Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009PHƯƠNG TRÌNH-BÂT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶA. Phương trình - bất phương trình chứa căn thứcI. Phương pháp biến đổi tương đương1. Kiến thức cần nhớ:[ ][ ][ ][ ]2 22 1 2 12 22 1 2 11.2. 03. ,4. 05. ,nnn nn nn nn na aa b a b aba b a b a ba b a ba b a b a b+ ++ +== ⇔ = >= ⇔ = ∀≥ ≥ ⇔ ≥≥ ⇔ ≥ ∀2. Các dạng cơ bản:* Dạng 1: [ ] [ ][ ][ ] [ ]20g xf x g xf x g x ≥= ⇔=[Không cần đặt điều kiện[ ]0f x ≥]* Dạng 2: [ ] [ ]f x g x> xét 2 trường hợp:TH1: [ ][ ]00g xf x* Dạng 3: [ ] [ ] [ ][ ] [ ]2[ ] 00f xf x g x g xf x g x≥≤ ⇔ ≥≤Lưu ý: + g[x] thường là nhị thức bậc nhất [ax+b] nhưng có một số trường hợp g[x] là tam thức bậc hai[ax2+bx+c], khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho [ ]0g x ≥ rồi bình phương 2 vế đưaphương trình−bất phương trình về dạng quen thuộc.+ Chia đa thức tìm nghiệm: Phương trình 1 20 1 2 10n n nn na x a x a x a x a− −−+ + + + + =L có nghiệm x=αthì chia vế trái cho cho x–α ta được [ ][ ]1 20 1 2 10n nn nx b x b x b x bα− −− −− + + + + =L, tương tự cho bất phươngtrình.* Phương trình−bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng,nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàmsố không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác.* Phương trình−bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trìnhtheo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình−bất phương trình bậc 3và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác.“Cũng như không ?!”Ví dụ 1: Giải phương trình: 013122=+−+− xxx[ĐH Khối D – 2006]Biến đổi phương trình thành: 22 1 3 1x x x− = − + − [*], đặt điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được:028116234=+−+− xxxx ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:[*]⇔ [x – 1]2[x2 – 4x + 2] = 0.Ví dụ 2: Giải bất phương trình: [ ] [ ][ ]224 1 2 10 1 3 2x x x+ ≥ + − +, ĐK: 23−≥x[ ][ ]22 1 5 2 3 2 [ 5] 3 2 9 5pt x x x x x x x x⇔ + + ≥ + + − + ⇔ + + ≥ + [1], Với 32x ≥ − hai vế [1] đều không âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3 0≥[ ] [ ]23 1 0x x⇔ − + ≥b] Tương tự với 2 dạng: * [ ] [ ]f x g x≥* [ ] [ ]f x g x− + +− + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤ ≤ − + < −− < 0 với mọi m.Vậy với m ≥ 2 thì phương trình đã cho có nghiêm.Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 22 3 1x mx x+ − = + có hai nghiệm phân biệt.Giải: Cách 1: [ ]212 4 0,[*]xPTx m x≥ −⇔+ − − =, phương trình [*] luôn có 2 nghiệm:2 21 22 4 20 2 4 200, 02 2m m m m m mx x− + − + − − − += > = 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với 1 0x t≥ − ⇒ ≥.[*] trở thành: [ ] [ ] [ ]21 2 1 4 0t m t− + − − − = [**]. Để [*] có 2 nghiệm 1x ≥ −thì [**] phải có 2 nghiệm 0≥t.Ví dụ 4: [ĐH Khối B – 2006]. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: 22 2 1x mx x+ + = +, [1]Giải: [ ] [ ]22 1 03 4 1 0, 2xptx m x+ ≥⇔− − − = để [1] có hai nghiệm thực phân biệt thì [2] có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 12−hay [ ]24 12 01 902 212 2mf mS∆ = − + > − ≥ ⇔ ≥ ÷ > −.Chú ý : Cách 2: đặt 12t x= +, khi đó để [2] có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 12− thì[ ]21 13 4 1 02 2t m t − − − − − = ÷ ÷ có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0.3. Các