Đề bài
Cho \[{z_1},{z_2} \in \mathbb{C}\]. Khẳng định nào sau đây sai?
A. \[{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\]
B. \[{z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \in \mathbb{R}\]
C. \[{z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\]
D. \[{z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \in \mathbb{R}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng chú ý: \[z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z = \overline z \], nghĩa là tìm số phức liên hợp của mỗi số phức ở các đáp án và kiểm tra có bằng số phức ban đầu hay không.
Chú ý:
+] \[\overline {{z_1} + {z_2}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} \]
+] \[\overline {{z_1}{z_2}} = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} \]
Lời giải chi tiết
Đáp án A:
Đặt \[z = {z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}\] ta có: \[\overline z = \overline {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} = \overline {{z_1}\overline {{z_2}} } + \overline {\overline {{z_1}} {z_2}} \]\[ = \overline {{z_1}} .\overline {\overline {{z_2}} } + \overline {\overline {{z_1}} } .\overline {{z_2}} = \overline {{z_1}} {z_2} + {z_1}\overline {{z_2}} = z\].
Do đó \[{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2} \in \mathbb{R}\].
Đáp án B:
Đặt \[z = {z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \] ta có: \[\overline z = \overline {{z_1}{z_2} + \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} } = \overline {{z_1}{z_2}} + \overline {\overline {{z_1}} \overline {{z_2}} } \] \[ = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} + {z_1}{z_2} = z\] nên \[z \in \mathbb{R}\].
Đáp án C:
Đặt \[z = {z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2}\] ta có: \[\overline z = \overline {{z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2}} = \overline {{z_1}} \overline {\overline {{z_2}} } \overline {\overline {{z_1}} } .\overline {{z_2}} \] \[ = \overline {{z_1}} .{z_2}.{z_1}.\overline {{z_2}} = z\] nên \[z \in \mathbb{R}\].
Đáp án D:
Đặt \[z = {z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} \] ta có: \[\overline z = \overline {{z_1}{z_2} - \overline {{z_1}} \overline {{z_2}} } \] \[ = \overline {{z_1}{z_2}} - \overline {\overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} } = \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}} - {z_1}{z_2} \ne z\] nên \[z \notin \mathbb{R}\].
Chọn D.