Đề thi khảo sát chất lượng lớp 10 môn toán

Rút gọn biểu thức \[3\sqrt {8a} + \dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{{32a}}{{25}}} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{3}{{2a}}} - \sqrt {2a} \] với \[a > 0\] ta được:

• A \[\dfrac{{47}}{{10}}\sqrt a \]
• B \[\dfrac{{21}}{5}\sqrt a \]
• C \[\dfrac{{47}}{{10}}\sqrt {2a} \]
• D \[\dfrac{{47}}{5}\sqrt {2a} \]

Câu 5 :

Cho hình vẽ dưới đây, góc \[DIE\] có số đo bằng

• A $\dfrac{1}{2}$[sđ \[\overparen{DmE} + \] sđ \[\overparen{CnF}\] ]
• B $\dfrac{1}{2}$[sđ \[\overparen{DmE} - \] sđ \[\overparen{CnF}\] ]
• C $\dfrac{1}{2}$[sđ \[\overparen{DF} + \] sđ \[\overparen{CE}\] ]
• D $\dfrac{1}{2}$[sđ \[\overparen{DF} + \] sđ \[\overparen{CE}\] ]

Câu 6 :

Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến?

• A \[y = - \left[ {\dfrac{x}{2} - 3} \right]\]
• B \[y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {x + 1} \right]\]
• C \[y = - 5 - 3x\]
• D \[y = - \left[ {9 + 3x} \right]\]

Câu 7 :

Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.\] có bao nhiêu cặp nghiệm \[\left[ {x;y} \right]\] ?

• A \[1.\]
• B \[2.\]
• C \[3.\]
• D \[4.\]

Câu 8 :

Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\] là:

• A \[S = \left\{ {1; - 7} \right\}\]
• B \[S = \left\{ { - 1;7} \right\}\]
• C \[S = \left\{ 7 \right\}\]
• D \[S = \left\{ { - 1} \right\}\]

Câu 9 :

Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

• A Có đỉnh nằm trên đường tròn
• B Có đỉnh trùng với tâm đường tròn
• C Có hai cạnh là hai đường kính của đường tròn
• D Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Câu 10 :

Hàm số \[y = \dfrac{{3m}}{{1 - 2m}}x - 5\] là hàm số bậc nhất khi:

• A \[m \notin \left\{ {0;\dfrac{1}{2}} \right\}\]
• B \[m > 0\]
• C \[m \ne 0\]
• D \[m \ne \dfrac{1}{2}\]

Câu 11 :

Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = \dfrac{1}{2}{x^2}\] . Tổng các giá trị của \[a\] thỏa mãn \[f\left[ a \right] = 3 + \sqrt 5 \] là

• A \[1\]
• B \[2\sqrt 5 \]
• C \[0\]
• D \[ - 2\]

Câu 12 :

Viết phương trình đường thẳng \[d\] biết \[d\] tạo với đường thẳng \[y = 2\] [theo chiều dương] một góc bằng \[135^\circ \] và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[4\].

• A \[y = x - 4\]
• B \[y = - x - 4\]
• C \[y = x + 4\]
• D \[y = - x + 4\]

Câu 13 :

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến với mọi \[x \in R?\]

• A \[y = {\rm{\;}} - 2x + 4.\]
• B \[y = \sqrt 3 x - 2.\]
• C \[y = {\rm{\;}} - \left[ {\frac{7}{2} + 2x} \right].\]
• D \[y = \frac{{1 - x}}{3}\]

Câu 14 :

Phép tính \[\sqrt {{{12}^2}.{{\left[ { - 11} \right]}^2}} \] có kết quả là?

• A \[ - 33\]
• B \[ - 132\]
• C \[132\]
• D Không tồn tại.

Câu 15 :

Cho hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \[3\] và hiệu các bình phương của chúng bằng \[360\] . Tìm số bé hơn.

• A \[12\]
• B \[10\]
• C \[21\]
• D \[9\]

Câu 16 :

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AC = 7\,cm,AB = \,5cm\]. Tính $BC;\widehat C$ .

• A $BC = \sqrt {74} [cm];\widehat C \approx 35^\circ 32'$
• B $BC = \sqrt {74} [cm];\widehat C \approx 36^\circ 32'$
• C $BC = \sqrt {74} [cm] ;\widehat C \approx 35^\circ 33'$
• D $BC = \sqrt {75} [cm] ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$

Câu 17 :

Tính thể tích V của hình cầu có bán kính \[R = 3\left[ {cm} \right].\]

• A \[V = 108\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]
• B \[V = 9\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]
• C \[V = 72\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]
• D \[V = 36\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]

Câu 18 :

Cho tam giác \[ABC\] có các đường cao \[BD,CE\] . Chọn khẳng định đúng.

• A Bốn điểm \[B,E,D,C\] cùng nằm trên một đường tròn
• B Năm điểm \[A,B,E,D,C\] cùng nằm trên một đường tròn
• C Cả A, B đều sai
• D Cả A, B đều đúng

Câu 19 :

Phương trình \[{[2x + 1]^4}-8{[2x + 1]^2}-9 = 0\] có tổng các nghiệm là

• A \[1\]
• B \[ - 2\]
• C \[ - 1\]
• D \[2\sqrt 2 \]

Câu 20 :

Cho parabol\[[P]:y = 5{x^2}\] và đường thẳng \[[d]:y = - 4x - 4\]. Số giao điểm của đường thẳng \[d\] và parabol \[\left[ P \right]\] là:

• A \[1\]
• B \[0\]
• C \[3\]
• D \[2\]

Câu 21 :

Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \[x \le 0?\]

• A \[\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = 3x\]
• B \[\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 3x\]
• C \[\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = 9x\]
• D \[\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 9x\]

Câu 22 :

Đồ thị hàm số \[y = 5x - \dfrac{2}{5}\] đi qua điểm nào dưới đây?

