Đề bài
Cho ba đường thẳng \[y = \dfrac{2}{5}x + \dfrac{1}{2}\] [\[{d_1}\]];
\[y = \dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{2}\][\[{d_2}\]];\[y = kx + 3,5\][\[{d_3}\]]
Hãy tìm giá trị của k để sao cho ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét đường thẳng [\[{d_1}\]]: \[y = {a_1}x + {b_1}\] và đường thẳng[\[{d_2}\]]: \[y = {a_2}x + {b_2}\]
Để tìm giao điểm giữa hai đường thẳng, ta xét phương trình hoành độ giao điểm:
\[{a_1}x + {b_1} = {a_2}x + {b_2}\].
Tìm \[x_0\] là nghiệm của phương trình trên và thay vào một trong hai phương trình đường thẳng để tìm \[y_0\]. Vậy [\[x_0; y_0\]] là giao điểm cần tìm.
Thay tọa độ giao điểm vừa tìm được vào phương trình đường thẳng \[[d_3]\] để tìm \[k.\]
Lời giải chi tiết
* Trước hết tìm giao điểm của hai đường thẳng \[[d_1]\] và \[[d_2].\]
+] Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[[d_1]\] và \[[d_2]\]:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{2}{5}x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{5}x - \dfrac{5}{2}\\
\dfrac{2}{5}x - \dfrac{3}{5}x = - \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}\\
- \dfrac{1}{5}x = - 3\\
x = 15
\end{array}\]
+] Tìm tung độ giao điểm: Thay \[ x=15\] vào hàm số\[y = \dfrac{2}{5}x + \dfrac{1}{2},\] ta có:
\[y = \dfrac{2}{5}.15 + \dfrac{1}{2} = 6,5\]
+] Thay \[ x= 15\] và \[ y= 6,5\] vào phương trình[\[{d_3}\]]:
\[\begin{array}{l}
6,5 = k.15 + 3,5\\
\Leftrightarrow 15k = 3\Leftrightarrow k = 0,2
\end{array}\]
Vậy với \[ k=0,2\] thì ba đường thẳng đồng quy tại điểm \[[15; 6,5].\]