Đề bài
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH \[\left[ {H \in BC} \right]\]. Vẽ \[HM \bot AB,\,\,HN \bot AC\,\,\]\[\left[ {M \in AB,\,\,N \in AC} \right]\]
a] Chứng minh rằng \[\Delta AMH \sim \Delta AHB.\] Suy ra AH2 = AM.AB.
b] Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC.
c] Chứng minh \[\Delta ANM \sim \Delta ABC.\]
d] Gọi O là giao điểm của AH với MN. Chứng minh OA.OH = OM.ON.
Lời giải chi tiết
a] Xét AMH và AHB có: \[\widehat {MAH}\] chung và \[\widehat {AMH} = \widehat {AHB}[ = 90^\circ ]\]
Do đó \[\Delta AMH \sim \Delta AHB[g.g] \Rightarrow {{AH} \over {AB}} = {{AM} \over {AH}}\]
\[ \Rightarrow A{H^2} = AM.AB[1]\]
b] Xét AHN và AHC có:
\[\widehat {HAN}\] chung và \[\widehat {ANH} = \widehat {AHC}[ = 90^\circ ]\]
\[\Rightarrow \Delta AHN \sim \Delta ACH[g.g]\]
\[ \Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AN} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AN.AC[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra AM.AB = AN.AC
c] Xét ANM và ABC có: \[{{AM} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\] [vì AM.AB = AN.AC] và góc MAN [chung]
Do đó \[\Delta ANM \sim ABC[c.g.c]\]
d] Ta có \[\widehat {AMN} = \widehat {ACB}[\Delta ANM \sim \Delta ABC]\] và \[\widehat {AHN} = \widehat {ACB}[\Delta AHN \sim \Delta ACH]\]
\[ \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AHN}\,hay\,\widehat {AMO} = \widehat {OHN}\]
Xét AMO và OHN có \[\widehat {AOM} = \widehat {NOH}\] [đối đỉnh] và \[\widehat {AMO} = \widehat {OHN}\]
Do đó \[\Delta AMO \sim \Delta NHO[g.g] \]
\[\Rightarrow {{OA} \over {ON}} = {{OM} \over {OH}}\]
\[\Rightarrow OA.OH = OM.ON\]