Bài 1 Phân thức đại số Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1. Giải bài 1, 2, 3, 1.1 trang 23, 24 Sách bài tập Toán 8 tập 1. Câu 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau…
Câu 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:
a. \[{{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\]
b. \[{{{x^2}\left[ {x + 2} \right]} \over {x{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = {x \over {x + 2}}\]
c. \[{{3 – x} \over {3 + x}} = {{{x^2} – 6x + 9} \over {9 – {x^2}}}\]
d. \[{{{x^3} – 4x} \over {10 – 5x}} = {{ – {x^2} – 2x} \over 5}\]
a. \[{x^2}{y^3}.35xy = 35{x^3}{y^4};5.7{x^3}{y^4} = 35{x^3}{y^4}\]
\[ \Rightarrow {x^2}{y^3}.35xy = 5.7{x^3}{y^4}\]. Vậy \[{{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\]
b. \[{x^2}\left[ {x + 2} \right].\left[ {x + 2} \right] = {x^2}{\left[ {x + 2} \right]^2};x{\left[ {x + 2} \right]^2}.x = {x^2}{\left[ {x + 2} \right]^2}\]
\[ \Rightarrow {x^2}\left[ {x + 2} \right].\left[ {x + 2} \right] = x{\left[ {x + 2} \right]^2}x\].
Vậy \[{{{x^2}\left[ {x + 2} \right]} \over {x{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = {x \over {x + 2}}\]
c. \[\left[ {3 – x} \right]\left[ {9 – {x^2}} \right] = 27 – 3{x^2} – 9x + {x^3}\]
\[\left[ {3 + x} \right]\left[ {{x^2} – 6x + 9} \right] = 3{x^2} – 18x + 27 + {x^3} – 6{x^2} + 9x = 27 – 3{x^2} – 9x + {x^3}\]
\[ \Rightarrow \left[ {3 – x} \right]\left[ {9 – {x^2}} \right] = \left[ {3 + x} \right]\left[ {{x^2} – 6x + 9} \right]\].
Vậy \[{{3 – x} \over {3 + x}} = {{{x^2} – 6x + 9} \over {9 – {x^2}}}\]
d. \[\left[ {{x^3} – 4x} \right].5 = 5{x^3} – 20x;\left[ {10 – 5x} \right]\left[ { – {x^2} – 2x} \right] = – 10{x^2} – 20x + 5{x^3} + 10{x^2} = 5{x^3} – 20x\]
\[ \Rightarrow \left[ {{x^3} – 4x} \right].5 = \left[ {10 – 5x} \right]\left[ { – {x^2} – 2x} \right]\]
Vậy \[{{{x^3} – 4x} \over {10 – 5x}} = {{ – {x^2} – 2x} \over 5}\]
Câu 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:
a. \[{A \over {2x – 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} – 1}}\]
b. \[{{4{x^2} – 3x – 7} \over A} = {{4x – 7} \over {2x + 3}}\]
c. \[{{4{x^2} – 7x + 3} \over {{x^2} – 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\]
d. \[{{{x^2} – 2x} \over {2{x^2} – 3x – 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\]
a. \[{A \over {2x – 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} – 1}}\]
\[ \Rightarrow A\left[ {4{x^2} – 1} \right] = \left[ {2x – 1} \right].\left[ {6{x^2} + 3x} \right]\]
\[ \Rightarrow A\left[ {2x – 1} \right]\left[ {2x + 1} \right] = \left[ {2x – 1} \right].3x\left[ {2x + 1} \right]\]
\[ \Rightarrow A = 3x\]
Ta có: \[{{3x} \over {2x – 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} – 1}}\]
b. \[{{4{x^2} – 3x – 7} \over A} = {{4x – 7} \over {2x + 3}}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \left[ {4{x^2} – 3x – 7} \right]\left[ {2x + 3} \right] = A\left[ {4x – 7} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {4{x^2} + 4x – 7x – 7} \right]\left[ {2x + 3} \right] = A\left[ {4x – 7} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left[ {x + 1} \right] – 7\left[ {x + 1} \right]} \right]\left[ {2x + 3} \right] = A\left[ {4x – 7} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {x – 1} \right]\left[ {4x – 7} \right]\left[ {2x + 3} \right] = A\left[ {4x – 7} \right] \cr & \Rightarrow A = \left[ {x + 1} \right]\left[ {2x + 3} \right] = 2{x^2} + 3x + 2x + 3 = 2{x^2} + 5x + 3 \cr} \]
