Đề thi hsg toán 10 có đáp án năm 2024
Sáng nay 15/3/2023 tại tất cả các cụm trường THPT ở Hà Nội đã diễn ra kì thi học sinh giỏi cụm. Năm nay là năm đầu tiên lớp 10 học theo chương trình mới, nhiều trường học nhiều bộ sách khác nhau và năm nay cũng là năm đầu tiên kì thi cấp cụm mà các cụm trường THPT lại thi cùng 1 đề như này. Chính vì thế mà đề thi lớp 10 năm nay có nhiều thay đổi so với trước rất nhiều - đây là bỡ ngỡ và khó định hướng khi ôn luyện bồi dưỡng đội tuyển, với lớp 11 vẫn giữ ổn định như mọi năm. Sau đây chúng tôi xin giới thiệu thầy cô và các em học sinh để thi và đáp án môn toán lớp 10 kì thi học sinh giỏi năm học 2022-2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho Parabol $(P): y=x^2-2 x-1$.
Bài 2 (3,0 điểm) Một trang trại cần thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Cửa hàng cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và 10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi trang trại phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất? Bài 3 (6,0 điểm)
Bài 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ${A B C}$ có $A C=2 A B, A B=\sqrt{3}, \widehat{B A C}=60^{\circ}, A D$ là đường phân giác trong của góc $\widehat{B A C}$. Lấy điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}$, đường thẳng ${B I}$ cắt ${A C}$ tại $M$.
Bài 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $\mathrm{O} x y$, cho hình chữ nhật ${A B C D}$ có diện tích bằng 12 , $B D=\sqrt{26}$ và điểm $A(2 ;-1)$. Biết điểm $C$ có hoành độ dương và nằm trên đường thẳng $d: x-y+1=0$.
Hướng dẫn giải:Bài 2. Gọi ${x, y}$ lần lượt là số xe lớn và số xe nhỏ cần phài thuê. Điều kiện: $0 Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám nên số lợn và cám xe lớn chở được là 50${x}$ con lợn và 5${x}$ tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám nên số lợn và cám xe nhỏ chở được là 30${ y}$ con lợn và $y$ tấn cám. Xe chở hết 450 con lợn và 35 tấn cám nên ta có hệ bất phương trình sau $\left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 12 \\0 \leq y \leq 10 \\50 x+30 y \geq 450 \\5 x+y \geq 35\end{array}\right.$ Tổng giá tiền thuê xe là $T=4 x+2 y$ triệu đồng. Vẽ xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là hình ngũ giác ${A B C D E}$ với $A(6;5),\,\,B(9;0)$, $C(12 ; 0), D(12,10), E(5 ; 10)$ $D(12,10),$ $E(5;10)$. Khi đó $T(A)=34;\,\,T(B)=36;\,\,T(C)=48;\,\,T(D)=68;\,\,T(E)=40$. Vậy trang trại phải thuê 6 chiếc xe lớn và 5 chiếc xe nhỏ để chi phí thuê xe là ít nhất. Bài 3.
Đặt $\sqrt{x+1}=a\ge 0;$ $\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=b>0$. Có $10ab=3\left( {{a}{2}}+{{b}{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=3b \\ b=3a \\ \end{array} \right.$. Có tiếp $\left[ \begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{x+1}=3\sqrt{{{x}{2}}-x+1} \\\sqrt{{{x}{2}}-x+1}=3\sqrt{x+1} \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 9{{x}{2}}-10x+8=0 \\ {{x}{2}}-10x-8=0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}$. Kết luận: . . .
$=2\left[ \left( {{\cos }{2}}{{1}{{}\circ }}+{{\cos }{2}}{{89}{{}\circ }} \right)+\left( {{\cos }{2}}{{2}{{}\circ }}+{{\cos }{2}}{{88}{{}\circ }} \right)+\cdots +\left( {{\cos }{2}}{{44}{{}\circ }}+{{\cos }{2}}{{46}{{}\circ }} \right) \right.\left. +{{\cos }{2}}{{45}{{}^\circ }} \right]+0+1$$=2\left(44+\frac{1}{2}\right)+1=90.$ Bài này đã sử dụng các công thức: $\cos \left( {{180}{{}\circ }}-\alpha \right)=-\cos \alpha$, $\cos \left( {{90}{{}\circ }}-\alpha \right)=\sin \alpha$, ${{\sin }{2}}\alpha +{{\cos }{2}}\alpha =1.$ Bài 4.
