Tìm m để phương trình đạt cực đại tại x

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = [x^3] - 2m[x^2] + [m^2]x + 2 đạt cực tiểu tại x=1.

Câu 162 Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 2$ đạt cực tiểu tại $x=1$.

Đáp án đúng: d

Phương pháp giải

- Bước 1: Tính $y',y''$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để $x = {x_0}$ là cực trị của hàm số:

+ $x = {x_0}$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{gathered} f'\left[ {{x_0}} \right] = 0 \hfill \\ f''\left[ {{x_0}} \right] < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

+ $x = {x_0}$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left[ {{x_0}} \right] = 0 \hfill \\ f''\left[ {{x_0}} \right] > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

- Bước 3: Kết luận.

Phương pháp giải một số bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản --- Xem chi tiết

Bài toán 1: Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}.$

Điều kiện để  hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}>0\text{    }  \\   y'\left[ {{x}_{0}} \right]=0  \\\end{matrix} \right..$

Bài toán 2: Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại [hoặc cực tiểu] tại điểm $x={{x}_{0}}.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ ta suy ra $y'\left[ {{x}_{0}} \right]=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số $m$.

Với giá trị của tham số $m$ tìm được ta tính $y''\left[ {{x}_{0}} \right]$ để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận.

Bài tập tìm điều kiện để hàm bậc 3 đạt cực trị tại điểm x=x0

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-4x+m.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}=4-3m>0\text{    }  \\   y'\left[ 2 \right]=4+m=0\text{   }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=-4.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}+2x+m.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}=1-m>0\text{    }  \\   y'\left[ -1 \right]=m-1=0\text{   }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\varnothing .$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6mx+m+9.$ Cho $y'\left[ 2 \right]=24-12m+m+9=0\Leftrightarrow m=3.$

Với $m=3\Rightarrow y'=6{{x}^{2}}-18x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=1  \\\end{matrix}. \right.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-2mx+n\Rightarrow y'\left[ 2 \right]=-4m+n+12=0\Leftrightarrow 4m-n=12$

Mặt khác $A\left[ 2;7 \right]\in \left[ C \right]$ nên $x=2\Rightarrow y=7$ nên ta có $8-4m+2n+1=7\Leftrightarrow 4m-2n=2$

Khi đó $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-11x+10\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=\frac{5}{3}  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ Hàm số có hai điểm cực trị.

Vậy $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow 2m+n=21.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+6mx+n.$ Cho $y'\left[ -1 \right]=3-6m+n=0\Leftrightarrow 6m-n=3.$

Mặt khác đồ thị hàm số qua$A\left[ -1;4 \right]$ nên $4=-1+3m-n-2\Leftrightarrow 3m-n=7$

Do đó $\left\{ \begin{matrix}   6m-n=3  \\   3m-n=7  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m=\frac{-4}{3}  \\   n=-11  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-8x-11=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=\frac{11}{3}  \\\end{matrix} \right.$ [thỏa mãn có 2 điểm cực trị].

Chọn A.

Lời giải chi tiết

$y'={{x}^{2}}-\left[ 2m+4 \right]x+{{m}^{2}}+4m+3$

Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=2$ thì \[{{2}^{2}}-\left[ 2m+4 \right].2+{{m}^{2}}+4m+3=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1\]

Với $m=1$ thì $y'={{x}^{2}}-6x+8\Rightarrow y''=2x-6\Rightarrow y''\left[ 2 \right]=-20  \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   3+2a+b=0\text{    }  \\   1+a+b+c=-3  \\   c=2\text{                 }  \\   a>-3\text{               }  \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=3\text{  }  \\   b=-9  \\   c=2\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow f\left[ x \right]={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+2$

$\Rightarrow f\left[ -2 \right]=24.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+2bx+c.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0;x=2\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left[ 0 \right]=c=0\text{           }  \\   y'\left[ 2 \right]=12a+4b=0  \\\end{matrix} \right.[1]$

Lại có $M,N\in \left[ C \right]\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y\left[ 0 \right]=d=2\text{             }  \\   y\left[ 2 \right]=8a+4b+c+2  \\\end{matrix} \right.[2].$

Từ [1] và [2]$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   c=0,d=2  \\   a=1,b=-3  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2.$ Do đó $y\left[ -2 \right]=-18.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

Điểm $E\left[ 0;-4 \right]$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left[ 0 \right]=0\text{  }  \\   y\left[ 0 \right]=-4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   c=0\text{    }  \\   d=-4  \\\end{matrix} \right.[1].$

Điểm $F\left[ -1;-3 \right]$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left[ -1 \right]=0\text{  }  \\   y\left[ -1 \right]=-3  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   3a-2b=0\text{    }  \\   -a+b-4=-3  \\\end{matrix} \right.[2].$

Từ [1] và [2] suy ra $a=2,b=3,c=0,d=-4\Leftrightarrow y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4\Rightarrow y\left[ -2 \right]=-8.$ Chọn A.