• A \[A\left[ {1;\dfrac{{22}}{5}} \right]\]
• B \[B\left[ {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right]\]
• C \[C\left[ { - \dfrac{2}{{25}}; - \dfrac{3}{5}} \right]\]
• D \[D\left[ {2;10} \right]\]

Câu 23 :

Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích diện tích toàn phần của hình lập phương là \[24c{m^2}\] thì diện tích mặt cầu là:

• A \[4\pi \]
• B \[4\]
• C \[2\pi \]
• D \[2\]

Câu 24 :

Phương trình \[\sqrt {{x^2} - 2x + 10} + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31} = 8\] có nghiệm là

• A Số lẻ dương
• B Số chẵn dương
• C Số lẻ âm
• D Số vô tỉ

Câu 25 :

Đồ thị ở hình bên là đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau:

• A \[y = {\rm{\;}} - 2{x^2}\]
• B \[y = {\rm{\;}} - \frac{1}{4}{x^2}\]
• C \[y = {\rm{\;}} - 4{x^2}\]
• D \[y = {\rm{\;}} - \frac{1}{2}{x^2}\]

Câu 26 :

Một cột đèn điện \[AB\] cao \[7m\] có bóng in trên mặt đất là \[AC\] dài \[4m.\] Hãy tính góc \[\widehat {BCA}\] [làm tròn đến phút] mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

• A \[59^\circ 45'\]
• B \[62^\circ \]
• C \[61^\circ 15'\]
• D \[60^\circ 15'\]

Câu 27 :

Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ [đã bỏ nắp] có chiều cao \[h = 10cm\] và đường kính đáy là \[d= 6cm\] . Tính diện tích toàn phần của hộp sữa. Lấy \[\pi \backsimeq 3,14\]

• A \[110\pi \,\left[ {c{m^2}} \right]\]
• B \[129\pi \,\left[ {c{m^2}} \right]\]
• C \[96\pi \,\left[ {c{m^2}} \right]\]
• D \[69\pi \,\left[ {c{m^2}} \right]\]

Câu 28 :

Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế [biết số dãy ghế ít hơn 20].

• A 14 dãy
• B 15 dãy
• C 16 dãy
• D 17 dãy

Câu 29 :

Thu gọn $\sqrt[3]{{125{a^3}}}$ ta được

• A $25a$
• B $5a$
• C $ - 25{a^3}$
• D $ - 5a$

Câu 30 :

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh \[\cot 50^\circ \] và \[\cot 46^\circ \]

• A \[\cot 46^\circ = \cot 50^\circ \]
• B \[\cot 46^\circ > \cot 50^\circ \]
• C \[\cot 46^\circ < \cot 50^\circ \]
• D \[\cot 46^\circ \ge \cot 50^\circ \]

Câu 31 :

Cho đường thẳng \[d\]:\[y = \dfrac{1}{3}x - 10\]. Hệ số góc của đường thẳng \[d\] là

• A \[3\]
• B \[\dfrac{1}{3}\]
• C \[ - \dfrac{1}{3}\]
• D \[ - 3\]

Câu 32 :

Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai \[2\] giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau \[7,5\] giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau \[20\] giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?

• A \[9\] giờ
• B \[12\] giờ
• C \[10\] giờ
• D \[8\] giờ

Câu 33 :

Phát biểu nào sau đây đúng nhất

• A Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp
• B Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn nội tiếp
• C Cả A và B đều đúng
• D Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó

Câu 34 :

Tính \[x\] trong hình vẽ sau:

• A \[x = 14\]
• B \[x = 13\]
• C \[x = 12\]
• D \[x = \sqrt {145} \]

Câu 35 :

Cho hai hàm số \[f\left[ x \right] = 6{x^4}\] và \[h\left[ x \right] = 7 - \dfrac{{3.x}}{2}\]. So sánh \[f\left[ { - 1} \right]\] và \[h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]\]

• A \[f\left[ { - 1} \right] = h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]\]
• B \[f\left[ { - 1} \right] > h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]\]
• C \[f\left[ { - 1} \right] < h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]\]
• D Không đủ điều kiện so sánh

Câu 36 :

Tìm \[m\] để hai phương trình \[{x^2} + mx + 2 = 0\] và \[{x^2} + 2x + m = 0\] có ít nhất một nghiệm chung.

• A \[1\]
• B \[ - 3\]
• C \[ - 1\]
• D \[3\]

Câu 37 :

Tìm cặp giá trị \[[m;n]\] để hai hệ phương trình sau tương đương \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 3\\x + \dfrac{1}{3}y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.[I]\] và

$\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} - ny = 1\\3mx + my = 1\end{array} \right.[II]$

• A \[\left[ {1;\dfrac{1}{2}} \right]\]
• B \[\left[ 1;-1 \right]\]
• C \[[ - 1;1]\]
• D \[\left[ {\dfrac{1}{2}; - 1} \right]\]

Câu 38 :

Rút gọn biểu thức sau \[\sqrt {{{\left[ {5 - \sqrt {11} } \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {3 - \sqrt {11} } \right]}^2}} \].

• A \[2 + 2\sqrt {11} \]
• B \[8\]
• C \[2\]
• D \[2\sqrt {11} \]

Câu 39 :

Đưa thừa số \[5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \] [\[x < 0\]] vào trong dấu căn ta được:

• A \[\sqrt {\dfrac{{300}}{x}} \]
• B \[\sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \]
• C \[ - \sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \]
• D \[ - \sqrt {\dfrac{{ - 60}}{x}} \]

Câu 40 :

Cho đường tròn [O] và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB [D thuộc cung nhỏ AB]. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt các đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn [O] tại N cắt các đường thẳng AB tại I. Chọn đáp án đúng.

• A Các tam giác $FNI,{\rm{ }}INE$ cân
• B $\widehat {IEN} = 2\widehat {NDC}$
• C $\widehat {DNI} = 3\widehat {DCN}$
• D Tất cả các câu đều sai

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Số đường tròn nội tiếp của một đa giác đều là

• A \[1\]
• B \[2\]
• C \[3\]
• D \[0\]

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

Câu 2 :

So sánh hai số \[5\] và \[\sqrt {50} - 2\].

• A \[5 > \sqrt {50} - 2\]
• B \[5 = \sqrt {50} - 2\]
• C \[5 < \sqrt {50} - 2\]
• D Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

So sánh hai căn bậc hai: Với hai số \[a,b\] không âm ta có \[a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b \].

Lời giải chi tiết :

Tách \[5 = 7 - 2 = \sqrt {49} - 2\].

Vì \[49 < 50 \Leftrightarrow \sqrt {49} < \sqrt {50} \]\[ \Leftrightarrow 7 < \sqrt {50} \Leftrightarrow 7 - 2 < \sqrt {50} - 2 \]\[\Leftrightarrow 5 < \sqrt {50} - 2\].

