Cách giải các bài tập hàm số hàm của hàm năm 2024
|
Đáp án - Lời giải Câu hỏi 2 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}3x\). Tìm \(f'\left( x \right)\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm Lời giải chi tiết: Ta có: \(f\left( x \right) = {\cos ^2}3x \Rightarrow f'\left( x \right) = - 6\sin 3x\cos 3x = - 3\sin 6x\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 3 : Tính đạo hàm của hàm số \(y=\cos 4x-3\sin 4x.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp \(\left( \cos u\left( x \right) \right)'=-u'\left( x \right)\sin u\left( x \right)\) và \(\left( sinu\left( x \right) \right)'=u'\left( x \right)\cos u\left( x \right)\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y'=\left( \cos 4x-3\sin 4x \right)'=-4sin4x-12cos4x.\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 4 : Hàm số \(y={{x}^{2}}.\cos x\) có đạo hàm là:
Đáp án: C Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức tính đạo hàm: \(\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]'=f'\left( x \right)g\left( x \right)+f\left( x \right)g'\left( x \right)\) và các công thức đạo hàm cơ bản của hàm số để tính. Lời giải chi tiết: Ta có: \(y'=\left( {{x}{2}}\cos x \right)'=2x\cos x-{{x}{2}}\sin x.\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 5 : Hàm số \(f\left( x \right) = \sin 3x\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức đạo hàm cơ bản: \(\left( {\sin ax} \right)' = a\,cos\,ax.\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {\sin 3x} \right)' = 3\cos 3x.\) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 6 : Cho hàm số \(y=\cos 3x.\sin 2x\). Tính \(y'\left( \frac{\pi }{3} \right)\) bằng:
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một tích: \(\left( uv \right)'=u'v+uv'\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y' = \left( {\cos 3x} \right)'.\sin 2x + \cos 3x\left( {\sin 2x} \right)' = - \sin 3x.\left( {3x} \right)'.\sin 2x + \cos 3x.\cos 2x\left( {2x} \right)'\\= - 3\sin 3x\sin 2x + 2\cos 3x\cos 2x\\ \Rightarrow y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 3\sin \pi .\sin \frac{{2\pi }}{3} + 2\cos \pi .\cos \frac{{2\pi }}{3} = - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 1\end{array}\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 7 : Tính đạo hàm \(y'\) của hàm số \(y=\sin x+\cos x\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Dựa vào bảng đạo hàm cơ bản. Lời giải chi tiết: \(y'=\cos x-\sin x\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 8 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=\text{cos}2x.\) Tính \(P={f}''\left( \pi \right).\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Dựa vào công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác : \(\left( \cos u \right)'=-u'\sin u;\ \ \left( \sin u \right)'=u'\cos u.\) Lời giải chi tiết: Ta có \({f}'\left( x \right)=-\,2\sin 2x\Rightarrow {f}''\left( x \right)=-\,4\cos 2x\Rightarrow P={f}''\left( \pi \right)=-\,4.\) Chọn C Đáp án - Lời giải Câu hỏi 9 : Xét hàm số \(f\left( x \right)=\tan \left( x-\frac{2\pi }{3} \right)\). Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp: \(\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)'}}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}\\ \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} = 4\end{array}\) Chọn A. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 10 : Đạo hàm của hàm số \(y = \cos 2x + 1\) là
Đáp án: D Phương pháp giải: \(\left( {\cos kx} \right)' = - k\sin kx\) Lời giải chi tiết: \(y' = \left( {\cos 2x + 1} \right)' = - 2\sin 2x\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 11 : Đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {2x} \right) - 2\cos x\) là
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = 2\cos 2x + 2\sin x\). Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 12 : Đạo hàm của hàm số \(y = \cos x\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 13 : Đạo hàm của hàm số \(y={{\cos }{2}}\left( {{\sin }{3}}x \right)\) là biểu thức nào sau đây?
