Giải phương trình bậc 3 bằng phương pháp Cardano
Bài viết hướng dẫn một số ít cách giải phương trình bậc 3 tổng quát : nghiên cứu và phân tích nhân tử, giải pháp Cardano, chiêu thức lượng giác hóa – hàm hyperbolic. Tùy vào những phương trình bậc 3 ( phương trình bậc ba ) sẽ có những cách giải tương thích để thu được lời ngắn gọn, dễ hiểu . A. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 TỔNG QUÁT 2. Phương pháp Cardano Khi đó, phương trình $(2)$ có ba nghiệm phân biệt: ${y_1} = {u_0} + {v_0}$, ${y_2} = – \frac{1}{2}\left( {{u_0} + {v_0}} \right) + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{u_0} – {v_0}} \right)$, ${y_3} = – \frac{1}{2}\left( {{u_0} + {v_0}} \right) – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {{u_0} – {v_0}} \right).$ 3. Phương pháp lượng giác hoá
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Bạn đang đọc: Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát – https://wikifin.net Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử. Trước khi nghĩ tới công thức Cardano, ta thử quy đồng phương trình: $3{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0.$ Đại lượng $3{x^2} + 3x + 1$ gợi ta đến hằng đẳng thức quen thuộc sau: ${x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^3}.$ Do đó phương trình tương đương: ${\left( {x + 1} \right)^3} = – 2{x^3}$ $ \Leftrightarrow x + 1 = – \sqrt[3]{2}x.$ Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: $x = \frac{{ – 1}}{{1 + \sqrt[3]{2}}}.$ Nhận xét : Ví dụ trên là một phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ và được giải nhờ khôn khéo biến hóa đẳng thức. Tuy nhiên, những bài đơn thuần như thế này không có nhiều. Sau đây ta sẽ đi sâu vào công thức Cardano : Ví dụ 2. Giải phương trình: ${x^3} – 3{x^2} + 4x + 11 = 0.$ Đặt $x = y + 1$, thế vào phương trình đầu bài, ta được: ${y^3} + 1.y + 13 = 0.$ Tính $\Delta = {13^2} + \frac{4}{{27}}{.1^3}$ $ = \frac{{4567}}{{27}} \ge 0.$ Áp dụng công thức Cardano suy ra: $y = \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 + \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}}$ $ + \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 – \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}}.$ Suy ra: $x = \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 + \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}}$ $ + \sqrt[3]{{\frac{{ – 13 – \sqrt {\frac{{4567}}{{27}}} }}{2}}} + 1.$ Nhận xét : Ví dụ trên là một ứng dụng cơ bản của công thức Cardano. Tuy nhiên, công thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong những kì thi học viên giỏi. Vì thế, có lẽ rằng tất cả chúng ta sẽ cố gắng nỗ lực tìm một con đường “ hợp thức hóa ” những giải thuật trên, đó là chiêu thức lượng giác hoá. Đầu tiên xét phương trình dạng USD x ^ 3 + px + q = 0 USD với USD p < 0 USD và có USD 1 USD nghiệm thực : Ví dụ 3. Giải phương trình: ${x^3} + 3{x^2} + 2x – 1 = 0.$