Câu 3 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm [nếu có] của phương trình \[ - 3{x^2} + 5x + 1 = 0\].

• A \[ - \dfrac{5}{6}\]
• B \[\dfrac{5}{6}\]
• C \[ - \dfrac{5}{3}\]
• D \[\dfrac{5}{3}\]

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-et:

Nếu \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\,\,[a \ne 0]\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\]

Lời giải chi tiết :

Phương trình \[ - 3{x^2} + 5x + 1 = 0\] có \[\Delta = {5^2} - 4.1.\left[ { - 3} \right] = 37 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm \[{x_1};{x_2}\]

Theo hệ thức Vi-et ta có \[{x_1} + {x_2} = - \dfrac{5}{{ - 3}} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = \dfrac{5}{3}\].

Câu 4 :

Rút gọn biểu thức \[3\sqrt {8a} + \dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{{32a}}{{25}}} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{3}{{2a}}} - \sqrt {2a} \] với \[a > 0\] ta được:

• A \[\dfrac{{47}}{{10}}\sqrt a \]
• B \[\dfrac{{21}}{5}\sqrt a \]
• C \[\dfrac{{47}}{{10}}\sqrt {2a} \]
• D \[\dfrac{{47}}{5}\sqrt {2a} \]

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \[\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left[ {A \ge 0,B > 0} \right]\]

- Sử dụng công thức khai phương một thương \[\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\] với \[A \ge 0,B > 0\] và công thức khai phương một tích \[\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left[ {A,B \ge 0} \right]\]

- Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

\[3\sqrt {8a} + \dfrac{1}{4}\sqrt {\dfrac{{32a}}{{25}}} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{3}{{2a}}} - \sqrt {2a} \] \[ = 3\sqrt {4.2a} + \dfrac{1}{4}\dfrac{{\sqrt {16.2a} }}{{\sqrt {25} }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {2a} }} - \sqrt {2a} \] \[ = 3.2\sqrt {2a} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{4\sqrt {2a} }}{5} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {2a} }}{{2a}} - \sqrt {2a} \] \[ = 6\sqrt {2a} + \dfrac{1}{5}\sqrt {2a} - \dfrac{1}{2}\sqrt {2a} - \sqrt {2a} \]

\[ = \sqrt {2a} .\left[ {6 + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2} - 1} \right] = \dfrac{{47}}{{10}}\sqrt {2a} \]

Câu 5 :

Cho hình vẽ dưới đây, góc \[DIE\] có số đo bằng

• A $\dfrac{1}{2}$[sđ \[\overparen{DmE} + \] sđ \[\overparen{CnF}\] ]
• B $\dfrac{1}{2}$[sđ \[\overparen{DmE} - \] sđ \[\overparen{CnF}\] ]
• C $\dfrac{1}{2}$[sđ \[\overparen{DF} + \] sđ \[\overparen{CE}\] ]
• D $\dfrac{1}{2}$[sđ \[\overparen{DF} + \] sđ \[\overparen{CE}\] ]

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

\[\widehat {DIE} = \]$\dfrac{1}{2}$[sđ \[\overparen{DmE} + \] sđ \[\overparen{CnF}\] ]

Câu 6 :

Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến?

• A \[y = - \left[ {\dfrac{x}{2} - 3} \right]\]
• B \[y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {x + 1} \right]\]
• C \[y = - 5 - 3x\]
• D \[y = - \left[ {9 + 3x} \right]\]

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số bậc nhất \[y = ax + b\] \[\left[ {a \ne 0} \right]\]xác định với mọi giá trị của \[x\] thuộc \[\mathbb{R}\]và có tính chất sau

- Đồng biến trên \[\mathbb{R}\] nếu \[a > 0\].

- Nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] nếu \[a < 0\].

Lời giải chi tiết :

Hàm số \[y = - \left[ {\dfrac{x}{2} - 3} \right]\]\[ \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{2}x + 3\] có \[a = - \dfrac{1}{2} < 0\] nên là hàm số nghịch biến

Hàm số \[y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {x + 1} \right]\]\[ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\] có \[a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\] nên là hàm số đồng biến

Hàm số \[y = - 5 - 3x\]\[ \Leftrightarrow y = x - 9\]có \[a = - 1 < 0\] nên là hàm số nghịch biến.

Hàm số \[y = - \left[ {9 + 3x} \right] \Leftrightarrow y = - 9 - 3x\] có \[a = - 3 < 0\] nên là hàm số nghịch biến.

Câu 7 :

Hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.\] có bao nhiêu cặp nghiệm \[\left[ {x;y} \right]\] ?

• A \[1.\]
• B \[2.\]
• C \[3.\]
• D \[4.\]

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2

+ Trừ vế với vế của hai phương trình ta được phương trình mới

+ Biến đổi phương trình nhận được và kết hợp với một trong hai phương trình ban đầu ta tìm được \[x;y\] .

Lời giải chi tiết :

Ta có : \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\\{y^2} = 3y - x\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 4x - 4y\]\[ \Rightarrow \left[ {x - y} \right]\left[ {x + y} \right] - 4\left[ {x - y} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {x - y} \right]\left[ {x + y - 4} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\y = 4 - x\end{array} \right.\]

Khi \[x = y\] thì \[{x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 2\]

Khi \[y = 4 - x\] thì \[{x^2} - 4x + 4 = 0\] \[ \Leftrightarrow x = 2\]

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm \[\left[ {0;0} \right],\left[ {2;2} \right]\].

Câu 8 :

Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\] là:

• A \[S = \left\{ {1; - 7} \right\}\]
• B \[S = \left\{ { - 1;7} \right\}\]
• C \[S = \left\{ 7 \right\}\]
• D \[S = \left\{ { - 1} \right\}\]

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Áp dụng \[\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = {\left[ {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right]^3} = x + y + 3\sqrt[3]{{xy}}\left[ {\sqrt x + \sqrt y } \right]\]

-Lập phương hai vế, sau đó biến đổi để đưa về dạng cơ bản \[\sqrt[3]{x} = a \Leftrightarrow x = {a^3}\]

Lời giải chi tiết :

Ta có: \[\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\]\[ \Leftrightarrow {\left[ {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right]^3} = {2^3}\]

\[ \Leftrightarrow x + 1 + 7 - x + 3\sqrt[3]{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {7 - x} \right]}}\left[ {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}}} \right] = 8\]

Mà \[\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{7 - x}} = 2\] nên ta có phương trình

\[3\sqrt[3]{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {7 - x} \right]}}. 2 + 8 = 8 \Leftrightarrow 6\sqrt[3]{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {7 - x} \right]}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {7 - x} \right]}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {7 - x} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\7 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 7\end{array} \right.\]

Tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { - 1;7} \right\}\].

