Cho hình chóp s abcd có đáy abcd là hình vuông cạnh a tính khoảng cách từ A đến sbc

Phương pháp giải:

- Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Chứng minh \(CD \bot \left( {SEF} \right)\), từ đó xác định \(d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Đổi đỉnh \(A\) sang đỉnh \(E\).

- Trong \(\left( {SEF} \right)\) kẻ \(SH \bot EF\), chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Chứng minh \(SE = 2SH\), đặt \(SH = x\), sử dụng định lí Pytago suy ra phương trình của \(x\) theo \(a\).

- Giải \(x\) theo \(a\).

- Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\).

Vì tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SE \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SE\\AB \bot EF\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SEF} \right)\).

Mà \(CD\parallel AB\) nên \(CD \bot \left( {SEF} \right)\).

Trong \(\left( {SEF} \right)\), kẻ \(SH \bot EF\,\,\left( {H \in EF} \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {ESF} \right) \Rightarrow CD \bot SH\\SH \bot EF\end{array} \right.\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Cũng trong \(\left( {SEF} \right)\) ta kẻ \(EK \bot SF\,\,\left( {K \in SF} \right).\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EK \bot CD\,\,\,\,\left( {CD \bot \left( {SEF} \right)} \right)\\EK \bot SF\end{array} \right.\) \( \Rightarrow EK \bot \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {E;\left( {SCD} \right)} \right) = EK = a\) (do \(AE\parallel \left( {SCD} \right)\)).

Ta có: \({S_{SEF}} = \dfrac{1}{2}SH.EF{\rm{ = }}\dfrac{1}{2}.EK.SF\).

\( \Rightarrow SH.2a = SF.a \Leftrightarrow SF = 2SH\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAE\) ta có: \(SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a\).

Đặt \(SH = x \Rightarrow SF = 2x\).

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l}EH = \sqrt {S{E^2} - S{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \\FH = \sqrt {S{F^2} - S{H^2}} = \sqrt {4{x^2} - {x^2}} = x\sqrt 3 \end{array}\)

Mà \(EH + FH = EF = 2a\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{a^2} - {x^2}} + x\sqrt 3 = 2a\\ \Leftrightarrow {a^2} - {x^2} = {\left( {2a - x\sqrt 3 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - {x^2} = 4{a^2} - 4\sqrt 3 ax + 3{x^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 4\sqrt 3 ax + 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a\sqrt 3 - 2x} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2x = a\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = SH\end{array}\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Chọn C.