- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các bất phương trình sau:
LG a
\[\displaystyle [2x - 7]\ln [x + 1] > 0\]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp giải bất phương trình tích \[\displaystyle AB > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A > 0,B > 0\\A < 0,B < 0\end{array} \right.\] và \[\displaystyle AB < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A > 0,B < 0\\A < 0,B > 0\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle [2x - 7]\ln [x + 1] > 0\]. ĐK: \[\displaystyle x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\].
+] TH1: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x - 7 > 0\\\ln \left[ {x + 1} \right] > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{7}{2}\\x + 1 > 1\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{7}{2}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{7}{2}\]
+] TH2: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x - 7 < 0\\\ln \left[ {x + 1} \right] < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{7}{2}\\x + 1 < 1\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{7}{2}\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 0\]
Kết hợp điều kiên ta được \[\displaystyle - 1 < x < 0\].
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[\displaystyle S = \left[ { - 1;0} \right] \cup \left[ {\frac{7}{2}; + \infty } \right]\].
LG b
\[\displaystyle [x - 5][\log x + 1] < 0\]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp giải bất phương trình tích \[\displaystyle AB > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A > 0,B > 0\\A < 0,B < 0\end{array} \right.\] và \[\displaystyle AB < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A > 0,B < 0\\A < 0,B > 0\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle [x - 5][\log x + 1] < 0\]. ĐK: \[\displaystyle x > 0\].
+] TH1: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 5 > 0\\\log x + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 5\\\log x < - 1\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 5\\x < \frac{1}{{10}}\end{array} \right.\left[ {VN} \right]\]
+] TH2: \[\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 5 < 0\\\log x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\\log x > - 1\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\x > \frac{1}{{10}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{{10}} < x < 5\]
Kết hợp điều kiện ta được \[\displaystyle \frac{1}{{10}} < x < 5\].
Vậy tập nghiệm là \[\displaystyle \left[ {\frac{1}{{10}};5} \right]\].
LG c
\[\displaystyle 2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0\]
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình bằng các đặt ẩn phụ.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\displaystyle t = {\log _2}x\], ta có bất phương trình \[\displaystyle 2{t^3} + 5{t^2} + t - 2 \ge 0\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow [t + 2][2{t^2} + t - 1] \ge 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 \le t \le - 1\\t \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\]
Suy ra \[\displaystyle \left[ \begin{array}{l} - 2 \le {\log _2}x \le - 1\\{\log _2}x \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{ - 2}} \le x \le {2^{ - 1}}\\x \ge {2^{\frac{1}{2}}}\end{array} \right.\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}\\x \ge \sqrt 2 \end{array} \right.\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \[\displaystyle \left[ {\frac{1}{4};\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right]\].
LG d
\[\displaystyle \ln [3{e^x} - 2] \le 2x\]
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình bằng các đặt ẩn phụ.
Lời giải chi tiết:
ĐK: \[\displaystyle 3{e^x} - 2 > 0 \Leftrightarrow {e^x} > \frac{2}{3}\] \[\displaystyle \Leftrightarrow x > \ln \frac{2}{3}\].
Khi đó bpt\[\displaystyle \Leftrightarrow 3{e^x} - 2 \le {e^{2x}}\].
Đặt \[t=e^x > 0\] ta được \[\displaystyle 3t - 2 \le {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 \ge 0\] \[\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le 1\end{array} \right.\].
\[\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{e^x} \ge 2\\{e^x} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \ln 2\\x \le 0\end{array} \right.\].
Kết hợp điều kiện ta được \[\displaystyle \left[ \begin{array}{l}x \ge \ln 2\\\ln \frac{2}{3} < x \le 0\end{array} \right.\]
Vậy tập nghiệm là \[\displaystyle \left[ {\ln \frac{2}{3};0} \right] \cup \left[ {\ln 2; + \infty } \right]\].