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$ $=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right)$ $=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
${{\overrightarrow{AD}}{2}}=\frac{4}{9}{{\overrightarrow{AB}}{2}}+\frac{1}{9}{{\overrightarrow{AC}}{2}}+2\cdot \frac{2}{9}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ $=\frac{4}{9}\cdot A{{B}{2}}+\frac{1}{9}A{{C}^{2}}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{CC}|\cdot \cos \left( \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \right)=4$ $\Rightarrow AD=2$.
$\overrightarrow{A I}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}=\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}\right)=\frac{4}{9} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{9} \overrightarrow{A C}$ $=\frac{2}{3}\left( \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \right)$ $=\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$ ${B, M, I}$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{A M}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A I}$ với $x+y=1$. Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=\frac{2y}{9} \\ x+\frac{4y}{9}=0 \\ x+y=1 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=\frac{9}{5} \\ x=\frac{-4}{5} \\ k=\frac{2}{5} \\\end{array} \right.$. Suy ra $\frac{AM}{AC}=\frac{2}{5}$. $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 5\overrightarrow{BM}=-5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}=-\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$ $\Leftrightarrow 9\overrightarrow{BI}=-5\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$ $\Rightarrow 9\overrightarrow{BI}=5\overrightarrow{BM}$ $\Rightarrow \frac{BI}{BM}=\frac{5}{9}$. Suy ra $P=\frac{AM}{AC}+\frac{BI}{BM}=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{43}{45}.$ Bài 5.
$A{{C}{2}}=B{{D}{2}}=26$ $\Leftrightarrow {{(c-2)}{2}}+{{(c+1+1)}{2}}=26$ $.\,.\,.\,\,\Rightarrow C(3;4)$.
Có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}+B{{C}{2}}=B{{D}{2}} \\ AB\cdot BC={{S}_{ABCD}} \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}+B{{C}{2}}=26 \\ AB.BC=12 \\\end{array} \right.$ giải ra $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}=8 \\ B{{C}{2}}=18 \\\end{array} \right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}=18 \\ B{{C}^{2}}=8 \\\end{array} \right.$. Gọi $B(x ; y)$ với $x>4$. Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}=8 \\ B{{C}{2}}=18 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(x-2)}{2}}+{{(y+1)}{2}}=8 \\ & {{(x-3)}{2}}+{{(y-4)}{2}}=18 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}{2}}+{{y}{2}}-4x+2y=3 \\ {{x}{2}}+{{y}{2}}-6x-8y=-7 \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=5-5y \\ {{x}{2}}+{{y}{2}}-4x+2y=3 \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp. Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} A{{B}{2}}=18 \\ B{{C}{2}}=8 \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(x-2)}{2}}+{{(y+1)}{2}}=18 \\ & {{(x-3)}{2}}+{{(y-4)}{2}}=8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}{2}}+{{y}{2}}-4x+2y=13 \\ {{x}{2}}+{{y}{2}}-6x-8y=-17 \\ \end{array} \right.\text{ }$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=15-5y \\ {{x}{2}}+{{y}{2}}-4x+2y=13 \\ \end{array} \right.$ và giải tiếp. Kết luận: . . . Cách 2: Gọi $B(a,b)\,\,\,(a>4)$ Vì ${A B C D}$ là hình chữ nhật nên suy ra $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \Rightarrow(a-3)(a-2)+(b-4)(b+1)=0(1)$ Ta có $S_{A B C D}=A C \cdot d(B, A C)=12 \Leftrightarrow d(B, A C)=\frac{12}{\sqrt{26}} \Leftrightarrow \frac{|5 a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$ $\Leftrightarrow d(B,AC)=\frac{12}{\sqrt{26}}\Leftrightarrow \frac{|5a-b-11|}{\sqrt{26}}=\frac{12}{\sqrt{26}}$ $\Leftrightarrow|5 a-b-11|=12 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}5 {a}-b=23 \\5 {a}-b=-1\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 5{a}-b=23 \\ 5{a}-b=-1 \\\end{array} \right.$. Trường hợp 1: $5 {a}-b=-1 \Rightarrow b=5 {a}+1$ thay vào $(1)$ ta có $(a-3)(a-2)+(5a+1-4)(5{a}+1+1)=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-10{a}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=0(l) \\ a=\frac{5}{13}(l) \\ \end{array} \right.$ Trường hợp 2: $5 {a}-b=23 \Rightarrow b=5 {a}-23$ thay vào (1) ta có $(a-3)(a-2)+(5a-23-4)(5{a}-23+1)=0$ $\Leftrightarrow 26{{{a}}^{2}}-250{a}+600=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} a=5\Rightarrow b=2 \\ a=\frac{60}{13}\Rightarrow b=\frac{1}{13} \\ \end{array} \right.$. |