Câu 9 :

Chọn khẳng định đúng. Góc ở tâm là góc

• A Có đỉnh nằm trên đường tròn
• B Có đỉnh trùng với tâm đường tròn
• C Có hai cạnh là hai đường kính của đường tròn
• D Có đỉnh nằm trên bán kính của đường tròn

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Câu 10 :

Hàm số \[y = \dfrac{{3m}}{{1 - 2m}}x - 5\] là hàm số bậc nhất khi:

• A \[m \notin \left\{ {0;\dfrac{1}{2}} \right\}\]
• B \[m > 0\]
• C \[m \ne 0\]
• D \[m \ne \dfrac{1}{2}\]

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số dạng \[y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\]

Lời giải chi tiết :

Hàm số \[y = \dfrac{{3m}}{{1 - 2m}}x - 5\] là hàm số bậc nhất khi \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3m}}{{1 - 2m}} \ne 0\\1 - 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m \ne 0\\2m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\]

Câu 11 :

Cho hàm số \[y = f\left[ x \right] = \dfrac{1}{2}{x^2}\] . Tổng các giá trị của \[a\] thỏa mãn \[f\left[ a \right] = 3 + \sqrt 5 \] là

• A \[1\]
• B \[2\sqrt 5 \]
• C \[0\]
• D \[ - 2\]

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giá trị của hàm số \[y = a{x^2}\left[ {a \ne 0} \right]\] tại điểm \[x = {x_0}\] là \[{y_0} = a{x_o}^2\].

Lời giải chi tiết :

Ta có \[f\left[ a \right] = 3 + \sqrt 5 \]\[ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{a^2} = 3 + \sqrt 5 \]\[ \Leftrightarrow {a^2} = 6 + 2\sqrt 5 \]\[ \Leftrightarrow {a^2} =5+2\sqrt 5.1+1\]\[\Leftrightarrow {a^2} =[\sqrt 5]^2+2\sqrt 5.1+1^2\]\[ \Leftrightarrow {a^2} = {\left[ {\sqrt 5 + 1} \right]^2}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \sqrt 5 + 1\\a = - \sqrt 5 - 1\end{array} \right.\]

Vậy tổng các giá trị của \[a\] là \[\left[ {\sqrt 5 + 1} \right] + \left[ { - \sqrt 5 - 1} \right] = 0\]

Câu 12 :

Viết phương trình đường thẳng \[d\] biết \[d\] tạo với đường thẳng \[y = 2\] [theo chiều dương] một góc bằng \[135^\circ \] và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[4\].

• A \[y = x - 4\]
• B \[y = - x - 4\]
• C \[y = x + 4\]
• D \[y = - x + 4\]

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Gọi phương trình đường thẳng \[d:y = ax + b\] \[\left[ {a \ne 0} \right]\]

Xác định hệ số \[a\] dựa vào góc tạo bởi đường thẳng \[d\] với đường thẳng cho trước tìm \[b\] dựa vào giao điểm với trục tung.

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường thẳng \[d:y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\]

Vì góc tạo bởi đường thẳng \[d\] và đường thẳng \[y = 2\] là \[135^\circ \] nên góc tạo bởi đường thẳng \[d\] và trục \[Ox\] cũng là \[135^\circ \][do đường thẳng \[y = 1\] song song với trục \[Ox\]] nên \[a = \tan 135^\circ = - 1\]

\[ \Rightarrow y = - x + b\]

Vì đường thẳng \[d\] cắt trục tung tại điểm có tung độ \[4\] nên \[b = 4\].

Từ đó \[d:y = - x + 4\].

Câu 13 :

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến với mọi \[x \in R?\]

• A \[y = {\rm{\;}} - 2x + 4.\]
• B \[y = \sqrt 3 x - 2.\]
• C \[y = {\rm{\;}} - \left[ {\frac{7}{2} + 2x} \right].\]
• D \[y = \frac{{1 - x}}{3}\]

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Xét các đáp án ta thấy hàm số \[y = \sqrt 3 x - 2.\] có hệ số \[a = \sqrt 3 {\rm{\;}} > 0\] . Nên hàm số này đồng biến với mọi \[x \in R.\]

Câu 14 :

Phép tính \[\sqrt {{{12}^2}.{{\left[ { - 11} \right]}^2}} \] có kết quả là?

• A \[ - 33\]
• B \[ - 132\]
• C \[132\]
• D Không tồn tại.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \[a,b\] không âm, ta có \[\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} \]

- Sử dụng hằng đẳng thức: \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]

Lời giải chi tiết :

\[\sqrt {{{12}^2}.{{\left[ { - 11} \right]}^2}} = \sqrt {{{12}^2}} .\sqrt {{{\left[ { - 11} \right]}^2}} = \left| {12} \right|.\left| { - 11} \right| = 12.11 = 132\].

Câu 15 :

Cho hai số tự nhiên biết rằng số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \[3\] và hiệu các bình phương của chúng bằng \[360\] . Tìm số bé hơn.

• A \[12\]
• B \[10\]
• C \[21\]
• D \[9\]

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Gọi số thứ nhất là \[a;a \in {\mathbb{N}*}\] ; số thứ hai là \[b;b \in {\mathbb{N}*}\]

Giả sử \[a > b.\]

Vì số thứ nhất lớn hơn hai lần số thứ hai là \[3\] nên ta có \[a - 2b = 3 \Rightarrow \]\[a = 2b + 3\]

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng \[360\] nên ta có phương trình: \[{a^2} - {b^2} = 360\,\,\left[ * \right]\]

Thay \[a = 2b + 3\] vào [*] ta được \[{\left[ {2b + 3} \right]^2} - {b^2} = 360 \Leftrightarrow 3{b^2} + 12b - 351 = 0\]

Ta có \[\Delta ' = 1089 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 33\] nên \[b = \dfrac{{ - 6 + 33}}{3} = 9\left[ {tm} \right]\] hoặc \[b = \dfrac{{ - 6 - 33}}{3} = - 13\left[ {ktm} \right]\]

Với \[b = 9 \Rightarrow a = 2.9 + 3 = 21\]

Vậy số bé hơn là \[9\] .

