- LG a
- LG câu b
- LG câu c
Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:
LG a
\[\displaystyle y = 2 - {x^2},y = 1\], quanh trục \[\displaystyle Ox\].
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm.
- Sử dụng công thức \[\displaystyle V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left[ x \right] - {g^2}\left[ x \right]} \right|dx} \]
Giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle 2 - {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 1\]\[\displaystyle \Leftrightarrow x = \pm 1\]
Khi đó \[\displaystyle V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\left[ {2 - {x^2}} \right]}^2} - 1} \right|dx} \] \[\displaystyle = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|dx} \] \[\displaystyle = \pi \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right]dx} } \right|\]
\[\displaystyle = \pi \left| {\left. {\left[ {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{4}{3}{x^3} + 3x} \right]} \right|_{ - 1}^1} \right|\] \[\displaystyle = \pi \left| {\frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 3 + \frac{1}{5} - \frac{4}{3} + 3} \right| = \frac{{56\pi }}{{15}}\]
LG câu b
\[\displaystyle y = 2x - {x^2},y = x\], quanh trục \[\displaystyle Ox\].
Phương pháp giải:
- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm.
- Sử dụng công thức \[\displaystyle V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left[ x \right] - {g^2}\left[ x \right]} \right|dx} \]
Giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle 2x - {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} - x = 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow x\left[ {x - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]
Khi đó \[\displaystyle V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left[ {2x - {x^2}} \right]}^2} - {x^2}} \right|dx} \] \[\displaystyle = \pi \int\limits_0^1 {\left| {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4} - {x^2}} \right|dx} \]
\[\displaystyle = \pi \left| {\int\limits_0^1 {\left[ {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right]dx} } \right|\] \[\displaystyle = \pi \left| {\left. {\left[ {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + {x^3}} \right]} \right|_0^1} \right|\] \[\displaystyle = \pi \left| {\frac{1}{5} - 1 + 1} \right| = \frac{\pi }{5}\]
LG câu c
\[\displaystyle y = {[2x + 1]^{\frac{1}{3}}},x = 0,y = 3\], quanh trục \[\displaystyle Oy\].
Phương pháp giải:
Rút \[\displaystyle x\] theo \[\displaystyle y\], tính thể tích theo công thức \[\displaystyle V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left[ y \right]dy} \]
Giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle y = {[2x + 1]^{\frac{1}{3}}} \Leftrightarrow x = \frac{{{y^3} - 1}}{2}\] với \[\displaystyle y > 0\].
Khi đó \[\displaystyle \frac{{{y^3} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {y^3} = 1 \Leftrightarrow y = 1\]
\[\displaystyle \Rightarrow V = \pi \int\limits_1^3 {{{\left[ {\frac{{{y^3} - 1}}{2}} \right]}^2}dy} \] \[\displaystyle = \pi \int\limits_1^3 {\frac{{{y^6} - 2{y^3} + 1}}{4}dy} \] \[\displaystyle = \frac{\pi }{4}\int\limits_1^3 {\left[ {{y^6} - 2{y^3} + 1} \right]dy} \]
\[\displaystyle = \frac{\pi }{4}.\left[ {\frac{{{y^7}}}{7} - \frac{1}{2}{y^4} + y} \right]_1^3\] \[\displaystyle = \frac{\pi }{4}\left| {\frac{{{3^7}}}{7} - \frac{{{3^4}}}{2} + 3 - \frac{1}{7} + \frac{1}{2} - 1} \right|\] \[\displaystyle = \frac{{480\pi }}{7}\].