Ta có: \[{{4{x^2} – 3x – 7} \over {2{x^2} + 5x + 3}} = {{4x – 7} \over {2x + 3}}\]
c. \[{{4{x^2} – 7x + 3} \over {{x^2} – 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \left[ {4{x^2} – 7x + 3} \right].\left[ {{x^2} + 2x + 1} \right] = A.\left[ {{x^2} – 1} \right]\left[ {{\pi \over 2} – \theta } \right] \cr & \Rightarrow \left[ {4{x^2} – 4x – 3x + 3} \right].{\left[ {x + 1} \right]^2} = A\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 1} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left[ {x – 1} \right] – 3\left[ {x – 1} \right]} \right].{\left[ {x + 1} \right]^2} = A\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 1} \right] \cr & \Rightarrow \left[ {x – 1} \right]\left[ {4x – 3} \right]{\left[ {x + 1} \right]^2} = A\left[ {x + 1} \right]\left[ {x – 1} \right] \cr & \Rightarrow A = \left[ {4x – 3} \right]\left[ {x + 1} \right] = 4{x^2} + 4x – 3x – 3 = 4{x^2} + x – 3 \cr} \]
Ta có: \[{{4{x^2} – 7x + 3} \over {{x^2} – 1}} = {{4{x^2} + x – 3} \over {{x^2} + 2x + 1}}\]
d. \[{{{x^2} – 2x} \over {2{x^2} – 3x – 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\]
\[\eqalign{ & \Rightarrow \left[ {{x^2} – 2x} \right].A = \left[ {2{x^2} – 3x – 2} \right]\left[ {{x^2} + 2x} \right] \cr & \Rightarrow x\left[ {x – 2} \right].A = \left[ {2{x^2} – 4x + x – 2} \right].x\left[ {x + 2} \right] \cr & \Rightarrow x\left[ {x – 2} \right].A = \left[ {2x\left[ {x – 2} \right] + \left[ {x – 2} \right]} \right].x\left[ {x + 2} \right] \cr & \Rightarrow x\left[ {x – 2} \right].A = \left[ {2x + 1} \right]\left[ {x – 2} \right].x.\left[ {x + 2} \right] \cr & \Rightarrow A = \left[ {2x + 1} \right]\left[ {x + 2} \right] = 2{x^2} + 4x + x + 2 = 2{x^2} + 5x + 2 \cr} \]
Ta có : \[{{{x^2} – 2x} \over {2{x^2} – 3x – 2}} = {{{x^2} + 2x} \over {{x^2} + 2x + 1}}\]
Câu 3: Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng.
a. \[{{5x + 3} \over {x – 2}} = {{5{x^2} + 13x + 6} \over {{x^2} – 4}}\]
b. \[{{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\]
c. \[{{{x^2} – 2} \over {{x^2} – 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\]
d. \[{{2{x^2} – 5x + 3} \over {{x^2} + 3x – 4}} = {{2{x^2} – x – 3} \over {{x^2} + 5x + 4}}\]
a. \[\left[ {5x + 3} \right]\left[ {{x^2} – 4} \right] = 5{x^3} – 20x + 3{x^3} – 12\]
\[\left[ {x – 2} \right]\left[ {5{x^2} + 13x + 6} \right] = 5{x^3} + 13{x^2} + 6x – 10{x^2} – 26x – 12 = 5{x^3} – 20x + 3{x^2} – 12\]
Đẳng thức đúng.
b. \[\left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} + 6x + 9} \right] = {x^3} + 6{x^2} + 9x + {x^2} + 6x + 9 = {x^3} + 7{x^2} + 15x + 9\]
\[\left[ {x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 3} \right] = {x^3} + 3x + 3{x^2} + 9 \Rightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {{x^2} + 6x + 9} \right] \ne \left[ {x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 3} \right]\]
Đẳng thức sai
\[{{x + 1} \over {x + 3}} \ne {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\].
