Đề bài
Cho khối chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác cân, \[AB = AC = 5a,BC = 6a\] và các mặt bên tạo với đáy một góc \[{60^0}\]. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng hình chiếu của \[S\] trên mặt đáy, từ đó xác định góc giữa các mặt bên và mặt đáy.
- Tính diện tích đáy, chiều cao dựa vào các kiến thức hình học đã biết.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Lời giải chi tiết
Kẻ \[SH \bot \left[ {ABC} \right]\] và \[HA',HB',HC'\] lần lượt vuông góc với \[BC,CA,AB\]. Theo định lí ba đường vuông góc ta có \[SA' \bot BC,SB' \bot CA,SC' \bot AB\]
Từ đó suy ra \[\widehat {SA'H} = \widehat {SB'H} = \widehat {SC'H} = {60^0}\].
\[ \Rightarrow \Delta SHA' = \Delta SHB' = \Delta SHC'\]\[ \Rightarrow HA' = HB' = HC'\]
Do đó \[H\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\]. Do tam giác cân ở \[A\] nên \[AH\] vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.
\[ \Rightarrow A,H,A'\] thẳng hàng và \[A'\] là trung điểm của \[BC\].
Tam giác \[\Delta AA'B\] vuông tại \[A'\] nên \[AA{'^2} = A{B^2}-BA{'^2}\] \[ = 25{a^2}-9{a^2} = 16{a^2}\] \[ \Rightarrow AA' = 4a\]
Gọi \[p\] là nửa chu vi của tam giác \[ABC\], \[r\] là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[r = HA'\].
Ta có: \[p = \frac{{AB + BC + CA}}{2}\] \[ = \frac{{5a + 6a + 5a}}{2} = 8a\]
\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AA'.BC = \frac{1}{2}.4a.6a = 12{a^2}\]
Lại có \[{S_{ABC}} = pr \Rightarrow 12{a^2} = 8a.r\] \[ \Rightarrow r = \dfrac{3}{2}a\]
Tam giác SHA' vuông tại H có \[ SH = HA'.\tan {60^0} \] \[= \dfrac{{3a}}{2}\sqrt 3 = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a\]
Thể tích khối chóp là \[V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH\] \[= \dfrac{1}{3}.12{a^2}.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}a = 6\sqrt 3 {a^3}\]