Giải và biện luận phương trình ax^2+bx + c = 0 Tin học

• lý thuyết
• trắc nghiệm
• hỏi đáp
• bài tập sgk

Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0

Các câu hỏi tương tự

• Toán lớp 10
• Ngữ văn lớp 10
• Tiếng Anh lớp 10

Đề bài

Mô tả thuật toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát bằng cách liệt kê hoặc bằng sơ đồ khối.

Lời giải chi tiết

• Xác định bài toán:

- Input: Các số thực a, h, c (a≠0).

- Output: Các số thực X thoả mãn ax2 + bx + c = 0.

• Ý tưởng:

- Tính d = b2 - 4ac.

- Lần lượt xét ba trường hợp cho giá trị d:

+ nếu d < 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm ;

+ nếu d = 0 thì kết luận phương trình có một nghiệm x =-b/2a;

+ nếu d > 0 thì kết luận phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x = (-b ± √d) / 2a.

• Thuật toán:

Mô tả thuật toán bằng cách liệt kê:

Bước I. Nhập ba số a, b, c;

Bước 2. d ← (b*b - 4*a*c);

Bước 3.

nếu d < 0 thì đưa ra thông báo phương trình vô nghiệm rồi kết thúc;

nếu d = 0 thì đưa ra thông báo phương trình có một nghiệm và tính nghiệm

x = -b/(2*a), rồi kết thúc;

nếu d> 0 thì đưa ra thông báo phương trình có hai nghiệm phân biệt, tính nghiệm x1= (-b + -√d) / (2*a) và x2 = (-b - √ d ) / (2*a), rồi kết thúc;

Mô tả thuật toán theo sơ đồ khối: 

Loigiaihay.com

Your browser isn’t supported anymore. Update it to get the best YouTube experience and our latest features. Learn more

• 
• 
• 
• 

Remind me later

Thủ tục lục giác (Tin học - Lớp 5)

1 trả lời

Tính (Tin học - Lớp 6)

1 trả lời

Viết các công thức excel phù hợp câu hỏi (Tin học - Lớp 7)

2 trả lời

Rùa đi lùi: BK; LT; RD; RT; CS; CT (Tin học - Lớp 4)

5 trả lời

Giải và biện luận phương trình bậc 2 là dạng toán quan trọng, không chỉ xuất hiện trong các đề thi học kì, đề thi HSG mà còn xuất hiện cả trong các bài tập Tin học, lập trình.

Xem thêm: Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

1. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2

Để giải và biện luận phương trình bậc 2, chúng ta tính $\Delta$ và dựa vào đó để biện luận. Chú ý rằng, trong thực tế chúng ta thường gặp bài toán tổng quát: Giải và biện luận phương trình $ax^2+bx+c=0$ với hệ số $a$ có chứa tham số. Lúc đó, quy trình giải và biện luận như sau.

Bài toán: Giải và biện luận phương trình $ax^2+bx+c=0$

Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

• Trường hợp 1. Nếu $a=0$ thì phương trình $ax^2+bx+c=0$ trở thành $$bx+c=0$$ Đây chính là dạng phương trình bậc nhất $ax+b=0$ đã biết cách giải. Các em học sinh xem chi tiết tại Giải và biện luận phương trình ax+b=0
• Trường hợp 2. Nếu $a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: $$\Delta=b^2-4ac$$ Chúng ta lại xét tiếp 3 khả năng của $\Delta$:
  • $\Delta<0$: Phương trình vô nghiệm;
  • $\Delta=0$: Phương trình có một nghiệm $ x=\frac{-b}{2a}$, đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;
  • $\Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm (phân biệt), đặt là $ x_1,x_2$ được tính bởi $$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. $$

Cuối cùng, chúng ta tổng hợp các trường hợp lại thành một kết luận chung.

2. Ví dụ Giải và biện luận phương trình bậc 2

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$2x^2+3x+m-5=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta có có $ \Delta=3^2-4\cdot 2\cdot(m-5)=49-8m$. Do đó, có 3 trường hợp sau:

• Trường hợp 1. Nếu $ \Delta <0 \Leftrightarrow m>\frac{49}{8}$ thì phương trình vô nghiệm.
• Trường hợp 2. Nếu $ \Delta =0 \Leftrightarrow m=\frac{49}{8}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{3}{4}$.
• Trường hợp 3. Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<\frac{49}{8}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ x=\frac{-3\pm\sqrt{49-8m}}{4}.$$

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$x^2-x+m=0.$$

Hướng dẫn. Chúng ta có $ \Delta=(-1)^2-4m=1-4m$ và xét 3 trường hợp:

• Trường hợp 1. Nếu $ \Delta <0 \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.
• Trường hợp 2. Nếu $ \Delta =0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{1}{2}$.
• Trường hợp 3. Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<\frac{1}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ x=\frac{1\pm\sqrt{1-4m}}{2}.$$

Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m-1)x^2+3x+5=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp chính:

• Trường hợp 1. Nếu $ m-1=0 \Leftrightarrow m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+3x+5=0 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{3} $$
• Trường hợp 2. Nếu $ m-1\ne 0 \Leftrightarrow m\ne 1$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta=3^2-4\cdot 5\cdot(m-1)=29-20m $$ Trường hợp này lại có 3 khả năng sau:
  • $ \Delta<0 \Leftrightarrow m>\frac{29}{20}$ thì phương trình vô nghiệm;
  • $ \Delta=0 \Leftrightarrow m=\frac{29}{20}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{3}{2(m-1)}=-\frac{10}{3}$;
  • $ \Delta>0 \Leftrightarrow m<\frac{29}{20}$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=\frac{-3\pm \sqrt{29-20m}}{2(m-1)}$.

