Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log3 x 2;1
Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình log1/2x+23-2x≥0? A. 3 B. 0. C. 1. D. 2.
Đáp án C Lời giải chi tiết: log3x+2y=log2x2+y2=t→x+2y=3tx2+y2=2t→x+2y-3t=0x2+y2=2t Để tồn tại x,y => Đường thẳng dx+2y-3t=0 và đường tròn C x2+y2=2t giao nhau Ta có: I(0;0), R = 2t là tâm và bán kính của (C) Ta có: Nếu t<0 →2t<5→5-2t>0-> f(t)>0 > f(t) = 0 vô nghiệm Nếu t≥0→9t≥2t→9t-2t≥0→ft>0→ft=0 vô nghiệm Với y = -1 Loại với y = 1 Chúc em học tốt! ...Xem thêm
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
Phương pháp giải: - Tìm ĐKXĐ của phương trình. - Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\), biểu diễn \(P = x + y\) và \(S = xy\) theo \(t\). - Sử dụng định lí Vi-ét đảo, khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) (ẩn t). - Tìm điều kiện để phương trình \({X^2} - SX + P = 0\) ẩn t có nghiệm, chặn khoảng giá trị của \(t\). - Từ đó chặn khoảng giá trị của \({x^2} + {y^2}\) và tìm các số nguyên x thỏa mãn. Giải chi tiết: ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\{x^2} + {y^2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\x,\,\,y e 0\end{array} \right.\). Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t\). \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy = {9^t}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2}\\{x^2} + {y^2} = {4^t}\end{array} \right.\end{array}\) Khi đó \(x,\,\,y\) là nghiệm của phương trình \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{X^2} - {3^t}.X + \dfrac{{{9^t} - {4^t}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2{X^2} - {2.3^t}.X + {9^t} - {4^t} = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\) Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) phải có nghiệm, khi đó ta có \(\Delta {'_{\left( * \right)}} \ge 0\). \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} - 2.\left( {{9^t} - {4^t}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {2.4^t} - {9^t} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{9}} \right)^t} \ge \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow t \le {\log _{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2} \approx 0,85\end{array}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {3^t} \le {3^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\{x^2} + {y^2} = {4^t} \le {4^{{{\log }_{\dfrac{4}{9}}}\dfrac{1}{2}}}\,\,\left( C \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\). Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0; \pm 1} \right\}\). Tập hợp các cặp giá trị của \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn (I) là miền bôi đậm. Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1} \right\}\). Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Lời giải của GV Vungoi.vn BPT: \(\left( {{2^{{x^2}}} - {4^x}} \right)\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 14} \right) - 4} \right] \le 0\). Bài này ta chia 2 trường hợp để giải. TH1: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {4^x} \ge 0\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) - 4 \le 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \ge {2^{2x}}\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) \le 4\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\0 < x + 14 \le {2^4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\ - 14 < x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 14 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow \) Trường hợp này có 15 giá trị nguyên \(x \in \left\{ { - 13; - 12; - 11;...;0;2} \right\}\). TH2: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} - {2^x} \le 0\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) - 4 \ge 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \le {2^{2x}}\\{\log _2}\left( {x + 14} \right) \ge 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x + 14 \ge 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\end{array}\) \( \Rightarrow \) Trường hợp này có 1 nghiệm nguyên \(x\) thuộc trường hợp 1. Vậy có tất cả 15 nghiệm nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình.
Do đó (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right):x+y-{{3}^{t}}=0\) và đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R={{2}^{t}}\) Điều kiện tồn tại giao điểm này là \(d\left( O,d \right)\le R\Leftrightarrow \frac{{{3}^{t}}}{\sqrt{2}}\le {{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow t\le {{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt{2}\) Dễ thấy hoành độ giao điểm x luôn thỏa mãn \(-R\le x\le R\Leftrightarrow -{{2}^{t}}\le x\le {{2}^{t}}\). Mà \(t\le {{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt{2}\) nên \(0<{{2}^{t}}\le {{2}^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt{2}}}<2\)\(\Rightarrow\) -2 < x < 2 |