Đáp án: D Phương pháp giải: +) Sử dụng công thức hạ bậc \({{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\) +) Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y = \frac{{1 + \cos \left( {2{{\sin }^3}x} \right)}}{2}\\ \Rightarrow y' = \frac{1}{2}.\left( { - \sin \left( {2{{\sin }^3}x} \right)} \right).\left( {2{{\sin }^3}x} \right)'\\ = \frac{{ - 1}}{2}\sin \left( {2{{\sin }^3}x} \right).2.3{\sin ^2}x\left( {\sin x} \right)'\\ = - 3\sin \left( {2{{\sin }^3}x} \right).{\sin ^2}x.\cos x\end{array}\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 14 : Đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt{\cot x}\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\) Lời giải chi tiết: \(y'=\frac{\left( \cot x \right)'}{2\sqrt{\cot x}}=\frac{-\frac{1}{{{\sin }{2}}x}}{2\sqrt{\cot x}}=\frac{-1}{{{\sin }{2}}x\sqrt{\cot x}}\) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 15 : Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {1 + 2\tan x} \) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số hợp: \(\left( {\sqrt u } \right)' = {{u'} \over {2\sqrt u }}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = {{\left( {1 + 2\tan x} \right)'} \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }} = {{{2 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {2\sqrt {1 + 2\tan x} }} = {1 \over {{{\cos }^2}x\sqrt {1 + 2\tan x} }}\) Chọn A. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 16 : Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\sin ^2}3x\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Công thức đạo hàm hàm hợp: \(y = f\left( {u(x)} \right)\,\, \Rightarrow \,\,y' = f'\left( {u(x)} \right).u'(x)\). Lời giải chi tiết: \(y = {\sin ^2}3x \Rightarrow y' = 2.\sin 3x.\left( {\sin 3x} \right)' = 2.\sin 3x.3.\cos 3x = 3\sin 6x\) Chọn: D Đáp án - Lời giải Câu hỏi 17 : Đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)\) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\left[ {\sin f\left( x \right)} \right]' = f'\left( x \right)\cos f\left( x \right)\). Lời giải chi tiết: Ta có : \(\begin{array}{l}\left[ {\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)} \right]' = \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)'\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right) = - 4\cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - 4x} \right)\\ = - 4\cos \left( {\pi + \dfrac{\pi }{2} - 4x} \right) = - 4\left[ { - \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - 4x} \right)} \right] = - 4\left( { - \sin 4x} \right) = 4\sin 4x\end{array}\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 18 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}\left( {2x} \right)\). Tính \(f'\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right)\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm hợp: \(\left( {{u^n}} \right)' = n.{u^{n - 1}}.u',\,\,\left[ {\cos \left( {kx} \right)} \right]' = - k\sin kx\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 2\cos \left( {2x} \right)\left( {\cos \left( {2x} \right)} \right)' = 2\cos \left( {2x} \right)\left( { - 2\sin 2x} \right) = - 2\sin 4x\\ \Rightarrow f'\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right) = - 2\sin \dfrac{\pi }{2} = - 2\end{array}\) Chọn D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 19 : Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x}\) bằng :
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3.\sin 3x}}{{3x}} = 1 - 3 = - 2\). Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 20 : Với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\), hàm số \(y = 2\sqrt {\sin x} - 2\sqrt {\cos x} \) có đạo hàm là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Đạo hàm: \(\left( {\sqrt {u\left( x \right)} } \right)' = \dfrac{{\left( {u\left( x \right)} \right)'}}{{2\sqrt {u\left( x \right)} }}\). Lời giải chi tiết: \(y' = \dfrac{{2\left( {\sin \,x} \right)'}}{{2\sqrt {\sin x} }} - \dfrac{{2\left( {\cos x} \right)'}}{{2\sqrt {\cos x} }} = \dfrac{{\cos x}}{{\sqrt {\sin x} }} + \dfrac{{\sin x}}{{\sqrt {\cos x} }}\). Chọn: D Đáp án - Lời giải Câu hỏi 21 : Tính đạo hàm của các hàm số sau: Câu 1: \(y = \tan x - 2{x^3}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp. Lời giải chi tiết: \(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 6{x^2}\) Đáp án - Lời giải Câu 2: \(y = x.\sin x + \sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} \)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}y' = \sin x + x\cos x + \dfrac{{2\cos 2x.\left( { - 2\sin 2x} \right)}}{{2\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\\\,\,\,\,\,\, = \sin x + x\cos x + \dfrac{{ - \sin 4x}}{{\sqrt {1 + {{\cos }^2}2x} }}\end{array}\) Đáp án - Lời giải Câu hỏi 22 : Hàm số \(y = \tan x - \cot x + \cos \dfrac{x}{5}\) có đạo hàm bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm \(\begin{array}{l}\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}},\,\,\left( {\cot x} \right)' = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}},\,\,\\\left( {\sin kx} \right)' = k\cos kx,\,\,\left( {\cos kx} \right)' = - k\sin kx\end{array}\) Lời giải chi tiết: \(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{1}{5}\sin \dfrac{x}{5}\). Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 23 : Đạo hàm của hàm số \(y = \tan 3x\) bằng:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {\tan x} \right)' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\). Lời giải chi tiết: Ta có \(y' = \left( {\tan 3x} \right)' = \dfrac{{\left( {3x} \right)'}}{{{{\cos }^2}3x}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}3x}}\). Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 24 : Đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x\) bằng
