Đề bài - bài 3.33 trang 130 sbt hình học 12

Đề bài

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d cho bởi các phương trình sau:

a] \[d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{3}\] và \[d':\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{2}\]

b] \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\] và \[d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 9 + 2t'}\\{y = 8 + 2t'}\\{z = 10 - 2t'}\end{array}} \right.\]

c] \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - t}\\{y = 3t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.\] và \[d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 9}\\{z = 5t'}\end{array}} \right.\]

Lời giải chi tiết

a] Ta có: \[\overrightarrow {{u_d}} = [1;2;3]\] và \[\overrightarrow {{u_{d'}}} = [3;2;2]\]

Suy ra \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = [ - 2;7; - 4]\]

Ta có \[{M_0}[ - 1;1; - 2] \in d,{M_0}'[1;5;4] \in {\rm{d'}}\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = [2;4;6]\]

Ta có \[\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = - 4 + 28 - 24 = 0\].

Vậy đường thẳng \[d\] và \[d\] đồng phẳng và khác phương, nên \[d\] và \[d\] cắt nhau.

b] Ta có \[\overrightarrow {{u_d}} = [1;1; - 1]\] và \[\overrightarrow {{u_{d'}}} = [2;2; - 2].{M_0}[0;1;2] \in d\]

Vì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_{d'}}} = 2\overrightarrow {{u_d}} }\\{{M_0} \notin d'}\end{array}} \right.\] [tọa độ M0 không thỏa mãn d] nên hai đường thẳng d và d song song.

c] d có vecto chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}} = [ - 1;3; - 2]\]

d có vecto chỉ phương \[\overrightarrow {{u_{d'}}} = [0;0;5]\]

Gọi \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = [15;5;0] \ne \overrightarrow 0 \]

Ta có \[{M_0}[0;0; - 1] \in d\]

\[M{'_0}[0;9;0] \in d'\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = [0;9;1],\] \[\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M{'_0}} = 45 \ne 0\]

Vậy \[d\] và \[d\] là hai đường thẳng chéo nhau.