Câu 16 :

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AC = 7\,cm,AB = \,5cm\]. Tính $BC;\widehat C$ .

• A $BC = \sqrt {74} [cm];\widehat C \approx 35^\circ 32'$
• B $BC = \sqrt {74} [cm];\widehat C \approx 36^\circ 32'$
• C $BC = \sqrt {74} [cm] ;\widehat C \approx 35^\circ 33'$
• D $BC = \sqrt {75} [cm] ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+] Tính cạnh còn lại theo định lý Py-ta-go

+] Tìm tỉ số lượng giác của góc từ đó suy ra góc.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có

+] $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74 \Rightarrow BC = \sqrt {74} [cm]$

+] $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 35^\circ 32'$

Vậy $BC = \sqrt {74}[cm] ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$.

Câu 17 :

Tính thể tích V của hình cầu có bán kính \[R = 3\left[ {cm} \right].\]

• A \[V = 108\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]
• B \[V = 9\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]
• C \[V = 72\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]
• D \[V = 36\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu ta có: \[V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {.3^3} = 36\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]

Câu 18 :

Cho tam giác \[ABC\] có các đường cao \[BD,CE\] . Chọn khẳng định đúng.

• A Bốn điểm \[B,E,D,C\] cùng nằm trên một đường tròn
• B Năm điểm \[A,B,E,D,C\] cùng nằm trên một đường tròn
• C Cả A, B đều sai
• D Cả A, B đều đúng

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng: Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải chi tiết :

Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC\].

Xét tam giác \[BEC\] vuông tại \[E\] có \[EI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\] [vì \[EI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền]

Xét tam giác \[BDC\] vuông tại \[D\] có \[DI = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\] [vì \[DI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền]

Từ đó ta có \[ID = IE = IB = IC = \dfrac{{BC}}{2}\] nên bốn điểm \[B,E,D,C\] cùng nằm trên một đường tròn có bán kính \[R = \dfrac{{BC}}{2}\].

Ta thấy \[IA > ID\] nên điểm \[A\] không thuộc đường tròn trên.

Câu 19 :

Phương trình \[{[2x + 1]^4}-8{[2x + 1]^2}-9 = 0\] có tổng các nghiệm là

• A \[1\]
• B \[ - 2\]
• C \[ - 1\]
• D \[2\sqrt 2 \]

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải phương trình trùng phương bằng cách đặt \[{\left[ {2x + 1} \right]^2} = t\,\left[ {t \ge 0} \right]\]

Đưa về giải phương trình bậc hai ẩn \[t\] , so sánh điều kiện \[t \ge 0\] rồi thay lại cách đặt để tìm \[x\].

Lời giải chi tiết :

Đặt \[{\left[ {2x + 1} \right]^2} = t\,\left[ {t \ge 0} \right]\] ta được phương trình \[{t^2} - 8t - 9 = 0\] [*]

Ta có \[a - b + c = 1 - \left[ { - 8} \right] + \left[ { - 9} \right] = 0\] nên phương trình [*] có hai nghiệm \[{t_1} = 9\left[ {tm} \right];{t_2} = -1\left[ {ktm} \right]\]

Thay lại cách đặt ta có \[{\left[ {2x + 1} \right]^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 3\\2x + 1 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\]

Suy ra tổng các nghiệm là \[1 + \left[ { - 2} \right] = - 1\].

Câu 20 :

Cho parabol\[[P]:y = 5{x^2}\] và đường thẳng \[[d]:y = - 4x - 4\]. Số giao điểm của đường thẳng \[d\] và parabol \[\left[ P \right]\] là:

• A \[1\]
• B \[0\]
• C \[3\]
• D \[2\]

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho parabol \[[P]:y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}[a \ne 0]\] và đường thẳng \[d:y = mx + n\]. Để tìm tọa độ giao điểm [nếu có] của \[[d]\] và \[[P]\], ta làm như sau:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[[d]\] và \[[P]\] :\[{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} = mx + n\]

Bước 2. Giải phương trình [*] ta tìm được nghiệm [nếu có]. Từ đó suy ra số giao điểm của parabol và đường thẳng

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \[\left[ P \right]\] và đường thẳng \[[d]:\]

\[5{x^2} = - 4x - 4 \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x + 4 = 0 \\\Leftrightarrow {x^2} + 4{x^2} + 4x + 4 = 0 \\\Leftrightarrow {x^2} + {\left[ {x + 2} \right]^2} = 0\,\,\left[ * \right]\]

Xét \[{x^2} + {\left[ {x + 2} \right]^2} \ge 0;\forall x\] và dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\] [vô lý] nên \[{x^2} + {\left[ {x + 2} \right]^2} > 0;\forall x\]

Hay phương trình [*] vô nghiệm.

Vậy không có giao điểm của đường thẳng \[[d]\] và parabol \[\left[ P \right]\].

Câu 21 :

Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \[x \le 0?\]

• A \[\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = 3x\]
• B \[\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 3x\]
• C \[\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = 9x\]
• D \[\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 9x\]

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có: \[\sqrt {9{x^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {{{\left[ {3x} \right]}^2}} {\rm{\;}} = \left| {3x} \right| = {\rm{\;}} - 3x{\mkern 1mu} \left[ {Do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x < 0} \right]\]

Câu 22 :

Đồ thị hàm số \[y = 5x - \dfrac{2}{5}\] đi qua điểm nào dưới đây?

• A \[A\left[ {1;\dfrac{{22}}{5}} \right]\]
• B \[B\left[ {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right]\]
• C \[C\left[ { - \dfrac{2}{{25}}; - \dfrac{3}{5}} \right]\]
• D \[D\left[ {2;10} \right]\]

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số \[y = ax + b[a \ne 0]\] đi qua điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] khi và chỉ khi \[{y_0} = a{x_0} + b\].