Tóm lại, chúng ta có kết luận sau:

• $ m>\frac{29}{20}$: Phương trình vô nghiệm;
• $ m=\frac{29}{20}$ hoặc $ m=1$: Phương trình có một nghiệm;
• $ m<\frac{29}{20}$ và $ m\ne 1$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$mx^2+2mx+m-4=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp chính:

• Trường hợp 1. Nếu $ m=0$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+0x-4=0$$ Phương trình này rõ ràng vô nghiệm.
• Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta’=m^2-m(m-4)=4m. $$ Vì $ m\ne 0$ nên trường hợp này lại có 2 khả năng sau:
  • $ \Delta<0 \Leftrightarrow m<0$ thì phương trình vô nghiệm;
  • $ \Delta>0 \Leftrightarrow m>0$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=\frac{-m\pm \sqrt{4m}}{m}$.

Như vậy, chúng ta có kết luận sau:

• $ m\leqslant 0$: Phương trình vô nghiệm;
• $ m>0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m^2-1)x^2+6(m-1)x+9=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

• Trường hợp 1. Nếu $ m^2-1=0 \Leftrightarrow m=\pm 1$. Đến đây, có hai khả năng:
  • Nếu $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+0x+9=0 $$ Phương trình này rõ ràng vô nghiệm.
  • Nếu $ m=-1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2-12x+9=0 $$ Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{3}{4}$.
• Trường hợp 2. Nếu $ m\ne \pm 1$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta’=9(m-1)^2-9\cdot (m^2-1) =18-18m$$ Chúng ta lại thấy trường hợp này có 3 khả năng:
  • Nếu $ \Delta<0 \Leftrightarrow m>1$ thì phương trình vô nghiệm;
  • Nếu $ \Delta=0 \Leftrightarrow m=1$, khả năng này không xảy ra vì chúng ta đang xét trường hợp 2 có điều kiện là $ m\ne \pm 1;$
  • Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<1$, phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=-3(m-1)\pm\sqrt{18-18m}$.

Tóm lại, chúng ta có kết luận sau:

• Khi $ m \geqslant 1$: Phương trình vô nghiệm;
• Khi $ m=-1$: Phương trình có một nghiệm;
• Khi $ m<1$ và $ m\ne -1$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m^2-4)x^2+3mx-6=0$$

Hướng dẫn. Chúng ta

Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hai đồ thị hàm số $y = -x^2 – 2x + 3$ và $y = x^2 – m$ có điểm chung?

Hướng dẫn. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = -x^2 – 2x + 3$ và $y = x^2 – m$ là nghiệm của phương trình $$y = -x^2 – 2x + 3= x^2 – m$$ Do đó, hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm.

3. Tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm, 4 nghiệm…

Ngoài việc biện luận phương trình bậc hai, chúng ta còn gặp một số phương trình quy về bậc 2. Cụ thể xin xem trong ví dụ sau:

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt $$(x^2 – 3x + m)(x – 1) = 0$$

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align} \left[\begin{array}{lr} x-1=0&(1)\\ x^2 – 3x + m=0&(2)
\end{array}\right. \end{align}

Rõ ràng rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm $x=1$. Do đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt và khác $1$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = 9-4m >0\\ 1^2-3+m\ne 0
\end{cases} $$ Giải hệ này tìm được điều kiện $ m<\frac{9}{4}$ và $ m\ne 2.$

Ví dụ 2. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt $$x^3-3mx^2+2mx+m-1= 0$$

Hướng dẫn. Chúng ta đoán được phương trình $x^3-3mx^2+2mx+m-1= 0$ có nghiệm $x=1$ nên phân tích phương trình đã cho thành $$\left( x-1\right) \left( x^{2}+\left( 1-3m\right) x-m+1\right) =0$$

Do đó, phương trình đã cho tương đương với \begin{align} \left[\begin{array}{lr} x-1=0&(1)\\ x^{2}+\left( 1-3m\right) x-m+1=0&(2) \end{array}\right. \end{align} Do đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác $1$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = (1-3m)^2-4(1-m) >0\\ 1^2+(1-3m)-m+1\ne 0 \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được điều kiện $ m<\frac{1-2\sqrt{7}}{9}$ hoặc $ m>\frac{1+2\sqrt{7}}{9}.$

Ví dụ 3. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$\frac{x^2-2x+m}{x-3} = 0$$

Hướng dẫn. Ta có điều kiện xác định của phương trình là $x\ne 3$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$x^2-2x+m=0(*)$$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện, tức phải khác $3$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = 2^2-4m >0\\ 3^2-2\cdot 3+m\ne 0 \end{cases} $$ Từ đó tìm được đáp số

Ví dụ 4. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$\frac{mx^2-2(m-1)x+m}{\sqrt{x – 2}} = 0$$

Hướng dẫn. Ta có điều kiện xác định là $x>2$. Cần tìm điều kiện để phương trình $mx^2-2(m-1)x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện $x>2$.

Ví dụ 5. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt $$x^4-3mx^2+5= 0$$

Hướng dẫn. Ta đặt $t=x^2$ thì có điều kiện của $t$ là $t>0$. Phương trình đã cho trở thành phương trình bậc 2 ẩn $t$ $$t^2-3mt+5$$ Nhận thấy rằng với mỗi nghiệm $t>0$ thì tìm được 2 nghiệm $x$ là $\pm\sqrt{t}$. Nên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ẩn $t$ có 2 nghiệm $t$ phân biệt và dương. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta >0\\ S>0\\ P>0 \end{cases} $$