Phương trình đường tròn bài tập

Bạn gặp rắc rối về giải bài tập viết phương trình đường tròn nhưng bạn lúng túng không biết viết như thế nào? Cho nên, chúng tôi sẽ chia sẻ lý thuyết phương trình đường tròn và các dạng bài tập có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé

Lý thuyết phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình: (x – a)2 + (y – b)2 = R2

Lưu ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2 + y2 = R2

2. Nhận xét

+) Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể viết dưới dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. Trong đó c = a2 + b2 – R2.

+) Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi a2 + b2 – c2 > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R = √a2 + b2 – c

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b). Gọi ∆ là tiếp tuyến với (C) tại M0.

Ta có M0 thuộc Δ và vectơ IM0 →= (x0−a; y0−b)là vectơ pháp tuyến cuả Δ

Do đó Δ có phương trình là:

(x0 − a)(x − x0)+(y0 − b)(y − y0) = 0

Phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 tại điểm M0 nằm trên đường tròn.

Tham khảo thêm:

Các dạng bài tập phương trình đường tròn

1. Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Phương pháp:

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a. x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0

b. 16x2 + 16y2 + 16x − 8y − 11 = 0

c. x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.

Lời giải:

a. Ta có : −2a = −2 ⇒ a = 1

−2b = −2 ⇒ b = 1⇒ I(1; 1)

R2 = a2 + b2 − c = 12+12−(−2) = 4 ⇒ R = √4 = 2

Cách khác:

x2 + y2 − 2x − 2y − 2 = 0 ⇔ (x2 − 2x + 1) + (y2− 2y + 1) = 4 ⇔ (x−1)2+(y−1)2 = 22

Vậy đường tròn có tâm I(1;1) bán kính R=2.

b. 16x2 + 16y2 + 16x − 8y − 11 = 0

⇔ x2 + y2 + x − ½y −11/16 = 0

−2a = 1⇒ a =−½

−2b =−½ ⇒ b =¼

⇒ I(−½; ¼ )

R2= a2+b2−c = (−½)2+(¼ )2−(−11/16) = 1⇒ R=√1 = 1

Cách khác

c. x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.

−2a =−4⇒a = 2

−2b = 6 ⇒b = −3

⇒I(2;−3)

R2=a2+b2−c = 22+(−3)2−(−3) = 16

⇒R=√16 = 4

Cách khác:

x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0.

⇔(x2−4x+4)+(y2+6y+9)=16

⇔(x−2)2+(y+3)2=42

Do đó đường tròn có tâm I(2;−3) bán kính R=4.

2. Dạng 2: Viết phương trình đường tròn

Cách 1:

Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)

Tìm bán kính R của (C)

Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

Chú ý:

  • (C) đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.
  • (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).
  • (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2

⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R

Cách 2:

Gọi phương trình đường tròn (C) là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)

Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c

Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm I(−2;3) và đi qua M(2;−3); b.(C) có tâm I(−1;2) và tiếp xúc với đường thẳng d:x–2y+7=0

c. (C) có đường kính AB với A(1;1) và B(7;5).

Lời giải

a. Đường tròn (C) có tâm I(a;b) và đi qua điểm M thì có bán kính là R = IM và có phương trình:

(x − a)2+(y − b)2 =R2 = IM2.

(C) có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM.

⇒R2 = IM2 = (2+2)2+(−3−32) = 52

Phương trình (C): (x+2)2+(y−3)2 = 52

b. Đường tròn (C) có tâm I(a;b) và tiếp xúc với đường thẳng d thì R=d(I;d).

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d

⇒ d(I;d)=R

c. Đường tròn (C) có đường kính AB thì có tâm I là trung điểm của AB và bán kính: R = AB/2.

Tâm I là trung điểm của AB, có tọa độ :

Phương trình cần tìm là: (x−4)2+(y−3)2=13

Ví du: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: A(1;2); B(5;2); C(1;−3)

Lời giải:

Gọi phương trình đường tròn có dạng: (C): x2 + y2 − 2ax – 2by + c = 0

A(1;2)∈(C) nên:12 + 22 – 2a − 4b + c=0 ⇔ 2a + 4b – c = 5

B(5;2)∈(C) nên: 52 + 22 – 10a − 4b + c=0 ⇔ 10a + 4b – c = 29

C(1;−3)∈(C) nên: 12+(−3)2–2a + 6b + c = 0⇔ 2a − 6b – c =10

Phương trình cần tìm là: x2+y2−6x+y−1=0

3. Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo­(xo;yo) thuộc đường tròn (C)

Tìm tọa độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại Mo­(xo;yo) có dạng:

(x0 -a)(x-x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0

Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với (C) khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R

Ví dụ 1:Cho đường tròn (C) : (x – 3)2 + (y – 1)2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4)

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I( 3;1). Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau.

⇒ IA→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến của d.

Suy ra phương trình d: 1( x – 4) + 3( y – 4 ) = 0

Hay x + 3y – 16 = 0.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (x – 3)2 + (y + 1)2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0

Lời giải:

Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên

phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .

Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi :

Sau khi đọc xong bài viết của chúng tôi các bạn có thể hệ thống lại kiến thức về phương trình đường tròn để áp dụng vào làm các dạng bài tập liên quan nhanh chóng nhé

Tiết học hôm trước chúng ta đã được tìm hiểu và luyện tập về Phương trình đường thẳng, vậy Phương trình đường tròn thì viết như thế nào? Có tính chất nào khác? Cùng iToan học tập và đánh bay nỗi sợ môn Toán qua những bài giảng trực quan, thú vị nhé! Bài giảng: Phương trình đường tròn dược biên soạn bám sát theo chương trình sách giáo khoa Hình học lớp 10.

Nội dung kiến thức Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy  , đường tròn (C)  tâm I(a,b)  bán kính R  có phương trình:

 (xa)^2+(yb)^2=R^2

Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O  và bán kính R  là  x2+y2=R2

Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn nhận AB  làm đường kính với  A(1;1),B(7;5)

Giải

Gọi  I  là trung điểm của đoạn  AB suy ra I(4;3),AI=(41)2+(31)2−−−−−−−−−−−−−−−√=13−−√

Đường tròn cần tìm có đường kính là AB  suy ra nó nhận I(4; 3)  làm tâm và bán kính  R=AI=13−−√ nên có phương trình là  (x4)2+(y3)2=13 .

Nhận xét

Phương trình đường tròn (xa)2+(yb)2=R2  có thể viết dưới dạng

x2+y22ax2by+c=0

trong đó  c=a2+b2R2

●  Phương trình x2+y22ax2by+c=0  là phương trình của đường tròn (C) khi  a2+b2c>0.  Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a,b) bán kính

R=a2+b2c

Ví dụ

Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có.

a. x^2+y^2+2x4y+9=0       (1)

b. x^2+y^26x+4y+13=0                (2)

c. 2x^2+2y^26x4y1=0            (3)

d.  2x^2+y^2+2x3y+9=0                 (4)

Lời giải

a) Phương trình (1) có dang x^2+y^22ax2by+c=0 với a=1;b=2;c=9
Ta có a^2+b^2c=1+49<0 Vây phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.

b) Ta có: a^2+b^2c=9+413=0

Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.

c) Ta có: (3)x^2+y^23x2y12=0(x3/2)^2+(y1)^2=15?4


Vây phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm I(3/2;1)  bán kính R=152
d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hê số của x^2 và y^2 khác nhau.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính R.
Đường thẳng Δ là tiếp tuyến với (C) tại điểm M0(x0;y0). Ta có:

M0(x0;y0)  thuộc Δ .


IM0−→−=(x0a;y0b)  là vectơ pháp tuyến của Δ

Do đó Δ có phương trình là

(x0a)(xx0)+(y0b)(yy0)=0

Ví dụ 3 : Viết phương trình tiếp tuyến tai điểm M(3;4) thuộc đường tròn

(C):(x1)2+(y2)2=8 .

Giải
(C) có tâm I(1;2), vây phương trình tiến tuyến với (C) tai điểm M(3;4) là:
(31)(x3)+(42)(y4)=02x+2y14=0x+y7=0

Giải bài tập sách giáo khoa Phương trình đường tròn

Bài 1 (trang 83 SGK Hình học 10):

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a, x2 + y2– 2x – 2y – 2 = 0

b, 16x2 + 16y2 + 16x – 8y -11 = 0

c, x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0

Lời giải

Cách 1 : Xác định các hệ số a, b, c.

a) x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0 có hệ số a = 1 ; b = 1 ; c = –2

⇒ tâm I (1; 1) và bán kính 

b) 16x2 + 16y2 + 16x – 8y –11 = 0

⇒ Đường tròn có tâm 

 , bán kính 

c) x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0

⇔ x2 + y2 – 2.2x – 2.(-3).y – 3 = 0

có hệ số a = 2, b = -3,c = -3

⇒ Đường tròn có tâm I(2 ; –3), bán kính 

Bài 2 (trang 83 SGK Hình học 10):

Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a, (C) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3);

b, (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng x – 2y +7 =0

c, (C) có đường kính AB với A = (1; 1) và B = (7; 5).

Lời giải

a) (C) có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM

Ta có: 

Vậy đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52.

b) (C) tiếp xúc với (Δ) : x – 2y + 7 = 0

⇒ d(I; Δ) = R

Mà 

Vậy đường tròn (C) : 

c) (C) có đường kính AB nên (C) có :

+ tâm I là trung điểm của AB

Vậy đường tròn (C) : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13.

