Đề bài - bài 6 trang 100 sbt hình học 10 nâng cao

Đề bài

Biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau theo tham số \(m\)

\(\begin{array}{l}{\Delta _1}:4x - my + 4 - m = 0;\\{\Delta _2}:(2m + 6)x + y - 2m - 1 = 0.\end{array}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - m}\\{2m + 6}&1\end{array}} \right|\\ = 4.1 - ( - m)(2m + 6)\\ = 2{m^2} + 6m + 4 = 2(m + 1)(m + 2).\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m}&{4 - m}\\1&{ - 2m - 1}\end{array}} \right| \\= ( - m)( - 2m - 1) - 1.(4 - m) \\= 2{m^2} + 2m - 4\\ = 2(m - 1)(m + 2).\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - m}&4\\{ - 2m - 1}&{2m + 6}\end{array}} \right|\\ = (4 - m)(2m + 6) - 4( - 2m - 1)\\ = - 2{m^2} + 10m + 28\\ = - 2(m - 7)(m + 2).\end{array}\)

- Xét \(D \ne 0 \Leftrightarrow 2(m + 1)(m + 2) \ne 0\) \( \Leftrightarrow m \ne - 1\) và \(m \ne - 2\). Khi đó \({\Delta _1}, {\Delta _2}\) cắt nhau và giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có tọa độ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{2(m - 1)(m + 2)}}{{2(m + 1)(m + 2)}} = \dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}\\y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{ - 2(m - 7)(m + 2)}}{{2(m + 1)(m + 2)}} = \dfrac{{7 - m}}{{m + 1}}\end{array} \right.\).

- Xét \(D = 0 \Leftrightarrow 2(m + 1)(m + 2) = 0 \) \( \Leftrightarrow m = - 1\) hoặc \(m = - 2\).

Với \(m=-1\) thì \({D_x} = 2( - 2).1 = - 4 \ne 0\). Khi đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song.

Với \(m=-2\) thì \(D = {D_x} = {D_y} = 0\). Khi đó \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.