Đề bài - bài 3.57 trang 183 sbt giải tích 12
|
Xét \(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\sin x}}{x}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\cos x}}{x}dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{x}} \right)dx} \) Đề bài Khẳng định nào sau đây sai? A. \(\displaystyle \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\sin x}}{x}dx} < \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\cos x}}{x}dx} \) B. \(\displaystyle \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\tan x}}{x}dx} > \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^1 {\frac{{\cot x}}{x}dx} \) C. \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\sin }^4}xdx} < \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} \) D. \(\displaystyle \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} < \int\limits_1^e {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \) Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu \(\displaystyle f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) thì \(\displaystyle S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \ge 0\). Lời giải chi tiết Đáp án A: Xét \(\displaystyle I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\sin x}}{x}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\cos x}}{x}dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{x}} \right)dx} \) Dễ thấy trên đoạn \(\displaystyle \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\) thì \(\displaystyle x > 0\) và \(\displaystyle \sin x > 0 > \cos x\) \(\displaystyle \Rightarrow \sin x - \cos x > 0\) Suy ra \(\displaystyle \frac{{\sin x - \cos x}}{x} > 0\) \(\displaystyle \Rightarrow I = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {\frac{{\sin x - \cos x}}{x}} \right)dx} > 0\) \(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\sin x}}{x}dx} > \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\frac{{\cos x}}{x}dx} \). Vậy A sai. Chọn A.
|
