Đề bài
Tính thể tích của một hình chóp tam giác đều, biết chiều cao của hình chóp là 8 cm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy bằng 12 cm.
Lời giải chi tiết
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC đều
=> I là trọng tâm, trực tâm của ABC
Gọi H là giao điểm của AI và BC
\[ \Rightarrow AH \bot BC\] và \[AI = {2 \over 3}AH \]
\[\Rightarrow AH = {{3AI} \over 2} = {{3.12} \over 2} = 18[cm] \]
\[\Rightarrow IH = AH - AI = 6[cm]\]
BHI vuông tại H nên \[BH = \sqrt {B{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {{{12}^2} - {6^2}} \]\[\,= \sqrt {108} [cm]\]
\[ \Rightarrow BC = 2BH = 2\sqrt {108} [cm]\]
Thể tích của hình chóp tam giác đều:
\[\eqalign{ & V = {1 \over 3}{S_{ABC}}.h = {1 \over 3}.{1 \over 2}AH.BC.h \cr & = {1 \over 3}.{1 \over 2}.18.2\sqrt {108} .8 = 48\sqrt {108} [c{m^3}] \cr} \]