Lời giải chi tiết :

Thay tọa độ từng điểm vào hàm số ta được

+] Với \[A\left[ {1;\dfrac{{22}}{5}} \right]\]. Thay \[x = 1;y = \dfrac{{22}}{5}\] vào \[y = 5x - \dfrac{2}{5}\] ta được \[5.1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{{22}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{23}}{5} = \dfrac{{22}}{5}\] [Vô lý]

+] Với \[B\left[ {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right]\]. Thay \[x = \dfrac{1}{5};y = \dfrac{3}{5}\] vào \[y = 5x - \dfrac{2}{5}\] ta được \[5.\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5} = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\] [Luôn đúng]

+] Với \[C\left[ { - \dfrac{2}{{25}}; - \dfrac{3}{5}} \right]\]. Thay \[x = - \dfrac{2}{{25}};y = - \dfrac{3}{5}\] vào \[y = 5x - \dfrac{2}{5}\] ta được \[5.\dfrac{{ - 2}}{{25}} - \dfrac{2}{5} = - \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow - \dfrac{4}{5} = - \dfrac{3}{5}\] [Vô lý]

+]Với \[D\left[ {2;10} \right]\]. Thay \[x = 2;y = 10\] vào \[y = 5x - \dfrac{2}{5}\] ta được \[5.2 - \dfrac{2}{5} = 10 \Leftrightarrow \dfrac{{48}}{5} = 10\] [Vô lý]

\[ \Rightarrow B\left[ {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5}} \right]\] thuộc đồ thị hàm số \[y = 5x - \dfrac{2}{5}\].

Câu 23 :

Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích diện tích toàn phần của hình lập phương là \[24c{m^2}\] thì diện tích mặt cầu là:

• A \[4\pi \]
• B \[4\]
• C \[2\pi \]
• D \[2\]

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2}\] và diện tích toàn phần của hình lập phương \[{S_{tp}} = 6{a^2}\] với \[a\] là độ dài cạnh của hình lập phương.

Lời giải chi tiết :

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu \[R = \dfrac{a}{2}\] với \[a\] là cạnh hình lập phương.

Diện tích toàn phần của hình lập phương \[{S_{tp}} = 6{a^2} = 24 \Leftrightarrow a = 2cm\]

Suy ra \[R = \dfrac{2}{2} = 1cm\]

Khi đó ta có diện tích mặt cầu \[S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.1^2} = 4\pi \left[ {c{m^2}} \right]\]

Câu 24 :

Phương trình \[\sqrt {{x^2} - 2x + 10} + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31} = 8\] có nghiệm là

• A Số lẻ dương
• B Số chẵn dương
• C Số lẻ âm
• D Số vô tỉ

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \[\sqrt {{x^2} - 2x + 10} + \sqrt {6{x^2} - 12x + 31} = 8\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 9} + \sqrt {6{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 25} = 8\]

Nhận thấy \[\sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 9} \ge 3;\sqrt {6{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 25} \ge 5\] nên \[\sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 9} + \sqrt {6{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 25} \ge 3 + 5\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 9} + \sqrt {6{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 25} \ge 8\]

Dấu “=” xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 9} = 3\\\sqrt {6{{\left[ {x - 1} \right]}^2} + 25} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = 1\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[x = 1.\]

Câu 25 :

Đồ thị ở hình bên là đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau:

• A \[y = {\rm{\;}} - 2{x^2}\]
• B \[y = {\rm{\;}} - \frac{1}{4}{x^2}\]
• C \[y = {\rm{\;}} - 4{x^2}\]
• D \[y = {\rm{\;}} - \frac{1}{2}{x^2}\]

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Giả sử hàm số có dạng: \[y = a{x^2}\] . Ta có điểm \[\left[ {2; - 2} \right]\] thuộc đồ thị đã cho nên: \[ - 2 = a{.2^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 1}}{2}\]

Vậy hàm số cần tìm là: \[y = {\rm{\;}} - \frac{1}{2}{x^2}\]

Câu 26 :

Một cột đèn điện \[AB\] cao \[7m\] có bóng in trên mặt đất là \[AC\] dài \[4m.\] Hãy tính góc \[\widehat {BCA}\] [làm tròn đến phút] mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

• A \[59^\circ 45'\]
• B \[62^\circ \]
• C \[61^\circ 15'\]
• D \[60^\circ 15'\]

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn từ đó suy ra góc.

Lời giải chi tiết :

Ta có \[\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{7}{4} \Rightarrow \widehat C \simeq 60^\circ 15'\]

Câu 27 :

Hộp sữa ông Thọ có dạng hình trụ [đã bỏ nắp] có chiều cao \[h = 10cm\] và đường kính đáy là \[d= 6cm\] . Tính diện tích toàn phần của hộp sữa. Lấy \[\pi \backsimeq 3,14\]

• A \[110\pi \,\left[ {c{m^2}} \right]\]
• B \[129\pi \,\left[ {c{m^2}} \right]\]
• C \[96\pi \,\left[ {c{m^2}} \right]\]
• D \[69\pi \,\left[ {c{m^2}} \right]\]

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh\] và diện tích một đáy

Lời giải chi tiết :

Bán kính đường tròn đáy \[R = \dfrac{6}{2} = 3\,cm\] nên diện tích một đáy là \[S_đ=\pi.R^2=9\pi\,[cm^2]\]

Ta có diện tích xung quanh của hình trụ \[{S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi .3.10 = 60\pi \,c{m^2}\]

Vì hộp sữa đã mất nắp nên diện tích toàn phần của hộp sữa là \[{S_{tp}} = 9\pi + 60\pi = 69\pi \,\left[ {c{m^2}} \right]\]

Câu 28 :

Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều như nhau. Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế [biết số dãy ghế ít hơn 20].

• A 14 dãy
• B 15 dãy
• C 16 dãy
• D 17 dãy

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.

+ Lập phương trình - giải phương trình.

+ Chọn kết quả và trả lời.

Lời giải chi tiết :

Gọi số dãy ghế là x \[[x \in N*]\] [dãy]

Số ghế ở mỗi dãy là: \[\dfrac{{360}}{x}\] [ghế]

Số dãy ghế lúc sau là: \[x + 1\] [dãy]

Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là: \[\dfrac{{360}}{x} + 1\] [ghế]

Vì sau khi tăng số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế nên ta có phương trình:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,[x + 1]\left[ {\dfrac{{360}}{x} + 1} \right] = 400\\ \Leftrightarrow [x + 1]\left[ {\dfrac{{360 + x}}{x}} \right] = 400\\ \Leftrightarrow [x + 1][360 + x] = 400x\\ \Leftrightarrow 360x + {x^2} + 360 + x = 400x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 39x + 360 = 0\\\Delta = {[ - 39]^2} - 4.1.360 = 81 > 0\end{array}\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \[\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{39 + \sqrt {81} }}{2} = 24\,\,\,\,[ktm]\\{x_2} = \dfrac{{39 - \sqrt {81} }}{2} = 15\,\,\,\,[tm]\end{array} \right.\]

Vậy số dãy ghế là 15 [dãy].

