Đề bài - bài 3.61 trang 134 sbt hình học 12
\(\begin{array}{l}C\left( {x;y;z} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \left( {x - 2;y;z} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0,6,0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y = 6\\z = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 6\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2;6;0} \right)\end{array}\) Đề bài Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC} = (0;6;0)\). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. Phương pháp giải - Xem chi tiết - Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \(BC\). - Viết phương trình mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(OA\). - Tìm giao điểm \(K\) của \(\left( \alpha \right)\) với đường thẳng trên. - Khoảng cách bằng \(IK\). Lời giải chi tiết \(\begin{array}{l} I là trung điểm BC nên I(1; 3; 4) \(\overrightarrow {OA} = \left( {2;0;0} \right)\) \(OA\) đi qua O và nhận \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right)\) làm VTCP \( \Rightarrow OA:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\) Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OA ta có: \(\left( \alpha \right) \bot OA \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right)\) Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là: \(x 1 = 0 \) Gọi K(t;0;0) là giao điểm của OA và \((\alpha )\). Tọa độ của K thỏa mãn t-1=0 hay t=1. Do đó \(K(1; 0; 0)\) Khoảng cách từ I đến OA là: \(IK = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}} \) \(= 5\) Cách khác: Sau khi tìm được I(1;3;4) và phương trình đường thẳng OA, ta có thể tính khoảng cách ngay như sau: \(d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|}}\) Mà \(\overrightarrow {OI} = \left( {1;3;4} \right),\overrightarrow {OA} = \left( {2;0;0} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {OA} } \right] = \left( {0;8; - 6} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {I,OA} \right) = \dfrac{{\sqrt {0 + 64 + 36} }}{{\sqrt {4 + 0 + 0} }} = 5\).
|