Bài 3 (trang 84 SGK Hình học 10):

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

a, A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)

b, M(-2; 4), N(5; 5), P(6; -2)

Lời giải

Gọi phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.

a) Do A(1; 2) ∈ (C) ⇔ 12 + 22 – 2.a.1 – 2.b.2 + c = 0

⇔ 5 – 2a – 4b + c = 0 ⇔ 2a + 4b – c = 5 (1)

Do B(5; 2) ∈ (C) ⇔ 52 + 22 – 2.a.5 – 2.b.2+ c = 0

⇔ 29 – 10a – 4b + c = 0 ⇔ 10a + 4b – c = 29 (2)

Do C(1; –3) ∈ (C) ⇔ 12 + (–3)2 – 2.a.1 – 2.b.(–3) + c = 0

⇔ 10 – 2a + 6b + c = 0 ⇔ 2a – 6b – c = 10 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình :

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 3, b = –1/2, c = –1.

Vậy đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là : x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0.

b) M(–2 ; 4) ∈ (C) ⇔ (–2)2 + 42 – 2.a.(–2) – 2.b.4 + c = 0 ⇔ 4a – 8b + c = –20 (1)

N(5; 5) ∈ (C) ⇔ 52 + 52 – 2.a.5 – 2.b.5 + c = 0 ⇔ 10a + 10b – c = 50 (2)

P(6; –2) ∈ (C) ⇔ 62 + (–2)2 – 2.a.6 – 2.b.(–2) + c = 0 ⇔ 12a – 4b – c = 40 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 2, b = 1, c = –20.

Vậy đường tròn đi qua ba điểm M, N, P là : x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.

Bài 4 (trang 84 SGK Hình học 10):

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M(2; 1).

Lời giải

Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a ; b) và bán kính bằng R.

(C) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|

(C) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|

⇒ |a| = |b|

⇒ a = b hoặc a = –b.

+ TH1: Xét a = b thì I(a; a), R = |a|

Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2

⇒ (2 – a)2 + (1 – a)2 = a2

⇔ 4- 4a + a2 + 1 – 2a + a2 = a2

⇔ 2a2 – 6a + 5- a2 =0

⇔ a2 – 6a + 5 = 0

⇔ a = 1 hoặc a = 5.

* a = 1 ⇒ I(1; 1) và R = 1.

Ta có phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.

* a = 5 ⇒ I(5; 5), R = 5.

Ta có phương trình đường tròn (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.

+ TH2: Xét a = –b thì I(a; –a), R = |a|

Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2

⇒ (2 – a)2 + (1 + a)2 = a2

⇔ 4 – 4a + a2 + 1+ 2a + a2 – a2 = 0

⇔ a2 – 2a + 5 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1 hoặc (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.

Bài 5 (trang 84 SGK Hình học 10):

Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0

Lời giải

Bài 6 (trang 84 SGK Hình học 10):

Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

a, Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)

b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0)

c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.

Lời giải

a) x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25

⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.

Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:

(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 52= R2

⇒ A thuộc đường tròn (C)

⇒ tiếp tuyến (d’) cần tìm tiếp xúc với (C) tại A

⇒ (d’) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA

⇒ (d’) nhận 

 là một vtpt và đi qua A(–1; 0)

⇒ phương trình (d’): 3(x + 1) – 4(y – 0)= 0 hay 3x – 4y + 3 = 0.

2 phần vừa rồi các em đã làm đúng chưa, cùng làm tiếp phần c nhé!

c) Gọi tiếp tuyến vuông góc với (d) : 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).

(d) có 

 là một vtpt; 1 VTCP là ud→(4; 3)

(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận 

 là một vtpt

⇒ (Δ): 4x + 3y + c = 0.

(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R

Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.

Bài tập tự luyện Phương trình đường tròn

Các bài tập tự luyện sẽ giúp các em luyện tập tư duy giải nhanh, củng cố kiến thức về bài học

A. (x+a)2+(y+b)2=R2.

B. (xa)2+(yb)2=R2.

C. (xa)2+(y+b)2=R2.

D. (x+a)2+(yb)2=R2.

A. a2+b2+c2>0 .

B. a2+b2c2>0 .

C. a2b2c2>0 .

D. a2+b2c2>0 .

A. (x0a)(x+x0)+(y0b)(y+y0)=0.

B. (x0+a)(xx0)+(y0+b)(yy0)=0.

C. (x0a)(xx0)+(y0b)(yy0)=0.

D. (x0+a)(x+x0)+(y0+b)(y+y0)=0.

A. √2

B.1

C.4

D. 4√2

A. (0,0).

B. (1,0).

C. (3,2).

D. (1,1).

1. B      2.B    3.C     4.C    5.D

Bài giảng kết thúc tại đây. Để luyện tập thêm nhiều bài tập về Phương trình đường tròn cũng như Toán lớp 10, hãy truy cập Toppy. Toppy có đủ các bài giảng bám sát thepo chương trình học trên lớp, cùng với kho tàng bài tập phong phú, chắc chắn sẽ giúp em tìm được hướng đi đúng đắn và phương pháp học hiệu quả.

Đừng học chăm chỉ, hãy học có phương pháp!

>> Xem thêm các bài giảng khác tại iToan:

* Biến đổi các biểu thức hữu tỉ

* Kiến thức về tập hợp số

* Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Tải thêm tài liệu liên quan đến bài viết Phương trình đường tròn bài tập