Đề bài
Khẳng định nào sau đây sai?
A. \[\displaystyle \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\sin x}}{x}dx} < \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\cos x}}{x}dx} \]
B. \[\displaystyle \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\tan x}}{x}dx} > \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\cot x}}{x}dx} \]
C. \[\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^4}xdx} < \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} \]
D. \[\displaystyle \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} < \int\limits_1^e {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu \[\displaystyle f\left[ x \right] \ge 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\] thì \[\displaystyle S = \int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} \ge 0\].
Lời giải chi tiết
Đáp án A:
Xét \[\displaystyle I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\sin x}}{x}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\cos x}}{x}dx} \] \[\displaystyle = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left[ {\frac{{\sin x - \cos x}}{x}} \right]dx} \]
Dễ thấy trên đoạn \[\displaystyle \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\] thì \[\displaystyle x > 0\] và \[\displaystyle \sin x > 0 > \cos x\] \[\displaystyle \Rightarrow \sin x - \cos x > 0\]
Suy ra \[\displaystyle \frac{{\sin x - \cos x}}{x} > 0\] \[\displaystyle \Rightarrow I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left[ {\frac{{\sin x - \cos x}}{x}} \right]dx} > 0\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\sin x}}{x}dx} > \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\cos x}}{x}dx} \].
Vậy A sai.
Chọn A.