Câu 29 :

Thu gọn $\sqrt[3]{{125{a^3}}}$ ta được

• A $25a$
• B $5a$
• C $ - 25{a^3}$
• D $ - 5a$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt[3]{{125{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left[ {5a} \right]}^3}}} = 5a$

Câu 30 :

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh \[\cot 50^\circ \] và \[\cot 46^\circ \]

• A \[\cot 46^\circ = \cot 50^\circ \]
• B \[\cot 46^\circ > \cot 50^\circ \]
• C \[\cot 46^\circ < \cot 50^\circ \]
• D \[\cot 46^\circ \ge \cot 50^\circ \]

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng nhận xét : Với góc nhọn \[\alpha ,\,\beta ,\] ta có: \[\alpha < \beta \Leftrightarrow \cot \alpha > \cot \beta \]

Lời giải chi tiết :

Vì \[46^\circ < 50^\circ \Leftrightarrow \cot 46^\circ > \cot 50^\circ \].

Câu 31 :

Cho đường thẳng \[d\]:\[y = \dfrac{1}{3}x - 10\]. Hệ số góc của đường thẳng \[d\] là

• A \[3\]
• B \[\dfrac{1}{3}\]
• C \[ - \dfrac{1}{3}\]
• D \[ - 3\]

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết về hệ số góc của đường thẳng.

Đường thẳng \[d\] có phương trình \[y = ax + b\,\left[ {a \ne 0} \right]\]có \[a\] là hệ số góc.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng \[d\]:\[y = \dfrac{1}{3}x - 10\] có hệ số góc là \[a = \dfrac{1}{3}\].

Câu 32 :

Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai \[2\] giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau \[7,5\] giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau \[20\] giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?

• A \[9\] giờ
• B \[12\] giờ
• C \[10\] giờ
• D \[8\] giờ

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là \[x\] [giờ], \[\left[ {x > 2} \right]\].

Trong một giờ:

-Vòi thứ nhất chảy được \[\dfrac{1}{x}\] [ bể].

- Vòi thứ hai chảy được \[\dfrac{1}{{x - 2}}\] [ bể].

- Vì vòi thứ ba chảy ra trong 7,5 giờ thì cạn bề nên trong 1h vòi thứ ba chảy được \[\dfrac{2}{{15}}\] [ bể].

Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình \[\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{2}{{15}} = \dfrac{1}{{20}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{11}}{{60}}\] \[ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2 + x}}{{x\left[ {x - 2} \right]}} = \dfrac{{11}}{{60}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x}} = \dfrac{{11}}{{60}}\]

\[ \Rightarrow 120x - 120 = 11{x^2} - 22x\] \[ \Leftrightarrow 11{x^2} - 142x + 120 = 0\] có \[\Delta ' = 3721 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 61\] nên phương trình có hai nghiệm \[\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{71 - 61}}{{11}} = \dfrac{{10}}{{11}}\left[ {ktm} \right]\\x = \dfrac{{71 + 61}}{{11}} = 12\left[ {tm} \right]\end{array} \right.\]

Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau \[10\] giờ bể đầy nước.

Câu 33 :

Phát biểu nào sau đây đúng nhất

• A Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp
• B Mỗi tứ giác luôn có một đường tròn nội tiếp
• C Cả A và B đều đúng
• D Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác đó

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Mỗi tam giác luôn có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp ⇒ Câu A đúng

Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn nội tiếp ⇒ Câu B sai

Đường tròn tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác không phải lúc nào cũng là đường tròn nội tiếp tam giác [mà có thể là đường tròn bàng tiếp] ⇒ Câu D sai

Câu 34 :

Tính \[x\] trong hình vẽ sau:

• A \[x = 14\]
• B \[x = 13\]
• C \[x = 12\]
• D \[x = \sqrt {145} \]

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính \[x\] theo hệ thức lượng \[\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\]

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

\[\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\]\[ \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{15.20}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} }} = 12\]

Vậy \[x = 12\].

Câu 35 :

Cho hai hàm số \[f\left[ x \right] = 6{x^4}\] và \[h\left[ x \right] = 7 - \dfrac{{3.x}}{2}\]. So sánh \[f\left[ { - 1} \right]\] và \[h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]\]

• A \[f\left[ { - 1} \right] = h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]\]
• B \[f\left[ { - 1} \right] > h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]\]
• C \[f\left[ { - 1} \right] < h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]\]
• D Không đủ điều kiện so sánh

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng cách tính giá trị hàm số tại một điểm

Để tính giá trị \[{y_0}\] của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại điểm \[{x_0}\] ta thay \[x = {x_0}\] vào \[f\left[ x \right]\], ta được \[{y_0} = f\left[ {{x_0}} \right]\].

So sánh các giá trị tìm được

Lời giải chi tiết :

Thay \[x = - 1\] vào hàm số \[f\left[ x \right] = 6{x^4}\] ta được \[f\left[ { - 1} \right] = 6.{\left[ { - 1} \right]^4} = 6\].

Thay \[x = \dfrac{2}{3}\] vào hàm số \[h\left[ x \right] = 7 - \dfrac{{3x}}{2}\] ta được \[h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right] = 7 - \dfrac{{3.\dfrac{2}{3}}}{2} = 6\].

Nên \[f\left[ { - 1} \right] = h\left[ {\dfrac{2}{3}} \right]\].

Câu 36 :

Tìm \[m\] để hai phương trình \[{x^2} + mx + 2 = 0\] và \[{x^2} + 2x + m = 0\] có ít nhất một nghiệm chung.

• A \[1\]
• B \[ - 3\]
• C \[ - 1\]
• D \[3\]

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hai phương trình có nghiệm chung thì nghiệm chung đó phải thoả mãn cả hai phương trình

Lời giải chi tiết :

Gọi \[{x_0}\] là nghiệm chung của hai phương trình thì \[{x_0}\] phải thỏa mãn hai phương trình trên.

