Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Page 2
Bởi Nguyễn Quốc Tuấn
Giới thiệu về cuốn sách này
Phương trình lượng giác cosx = m
Điều kiện có nghiệm -1 ≤ m ≤ 1
m là giá trị sin của góc lượng giác đặc biệt
- m = cosα [ α – góc lượng giác đo bằng radian] → cosx = cosα → x = ±α + k2π
- m = cos β0 [ β0 – góc lượng giác đo bằng độ ] → cosx = cosβ0 → x = ± β0 + k3600
m không phải là giá trị sin của góc đặc biệt: cosx = m → x = ± arc cos[m] + k2π
Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác
Hướng dẫn giải toán
Bài tập áp dụng
Bài tập 1
Bài tập 2
1. Phương trình $\sin x = a$ [1]
* $\left| a \right| > 1$: phương trình [1] vô nghiệm.
* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\sin \alpha = a$. Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là:
$x = \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Và $x = \pi - \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ và $\sin \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arcsin \alpha $.
Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là:
$x = \arcsin \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Và $x = \pi - \arcsin \alpha + k2\pi ,k \in Z$.
Phương trình $\sin x = \sin {\beta ^o}$ có các nghiệm là:
$x = {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$
Và $x = {180^o} - {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$.
2. Phương trình $\cos x = a$ [2]
* $\left| a \right| > 1$: phương trình [2] vô nghiệm.
* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\cos \alpha = a$. Khi đó phương trình [2] có nghiệm là:
$x = \pm \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 \le \alpha \le \pi $ và $\cos \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arccos \alpha $.
Khi đó nghiệm của phương trình [2] là:
$x = \pm \arcsin \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Phương trình $\cos x = \cos {\beta ^o}$ có nghiệm là:
$x = \pm {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$
3. Phương trình $\tan x = a$ [3]
Điều kiện của phương trình [3]: $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}$ và $\tan \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arctan \alpha $.
Lúc đó nghiệm của phương trình [3] là:
$x = \arctan \alpha + k\pi ,k \in Z$
Phương trình $\tan x = \tan {\beta ^o}$ có nghiệm là:
$x = {\beta ^o} + k{180^o},k \in Z$
4. Phương trình $\cot x = a$ [4]
Điều kiện của phương trình [4]: $x \ne k\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 < \alpha < \pi $ và $\cot \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \alpha $.
Lúc đó nghiệm của phương trình [4] là:
$x = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \alpha + k\pi ,k \in Z$
Phương trình $\cot x = \cot {\beta ^o}$ có nghiệm là:
$x = {\beta ^o} + k{180^o},k \in Z$Page 2
SureLRN
Cùng tìm hiểu phương trình lượng giác qua bài viết cùng bài giảng dưới đây nhé!.
Các dạng phương trình lượng giác
Phương trình sinx = m
Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\sin \alpha = m\].
Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = \pi – \alpha +k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]
Phương trình cosx = m
Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm
Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\cos \alpha = m\] .
Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = – \alpha + k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]
Phương trình tanx = m
Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\tan \alpha = m\].
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
\[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k \epsilon \mathbb{Z}]\]
Hoặc \[\tan x = m \Leftrightarrow m – \arctan m + k\pi\] [m bất kỳ]
Chú ý: \[\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\],\[\tan x\] không xác định khi \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi\]
Phương trình cot[x] = m
Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\csc \alpha = m\].
Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
\[\csc x = \csc \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k\epsilon \mathbb{Z}]\]Hoặc \[\cot x = m \Leftrightarrow m = \textrm{arccsc}m + k\pi\] [m bất kỳ]
Chú ý: \[\csc x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\],
\[\csc x\] không xác định khi \[x = k\pi\]
Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:
Phương trình lượng giác chứa tham số
Phương trình lượng giác chứa tham số dạng \[a\sin x + b \cos x = c\] có nghiệm khi và chỉ khi \[a^{2} + b^{2} \geq c^{2}\]
Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:
- Thứ nhất đưa về PT lượng giác cơ bản
- Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm
Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản
- Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
- Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước
Ví dụ: Xác định m để phương trình \[[m^{2} – 3m + 2]\cos ^{2}x = m[m-1]\] [1] có nghiệm.
Cách giải
\[[1]\Leftrightarrow [m-1][m-2]\cos ^{2}x = m [m-1]\] [1’]
Khi m = 1: [1] luôn đúng với mọi \[x\epsilon \mathbb{R}\]
Khi m = 2: [1] vô nghiệm
Khi \[m\neq 1; m\neq 2\] thì:
[1’] \[\Leftrightarrow [m-2]\cos ^{2}x = m \Leftrightarrow \cos ^{2}x = \frac{m}{m-2}\] [2]
Khi đó [2] có nghiệm \[\Leftrightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0\]
Vậy [1] có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, \[m\leq 0\]
Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát
Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g[x,m] = 0 [1]. Xác định m để phương trình [1] có nghiệm \[x\epsilon D\]
Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ t = h[x] trong đó h[x] là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình [1]
- Tìm miền giá trị [điều kiện] của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
- Đưa phương trình [1] về phương trình f[m,t] = 0
- Tính f’[m, t] và lập bảng biến thiên trên miền D1
- Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.
Trênđây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của DINHNGHIA.VN.Nếu có gópý hay băn khoăn thắc mắc gì các bạn bình luận bên dưới nha.Cảmơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé ^^
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:
[Nguồn: www.youtube.com]
Rate this post