy s=6 và chiều cao h=4 là 2023
5 tháng trước
#9
Top 8 anh/chị hãy nhân xét về quan niệm dậy mà đi của tác giả qua bài thơ 2023
5 tháng trước

Quảng cáo

Xem Nhiều

Câu 8 sách giáo khoa trang 96 toán lớp 6 năm 2024
22 giờ trước . bởi EverlastingLarceny
Vở bài tập ngữ văn lớp 8 tập 1 năm 2024
5 giờ trước . bởi InvolvedNourishment
Bệnh viện nào chữa xơ gan tốt nhất năm 2024
15 giờ trước . bởi ListeningShaving
Be left to your own devices là gì năm 2024
1 tuần trước . bởi SuburbanTemplate
Giải đề thi thử thpt quốc gia 2023 môn văn năm 2024
1 tuần trước . bởi SolicitousInsanity
Tổng hợp các lỗi xử phạt giao thông 2023 năm 2024
1 tuần trước . bởi CurtFiring
Lỗi 0x00000000709 khi đặt máy in mặc định năm 2024
4 ngày trước . bởi AlmightyStylus
Dấu sao y bản chính tiếng anh là gì năm 2024
1 tuần trước . bởi TerritorialFooting
Bài tập câu hỏi đuôi dạng đặc biệt lớp 9 năm 2024
2 ngày trước . bởi UnannouncedAtheism
Bài văn ngắn về nơi yêu thích tiếng nhật năm 2024
1 ngày trước . bởi BranchingCropping

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội

DMCA.com Protection Status
Bản quyền © 2021 hoidapvui Inc.