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\left( {\sin kx} \right)' = k\cos kx\). Lời giải chi tiết: \(y' = \left( {\sin 2x} \right)' = 2\cos 2x\). Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 25 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x.\) Tính \({f}'\left( \frac{\pi }{6} \right).\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác cơ bản. Lời giải chi tiết: Ta có \(f\left( x \right)=\sin 2x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2\cos 2x\Rightarrow {f}'\left( \frac{\pi }{6} \right)=2.\cos \frac{\pi }{3}=1.\) Chọn D Đáp án - Lời giải Câu hỏi 26 : Đạo hàm của hàm số \(y = {\tan ^2}x - co{t^2}x\) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\), sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 tích: \(\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\) Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & y = {\tan ^2}x - co{t^2}x = \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right) \cr & y' = \left( {\tan x - \cot x} \right)'\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right)' \cr & y' = \left( {{1 \over {{{\cos }^2}x}} + {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right)\left( {\tan x + \cot x} \right) + \left( {\tan x - \cot x} \right)\left( {{1 \over {{{\cos }^2}x}} - {1 \over {{{\sin }^2}x}}} \right) \cr & y' = {{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\tan x} \over {{{\sin }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} + {{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} - {{\tan x} \over {{{\sin }^2}x}} - {{\cot x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr & y' = 2{{\tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + 2{{\cot x} \over {{{\sin }^2}x}} \cr} \) Chọn A. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 27 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan \left( {x - {{2\pi } \over 3}} \right)\). Giá trị \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\tan \left( {a - b} \right) = {{\tan a - \tan b} \over {1 + \tan a.\tan b}}\), sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \(\left( {{u \over v}} \right)' = {{u'v - uv'} \over {{v^2}}}\) Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan \left( {x - {{2\pi } \over 3}} \right) = {{\tan x - \tan {{2\pi } \over 3}} \over {1 + \tan x.\tan {{2\pi } \over 3}}} = {{\tan x + \sqrt 3 } \over {1 - \sqrt 3 \tan x}} \cr & f'\left( x \right) = {{\left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)'\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right) - \left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)'} \over {{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}}\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right) - \left( {\tan x + \sqrt 3 } \right)\left( { - {{\sqrt 3 } \over {{{\cos }^2}x}}} \right)} \over {{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}} = {{\sqrt 3 \tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sqrt 3 \tan x} \over {{{\cos }^2}x}} + {3 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}} \cr & f'\left( x \right) = {4 \over {{{\cos }^2}x{{\left( {1 - \sqrt 3 \tan x} \right)}^2}}} \cr & \Rightarrow f'\left( 0 \right) = {4 \over {1\left( {1 - \sqrt 3 .0} \right)}} = 4 \cr} \) Chọn B. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 28 : Hàm số \(y = {\tan ^2}{x \over 2}\) có đạo hàm là:
Đáp án: C Phương pháp giải: \({\tan ^2}{x \over 2} = {{{{\sin }^2}{x \over 2}} \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}}\), sử dụng các công thức hạ bậc, sau đó áp dụng quy tắc tính đạo hàm của 1 thương: \(\left( {{u \over v}} \right)' = {{u'v - uv'} \over {{v^2}}}\) Lời giải chi tiết: \(\eqalign{ & {\tan ^2}{x \over 2} = {{{{\sin }^2}{x \over 2}} \over {{{\cos }^2}{x \over 2}}} = {{{{1 - \cos x} \over 2}} \over {{{1 + \cos x} \over 2}}} = {{1 - \cos x} \over {1 + \cos x}} \cr & \Rightarrow y' = {{\left( {1 - \cos x} \right)'\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)'} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \cr & y' = {{\sin x\left( {1 + \cos x} \right) - \left( {1 - \cos x} \right)\left( { - \sin x} \right)} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \cr & y' = {{\sin x + \sin x\cos x + \sin x - \sin x\cos x} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \cr & y' = {{2\sin x} \over {{{\left( {1 + \cos x} \right)}^2}}} \cr & y' = {{4\sin {x \over 2}\cos {x \over 2}} \over {{{\left( {2{{\cos }^2}{x \over 2}} \right)}^2}}} = {{\sin {x \over 2}} \over {{{\cos }^3}{x \over 2}}} \cr} \) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 29 : Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt[3]{\cos 2x}\). Chọn câu sai?
Đáp án: C Phương pháp giải: Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( {{u}{n}} \right)'=n{{u}{n-1}}.u'\) Lời giải chi tiết: Đáp án A đúng vì \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\sqrt[3]{\cos \pi }=-1\) Ta có: \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\f\left( x \right) = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\f\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}.2\sin 2x\left( {\sin 2x} \right)'\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = - 2\sin 2x\cos 2x\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = - \sin 4x\\g\left( x \right) = \dfrac{1}{4}\cos 4x\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}.4\sin 4x = - \sin 4x\end{array}\) |