Xem thêm: Lệnh chờ Buy Limit và Sell Limit là gì? – https://wikifin.net Đầu tiên đặt $x=y-1$ ta đưa về phương trình ${y^3} – y – 1 = 0$ $(1)$, đến đây ta dùng lượng giác như sau: Nếu $\left| y \right| < \frac{2}{{\sqrt 3 }}$, suy ra $\left| {\frac{{\sqrt 3 }}{2}y} \right| < 1$, do đó tồn tại $\alpha \in \left[ {0,\pi } \right]$ sao cho $\frac{{\sqrt 3 }}{2}y = \cos \alpha .$ Phương trình tương đương $\frac{8}{{3\sqrt 3 }}{\cos ^3}\alpha – \frac{2}{{\sqrt 3 }}\cos \alpha – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 3\alpha = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$ (vô nghiệm). Do đó $\left| y \right| \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }}$. Như vậy luôn tồn tại $t$ thỏa $y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)$ $(*).$ Thế vào $(1)$ ta được phương trình $\frac{{{t^3}}}{{3\sqrt 3 }} + \frac{1}{{3\sqrt 3 {t^3}}} – 1 = 0$, việc giải phương trình này không khó, xin dành cho bạn đọc. Ta tìm được nghiệm: $x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left[ {\sqrt[3]{{\frac{1}{2}\left( {3\sqrt 3 – \sqrt {23} } \right)}} + \frac{1}{{\sqrt[3]{{\frac{1}{2}\left( {3\sqrt 3 – \sqrt {23} } \right)}}}}} \right] – 1.$ Nhận xét: Câu hỏi đặt ra là: “Sử dụng phương pháp trên như thế nào?”. Muốn trả lời, ta cần làm sáng tỏ hai vấn đề: + Vấn đề 1. Có luôn tồn tại $t$ thoả mãn cách đặt trên? Đáp án là không. Coi $(*)$ là phương trình bậc hai theo $t$ ta sẽ tìm được điều kiện $\left| y \right| \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$ Thật ra có thể tìm nhanh bằng cách dùng bất đẳng thức AM – GM: $\left| y \right| = \left| {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)} \right|$ $ = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\left| t \right| + \frac{1}{{\left| t \right|}}} \right) \ge \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$ Vậy trước hết ta phải chứng minh $(1)$ không có nghiệm $\left| y \right| < \frac{2}{{\sqrt 3 }}.$ + Vấn đề 2. Vì sao có số $\frac{2}{{\sqrt 3 }}$? Ý tưởng của ta là từ phương trình $x^3+px+q=0$ đưa về một phương trình trùng phương theo $t^3$ qua cách đặt $x = k\left( {t + \frac{1}{t}} \right).$ Khai triển và đồng nhất hệ số ta được $k = \sqrt {\frac{{ – p}}{3}} .$ Sau đây là phương trình dạng $x^3+px+q=0$ với $p < 0$ và có $3$ nghiệm thực: Ví dụ 4. Giải phương trình: ${x^3} – {x^2} – 2x + 1 = 0.$ Đặt $y = x – \frac{1}{3}$, ta được phương trình: ${y^3} – \frac{7}{3}y + \frac{7}{{27}} = 0$ $(*).$ Với $\left| y \right| < \frac{{2\sqrt 7 }}{3}$ thì $\left| {\frac{{3y}}{{2\sqrt 7 }}} \right| < 1$, do đó tồn tại $\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]$ sao cho $\cos \alpha = \frac{{3y}}{{2\sqrt 7 }}$ hay $y = \frac{{2\sqrt 7 \cos \alpha }}{3}.$ Thế vào $(*)$, ta được: $\cos 3\alpha = – \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}$, đây là phương trình lượng giác cơ bản. Dễ dàng tìm được ba nghiệm của phương trình ban đầu: ${x_1} = \frac{{2\sqrt 7 }}{3}\cos \left[ {\frac{{\arccos \left( { – \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}} \right)}}{3}} \right] + \frac{1}{3}$, ${x_{2,3}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{3}\cos \left[ {\frac{{ \pm \arccos \left( { – \frac{{\sqrt 7 }}{{14}}} \right)}}{3} + \frac{{2\pi }}{3}} \right] + \frac{1}{3}.$ Do phương trình bậc ba có tối đa $3$ nghiệm phân biệt nên ta không cần xét trường hợp $\left| y \right| \ge \frac{{2\sqrt 7 }}{3}.$ Nhận xét: Ta cũng có thể chứng minh phương trình vô nghiệm khi $\left| y \right| \ge \frac{{2\sqrt 7 }}{3}$ bằng cách đặt $y = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)$ giống như ví dụ 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm. Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ $y = \sqrt {\frac{{ – p}}{3}} \left( {t + \frac{1}{t}} \right)$ $(*)$ như sau: + Nếu phương trình có $1$ nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi $\left| y \right| < 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} $, trường hợp còn lại dùng $(*)$ để đưa về phương trình trùng phương theo $t.$ + Nếu phương trình có $3$ nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi $\left| y \right| \ge 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} $ bằng phép đặt $(*)$ (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo $t$). Khi $\left| y \right| \le 2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} $ thì đặt $\frac{{\left| y \right|}}{{2\sqrt {\frac{{ – p}}{3}} }} = \cos \alpha $, từ đó tìm $α$, suy ra $3$ nghiệm $y.$ Còn khi $p>0$ không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất: Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^3} + 6x + 4 = 0.$
Xem thêm: Giá Trị Sổ Sách Trên 1 Cổ Phiếu ( BVPS) Là Gì? Tính Như Thế Nào? Ý tưởng: Ta sẽ dùng phép đặt $x = k\left( {t – \frac{1}{t}} \right)$ để đưa về phương trình trùng phương. Để ý phép đặt này không cần điều kiện của $x$, vì nó tương đương $k\left( {{t^2} – 1} \right) – xt = 0.$ Phương trình trên luôn có nghiệm theo $t$. Như vậy từ phương trình đầu ta được: ${k^3}\left( {{t^3} – \frac{1}{{{t^3}}}} \right) – 3{k^3}\left( {t – \frac{1}{t}} \right)$ $ + 6k\left( {t – \frac{1}{t}} \right) + 4 = 0.$ Cần chọn $k$ thỏa $3{k^3} = 6k$ $ \Rightarrow k = \sqrt 2 .$ Vậy ta có lời giải bài toán như sau: Đặt $x = \sqrt 2 \left( {t – \frac{1}{t}} \right)$, ta có phương trình: $2\sqrt 2 \left( {{t^3} – \frac{1}{{{t^3}}}} \right) + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow {t^6} – 1 + \sqrt 2 {t^3} = 0$ $ \Leftrightarrow {t_{1,2}} = \sqrt[3]{{\frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}}.$ Lưu ý rằng ${t_1}{t_2} = – 1$ theo định lí Vi-ét nên ta chỉ nhận được một giá trị của $x$ là: $x = {t_1} + {t_2}$ $ = \sqrt 2 \left( {\sqrt[3]{{\frac{{ – 1 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}} + \sqrt[3]{{\frac{{ – 1 – \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}}}} \right).$ Ví dụ 6. Giải phương trình $4{x^3} – 3x = m$ với $\left| m \right| > 1.$ Nhận xét rằng khi $\left| x \right| \le 1$ thì $\left| {VT} \right| \le 1 < \left| m \right|$ (sai) nên $\left| x \right| \ge 1.$ Vì vậy ta có thể đặt $x = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{t}} \right)$, ta được phương trình: $\frac{1}{2}\left( {{t^3} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right) = m.$ Từ đó: $t = \sqrt[3]{{m \pm \sqrt {{m^2} – 1} }}$ $ \Rightarrow x = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[3]{{m + \sqrt {{m^2} – 1} }} + \sqrt[3]{{m – \sqrt {{m^2} – 1} }}} \right).$ Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình. Giả sử phương trình có nghiệm ${x_0}$ thì ${x_0} \notin \left[ { – 1;1} \right]$ vì $\left| {{x_0}} \right| > 1.$ Khi đó: $4{x^3} – 3x = 4x_0^3 – 3{x_0}$ $ \Leftrightarrow \left( {x – {x_0}} \right)\left( {4{x^2} + 4x{x_0} + 4x_0^2 – 3} \right) = 0.$ Xét phương trình: $4{x^2} + 4x{x_0} + 4x_0^2 – 3 = 0.$ Ta có: $\Delta ‘ = 12 – 12x_0^2 < 0$ nên phương trình bậc hai này vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: $x = \frac{1}{2}\left( {\sqrt[3]{{m + \sqrt {{m^2} – 1} }} + \sqrt[3]{{m – \sqrt {{m^2} – 1} }}} \right).$
Source: https://wikifin.net |