kỹ năng:a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một là ta biến đổi cho 2 vế không âmhai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 5 1 1 2 4x x x− − − > − [ĐH Khối A – 2005]Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi thành: 5 1 1 2 4x x x− > − + − khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải.Ví dụ 2: Giải phương trình: [ ] [ ] [ ]21 2 2 1x x x x x− + + =.GiảiĐiều kiện: [ ]12 *0xxx≥≤ −=[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ][ ]2 2 2 222 2 221 2 2 1 2 4 2 1 2 2 14 2 2 18 9 0x x x x x x x x x x xx x x x xx x⇔ + + − + = ⇔ − + = −⇔ + − = −⇔ − =Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến2Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0, 98x =.[Hãy tìm thêm cách giải khác]Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 2 22 4 0x mx x− − − = có nghiệm.HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được 21,2162m mx± −=. Kết hợp với điều kiện ta tìm được |m| ≥ 4.b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích: - Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thứcLưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích Ví dụ 4: Giải phương trình: 27 7x x+ + =.HD:• Bình phương hai vế.• Dùng hằng đẳng thức a2 − b2=0.• Nghiệm 1 292,2x x−= =.Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a. [ ]2241 1xxx> −+ +b. [ ]2 23 2 3 2 0x x x x− − − ≥ĐS: a. −1≤x 0.[ ][ ] [ ]=−+=⇔−=+−⇔]2[,326224223mxxxxmxxpt. Để chứng minh 0>∀m, phương trình [1] có2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình [2] có một nghiệm khác 2.Thật vậy: đặt [ ]3 26 32, 2f x x x x= + − ≥, ta có f[2] = 0, [ ] [ ]' 2lim , 3 12 0, 2xf x f x x x x→+∞= +∞ = + > ∀ ≥nên f[x] là hàm liên tục trên []2; +∞ và đồng biến trên khoảng đó suy ra 0>∀m phương trình [2] luôn cónghiệm x0 mà 2 < x0 < ∞+.Một số dạng chuyển thành tích:- Dạng: [ ] [ ]- -a c x b dax b cx dm++ ± + =Ta biến đổi thành: [ ] [ ][ ]m ax b cx d ax b cx d+ ± + = + − +Ví dụ: Giải phương trình: 34 1 3 25xx x++ − − =. ĐS: x=2.- Dạng: u+v=1+uv ⇔ [u-1][v-1]=0Ví dụ: Giải phương trình: 323 31 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +. ĐS: x=0, x=−1.Ví dụ: Giải phương trình: 3 2441 1x x x x+ + = + +. ĐS: x=0, x=1.- Dạng: au+bv=ab+uv ⇔ [u−b][v−a]=0Ví dụ 1: Giải phương trình: 23 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +. ĐS: x=0, x=1.Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 2 2 23 3 2 3 2 2x x x x x x x+ + + + = + + +. ĐS: x=0.- Dạng: a3−b3 ⇔ [a−b][a2+ab+b2]=0 ⇔ a=bVí dụ: Giải phương trình: [ ] [ ]22332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + +. ĐS: x=1.c. Chuyển về dạng: A1 + A2 + + An = 0 với ,0 1iA i n≥ ≤ ≤ khi đó pt tương đương với:, ,1 20 0 0LnA A A= = =.Ví dụ 1: Giải phương trình:24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x+ + = + + −.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến3Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009HD: Phương trình tương đương [ ] [ ]24 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x− + + + − − + − =. ĐS: x=1.Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 24 2 4x y y x y− − + = +.GiảiBình phương hai vế ta được [ ] [ ] [ ][ ]2 2212 1 2 2 2 4 0 , 2.2x y y x y x y− + + + + + = ⇔ = = −d. Sử dụng lập phương:Với dạng tổng quát 3 3 3a b c± = ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức[ ] [ ]33 33a b a b ab a b± = ± ± ± khi đó phương trình tương đương với hệ 3 3 333a b ca b abc c± =± ± =. Giải hệ này ta cónghiệm của phương trình.Ví dụ: Giải bất phương trình 3 3 31 2 2 3x x x− + − = −. ĐS: 31; 2;2x x x= = =.e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:Ví dụ 1: Giải bất phương trình: [ ][ ]22 1673 13 3xxxx x−−+ − >− − [ĐH Khối A−2004]GiảiĐK: 4≥x. [ ][ ] [ ]2 21 2 16 3 7 2 16 10 2⇔ − + − > − ⇔ − > −x x x x x [ ][ ]224510 2 010 2 010 34 52 16 10 2xxxxxx x≥⇔ >− −Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 10 34> −x.- TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng trường hợp:Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a. [ ]2 23 4 9x x x− + ≤ −b. 251 211x xx− −3 và x.Bài tậpBài 1: Giải các phương trình sau:a. [ ]22 1 1 0x x x x x x− − − − + − =.HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành: 2 2 3 22 4 4 6 4 0x x x x x x x x− − − + − + − =.2 2[ 2][2 2 2] 0x x x x x⇔ − − + − + =b. 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − − = +. HD: Nhân lượng liên hợp.Bài 2: Giải bất phương trình sau: 21 2 1 2 2 .x x x− + + ≥ −HD: Cách 1: Đặt 4 2241 2 1 216t tt x x x−= − + + ⇒ = −. Cách 2: Bình phương rồi đưa về dạng:A1+A2 = 0, với A1, A2 0≥.Bài 3: Giải phương trình 4 3 10 3 2x x− − = −. [HD: Bình phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy đủ_nhẩm nghiệm [x=3] chia đa thức]. Bài 4: Giải phương trình 221 13x x x x+ − = + −.Bài 5: Giải phương trình 22 6 1 1x x x+ + = +.Bài 6: Giải các phương trình sau:Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến4Trường THPT Thanh Chương 1 2008-20091. 21 1x x− = +2. 3 32 2 3 1x x− + − =3. 3 3 32 2 2 9x x x+ + − =4. 33 31 1 2x x x− + + =5. 21 1 24xx x+ + − = −6. 22 3 3 14xx x− ++ = + +7. 5 3 3 1 1x x x− + − = −. [HD:Bình phương rồi sử dụng dạng: A1+A2 = 0, với A1, A2 0≥].Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x m x m+ + − =.Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: 24x x x m− = +.a. Có nghiệm.b. Có hai nghiệm phân biệt.Bài 9: Giải các bất phương trình sau:a. 21 1 43xx− − = = − +4. 21 1 24xx x+ + − ≤ −.Bài 3: Giải các phương trình sau:1. 3 312 14 2x x− + + =2. 33 31 3 2x x− − − =3. 2 3 21 2 1 3x x− + − =4. 22 2x x− + = −5. 21 1 24xx x+ + − = − [đặt 1 1t x x= + + −].III. Phương pháp hàm sốCác tính chất:Tính chất 1: Nếu hàm f tăng [hoặc giảm] trên khoảng [a;b] thì phương trình f[x]=k [k∈R] có không quá mộtnghiệm trong khoảng [a;b].Tính chất 2: Nếu hàm f tăng [hoặc giảm] trên khoảng [a;b] thì ∀u, v ∈[a,b] ta có [ ][ ]f u f v u v= ⇔ =.Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng [a;b] thì phương trình f[x]=g[x] có nhiềunhất một nghiệm thuộc khoảng [a;b].Định lý Lagrange: Cho hàm số F[x] liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'[x] trên khoảng [a;b] thì [ ]bac ;∈∃:[ ][ ] [ ]'F b F aF cb a−=−. Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F[b] – F[a] = 0 thì[ ] [ ] [ ]; : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ = có nghiệm thuộc [a;b].Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f[x] lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f[x]=0 sẽ không có quá hai nghiệmthuộc D. Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f[x] = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f[x] đồng biến[nghịch biến] suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f[x] = g[x], nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f[x]đồng biến còn g[x] nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f[u] = f[v] chứng minh f[x] đơn điệu khi đó ta có: u = v.Ví dụ: Giải phương trình: 24 1 4 1 1x x− + − =ĐK: 12x ≥. Đặt [ ]24 1 4 1f x x x= − + −. Miền xác định: 12x ≥, [ ]'22 404 14 1xf xxx= + >−−.Do đó hàm số đồng biến với 12x ≥, nên phương trình nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Thấy 12x = lànghiệm của phương trình.Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:Xét phương trình f[x,m] = g[m], [1]B1: Lập luận số nghiệm phương trình [1] là số giao điểm của đồ thị [C ]: y = f[x,m] và đường thẳng d: y = g[m].B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f[x,m] B3: Kết luận: * phương trình có nghiệm: [ ] [ ] [ ]min , max ,x Dx Df x m g m f x m∈∈≤ ≤.* phương trình có k nghiệm: d cắt [C] tại k điểm.* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt [C ] .Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 2 21 1x x x x m+ + − − + =có nghiệm.TXĐ: RChuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến9Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Xét hs: [ ]2 21 1y f x x x x x= = + + − − +, Df = R, 2 22 1 2 1'1 1+ −= −+ + − +x xyx x x x[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ][ ][ ]' 2 22 22 22 1 2 1 00 2 1 1 2 1 12 1 1 2 1 1− + >= ⇔ − + + = + − + ⇔− + + = + − +x xy x x x x x xx x x x x x [v.nghiệm]Mặt khác: f’[0] = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến.Giới hạn: 2 22 22lim lim 11 12lim lim 11 1x xx xxx x x xxx x x x→−∞ →−∞→+∞ →+∞= = −+ + + − += =+ + + − +BBT: x ∞−∞+y’ +y 1−1Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 < m < 1.Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tậpgiá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìmgiới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 3 1mx x m− − ≤ +, ĐK: 3x ≥1 31xbpt mx+ −⇔ ≥−, xét hs [ ]21 3 5'12 3 1x xy yxx x+ − −= ⇒ =−− −. '0 5y x= ⇔ =. lim 0xy→+∞= và f[3] = 12.BBT:x 3 5∞+y’ + 0 − y y[5] 12 0Vậy bất phương trình có nghiệm [ ]3 154y m m+⇔ ≥ ⇔ ≤Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: [ ]12 5 4x x x m x x+ + = − + − có nghiệm.Giải: ĐK: 0 4x≤ ≤[ ][ 12] 5 4pt x x x x x m⇔ + + − + − = xét hs [ ][ ][ 12] 5 4y f x x x x x x= = + + − + −. Miền xácđịnh: [ ]0;4D =Nhận xét: Hàm số [ ]12h x x x x= + + đồng biến trên D.Hàm số [ ]5 4g x x x= − + − đồng biến trên D.Suy ra y = f[x] = h[x].g[x] là hàm đồng biến trên D. Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi[ ] [ ]0 4f m f≤ ≤Ví dụ 4: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 23 1x m x+ = +Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng: 231xmx+=+Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của [C]: 231xyx+=+ và đường thẳng: y = m.Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ GV: Nguyễn Cảnh Chiến10Trường THPT Thanh Chương 1 2008-2009Lập BBT :x∞−1/3 ∞+y’ + 0 −y 101−1KL:1 10m m≤ − ∨ >: phương trình vô nghiệm.1 1m− < ≤hoặc 10=m: phương trình có nghiệm duy nhất.1 10m<