Bài 1.25 trang 14 sbt giải tích 12 nâng cao

LG a

Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC có \(AB = AC = 5,BC = x\).

Nửa chu vi: \(p = \frac{{5 + 5 + x}}{2} = \frac{{10 + x}}{2}\)

Diện tích:

\(\begin{array}{l}{S_{ABC}}\\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}\left( {\frac{{10 + x}}{2} - x} \right)\left( {\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{10 + x}}{2} - 5} \right)} \\ = \sqrt {\frac{{10 + x}}{2}.\frac{{10 - x}}{2}.\frac{x}{2}.\frac{x}{2}} \\ = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} \end{array}\)

Thể tích lăng trụ:

\(V = {S_{ABC}}.AA' = \frac{x}{4}\sqrt {100 - {x^2}} .20\) \( = 5x\sqrt {100 - {x^2}} \)

Vậy \(V = 5x\sqrt {100 - {x^2}}(m^3) ,\) \(0 < x < 10\)

LG b

Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm \(V\left( x \right) = 5x\sqrt {100 - {x^2}} \) trên \(\left( {0;10} \right)\) có:

\(\begin{array}{l}V'\left( x \right) = 5\sqrt {100 - {x^2}} + 5x.\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = 5\sqrt {100 - {x^2}} - \frac{{5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{5\left( {100 - {x^2}} \right) - 5{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\ = \frac{{500 - 10{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 500 - 10{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = 50 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\sqrt 2 \in \left( {0;10} \right)\\x = - 5\sqrt 2 \notin \left( {0;10} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi \(x = 5\sqrt 2 \) (m)

\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{x \in \left( {0;10} \right)} {\rm{V = V}}\left( {5\sqrt 2 } \right)=250(m^3)\)