Thay \[x = {x_0}\] vào hai phương trình trên ta được \[\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\\{x_0}^2 + 2{x_0} + m = 0\end{array} \right. \] \[\Rightarrow [m - 2]{x_0} + 2 - m = 0\] \[\Leftrightarrow [m - 2][x_0-1]= 0\]

+] Nếu \[m = 2\] thì \[0 = 0\] [luôn đúng] hay hai phương trình trùng nhau.

Lúc này phương trình \[{x^2} + 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {x + 1} \right]^2} = - 1\] vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.

Vậy \[m = 2\] không thỏa mãn.

+] Nếu \[m \ne 2\] thì \[{x_0} = 1\].

Thay \[{x_0} = 1\] vào phương trình \[{x_0}^2 + m{x_0} + 2 = 0\] ta được \[1 + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\].

Vậy \[m = - 3\] thì hai phương trình có nghiệm chung.

Câu 37 :

Tìm cặp giá trị \[[m;n]\] để hai hệ phương trình sau tương đương \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 3\\x + \dfrac{1}{3}y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.[I]\] và

$\left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} - ny = 1\\3mx + my = 1\end{array} \right.[II]$

• A \[\left[ {1;\dfrac{1}{2}} \right]\]
• B \[\left[ 1;-1 \right]\]
• C \[[ - 1;1]\]
• D \[\left[ {\dfrac{1}{2}; - 1} \right]\]

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình [I] sau đó thay nghiệm tìm được vào hệ phương trình [II] để tìm \[m.\]

Lời giải chi tiết :

Giải hệ phương trình [I] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 3\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y - \left[ {3x + y} \right] = 3 - 1\\3x + y = 1\end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{l}2y = 2\\3x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\3x + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 0\end{array} \right.\]

Hai phương trình tương đương \[ \Leftrightarrow \] hai phương trình có cùng tập nghiệm hay [0; 1] cũng là nghiệm của phương trình [II].

Thay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\] vào hệ phương trình [II] ta được \[\left\{ \begin{array}{l}0 - n.1 = 1\\0 + m.1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 1\\m = 1\end{array} \right.\]

Vậy \[n = - 1;m =1\].

Câu 38 :

Rút gọn biểu thức sau \[\sqrt {{{\left[ {5 - \sqrt {11} } \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {3 - \sqrt {11} } \right]}^2}} \].

• A \[2 + 2\sqrt {11} \]
• B \[8\]
• C \[2\]
• D \[2\sqrt {11} \]

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức \[\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\]

+ So sánh hai căn bậc hai \[\sqrt A > \sqrt B \Leftrightarrow A > B\] với \[A,B\] không âm để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \[\sqrt {{{\left[ {5 - \sqrt {11} } \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {3 - \sqrt {11} } \right]}^2}} = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {3 - \sqrt {11} } \right|\]

Mà

+] \[5 = \sqrt {25} > \sqrt {11} \Rightarrow 5 - \sqrt {11} > 0 \Leftrightarrow \left| {5 - \sqrt {11} } \right| = 5 - \sqrt {11} \]

+] \[3 = \sqrt 9 < \sqrt {11} \Rightarrow 3 - \sqrt {11} < 0 \Leftrightarrow \left| {3 - \sqrt {11} } \right| = \sqrt {11} - 3\]

Nên \[\sqrt {{{\left[ {5 - \sqrt {11} } \right]}^2}} + \sqrt {{{\left[ {\sqrt {11} - 3} \right]}^2}} = \left| {5 - \sqrt {11} } \right| + \left| {\sqrt {11} - 3} \right|\]\[ = 5 - \sqrt {11} + \sqrt {11} - 3 = 2\].

Câu 39 :

Đưa thừa số \[5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \] [\[x < 0\]] vào trong dấu căn ta được:

• A \[\sqrt {\dfrac{{300}}{x}} \]
• B \[\sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \]
• C \[ - \sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \]
• D \[ - \sqrt {\dfrac{{ - 60}}{x}} \]

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+] \[A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} \] với \[A \ge 0\] và \[B \ge 0\]

+] \[A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} \] với \[A < 0\] và \[B \ge 0\]

Lời giải chi tiết :

Ta có: \[5x\sqrt {\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} \]\[ = - \sqrt {{{\left[ {5x} \right]}^2}.\dfrac{{ - 12}}{{{x^3}}}} = \sqrt {25{x^2}\left[ {\dfrac{{ - 12}}{x^3}} \right]} = - \sqrt {\dfrac{{ - 300}}{x}} \].

Câu 40 :

Cho đường tròn [O] và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB [D thuộc cung nhỏ AB]. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt các đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn [O] tại N cắt các đường thẳng AB tại I. Chọn đáp án đúng.

• A Các tam giác $FNI,{\rm{ }}INE$ cân
• B $\widehat {IEN} = 2\widehat {NDC}$
• C $\widehat {DNI} = 3\widehat {DCN}$
• D Tất cả các câu đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+] Nhận biết được góc có đỉnh nằm trong, ngoài đường tròn, góc nội tiếp

+] Tính được số đo góc nằm trong, ngoài đường tròn theo cung bị chắn

+] Nắm vững mối quan hệ góc nội tiếp và số đo cung bị chắn, mối uan hệ giữa số đo cung và dây cung

Lời giải chi tiết :

Ta có tam giác AOB cân tại O nên dễ dàng chỉ ra được $sđ\overparen{AD} = sđ\overparen{DB}$

$\begin{array}{l}\widehat {IFN} = \dfrac{1}{2}\left[ {sđ\overparen{BN} + sđ\overparen{AD}} \right] \\= \dfrac{1}{2}\left[ {sđ\overparen{BN} + sđ\overparen{BD}} \right]\\ = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DN} = \widehat {INF}\end{array}$

Suy ra tam giác FIN cân tại I

Ta có:

$\begin{array}{l}{\widehat N_1} + \widehat {{N_3}} = {90^0} \Rightarrow {\widehat N_1} + \widehat {{C_4}} = {90^0}\\\widehat {{E_1}} = \dfrac{1}{2}\left[ {sđ\overparen{AC} - sđ\overparen{BN}} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {sđ\overparen{BC} - sđ\overparen{CN}} \right] = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{NC}\\ \Rightarrow \widehat {{C_4}} + \widehat {{E_1}} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DN} + \dfrac{1}{2}sđ\overparen{NC} \\= \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{N_1}}\end{array}$