Đề bài
Cho tam giác \[MNP\] với đường trung tuyến \[MR\] và trọng tâm \[Q.\]
a] Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \[MPQ\] và \[RPQ.\]
b] Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác \[MNQ\] và \[RNQ.\]
Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác \[QMN, QNP, QPM\] có cùng diện tích.
Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác.
Lời giải chi tiết
a] Vẽ \[PB \perp MR\] tại \[B\].
Vậy tam giác \[MPQ\] và \[RPQ\] có chung đường cao \[PB.\]
Vì \[Q\] là trọng tâm của \[MNP\] nên điểm \[Q\] thuộc đường trung tuyến \[MR\] và \[MQ = 2QR.\]
Ta có: \[ S_{\Delta MPQ}= \dfrac{1}{2}MQ.PB\]\[\,= \dfrac{1}{2}. 2QR.PB =QR.PB \]
và \[S_{\Delta RPQ}= \dfrac{1}{2}QR.PB \]
Vậy: \[\dfrac{S_{\Delta MPQ}}{S_{\Delta RPQ}} = \dfrac{QR.PB}{\dfrac{1}{2}QR.PB} = 2 \] [1]
b] Vẽ \[NA \perp MR\] tại \[A\]
Vậy tam giác \[MNQ\] và \[RNQ\] có chung đường cao \[NA.\]
Vì \[Q\] là trọng tâm của \[MNP\] nên điểm \[Q\] thuộc đường trung tuyến \[MR\] và \[MQ = 2QR.\]
Ta có: \[ S_{\Delta MNQ}= \dfrac{1}{2}MQ.NA\]\[= \dfrac{1}{2}. 2QR.NA =QR.NA \]
và \[S_{\Delta RNQ}= \dfrac{1}{2}QR.NA \]
Vậy: \[\dfrac{S_{\Delta MNQ}}{S_{\Delta RNQ}} = \dfrac{QR.NA}{\dfrac{1}{2}QR.NA} = 2 \] [2]
c] Hai tam giác \[RPQ\] và \[RQN\] có chung đường cao kẻ từ \[Q\] và \[PR = RN\] nên \[{S_{RPQ}} = {S_{RQN}}\]
Vì \[{S_{RPQ}} + {S_{RQN}} = {S_{QNP}}\]
Nên \[{S_{QNP}} = 2{S_{RPQ}} = 2{S_{RQN}}\] hay\[\dfrac{S_{\Delta QNP}}{S_{\Delta RPQ}} =2\] [3]
Từ [1], [2], [3] ta có: \[{S_{MNQ}} ={S_{QNP}} ={S_{MPQ}}\]
[Chú ý: \[S\] là diện tích, ví dụ \[{S_{MNQ}}\] là diện tích tam giác \[MNQ\]].