Sửa lại \[{{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 4x + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\]
c. \[\left[ {{x^2} – 2} \right]\left[ {x + 1} \right] = {x^3} + {x^2} – 2x – 2\]
\[\left[ {{x^2} – 1} \right]\left[ {x + 2} \right] = {x^3} + 2{x^2} – x – 2\]
\[\left[ {{x^2} – 2} \right]\left[ {x + 1} \right] \ne \left[ {{x^2} – 1} \right]\left[ {x + 2} \right]\]
Đẳng thức sai
\[{{{x^2} – 2} \over {{x^2} – 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\].
Sửa lại \[{{{x^2} + x – 2} \over {{x^2} – 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\]
d. \[\left[ {2{x^2} – 5x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 5x + 4} \right]\]
\[ = 2{x^4} + 10{x^3} + 8{x^2} – 5{x^3} – 25{x^2} – 20x + 3{x^2} + 15x + 12\]
\[\eqalign{ & = 2{x^4} + 5{x^3} – 14{x^2} – 5x + 12 \cr & \left[ {{x^2} + 3x – 4} \right]\left[ {2{x^2} – x – 3} \right] = 2{x^4} – {x^3} – 3{x^2} + 6{x^3} – 3{x^2} – 9x – 8{x^2} + 4x + 12 \cr & = 2{x^4} + 5{x^3} – 14{x^2} – 5x + 12 \cr & \Rightarrow \left[ {2{x^2} – 5x + 3} \right]\left[ {{x^2} + 5x + 4} \right] = \left[ {{x^2} + 3x – 4} \right]\left[ {2{x^2} – x – 3} \right] \cr} \]
Đẳng thức đúng
Câu 1.1: Tìm đa thức P để \[{{x – 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {P \over {{x^3} – 1}}\] .
Phương án nào sau đây là đúng ?
A. \[P = {x^2} + 3\]
B. \[P = {x^2} – 4x + 3\]
C. \[P = x + 3\]
D. \[P = {x^2} – x – 3\]
Chọn B. \[P = {x^2} – 4x + 3\]
Câu 1.2: Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức :
a. \[{{\left[ {x + 2} \right]P} \over {x – 2}} = {{\left[ {x – 1} \right]Q} \over {{x^2} – 4}}\]
b. \[{{\left[ {x + 2} \right]P} \over {{x^2} – 1}} = {{\left[ {x – 2} \right]Q} \over {{x^2} – 2x + 1}}\]
a. \[{{\left[ {x + 2} \right]P} \over {x – 2}} = {{\left[ {x – 1} \right]Q} \over {{x^2} – 4}}\]
P \[ = x – 1\] ;Q \[ = {\left[ {x + 2} \right]^2} = {x^2} + 4x + 4\]
b. \[{{\left[ {x + 2} \right]P} \over {{x^2} – 1}} = {{\left[ {x – 2} \right]Q} \over {{x^2} – 2x + 1}}\]
P \[ = \left[ {x – 2} \right]\left[ {x + 1} \right] = {x^2} – x – 2\]
Q \[ = \left[ {x + 2} \right]\left[ {x – 1} \right] = {x^2} + x – 2\]
Câu 1.3: Cho hai phân thức \[{P \over Q}\] và\[{R \over S}\].
Chứng minh rằng :
a. Nếu \[{P \over Q} = {R \over S}\] thì \[{{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\]
b. Nếu và P ≠ Q thì R ≠ S và
a. \[{P \over Q} = {R \over S}\] \[ \Rightarrow PS = QR\] [1]. Vì \[{P \over Q},{R \over S}\] là phân thức
⇒ Q, S khác không. Cộng vào hai vế của đẳng thức [1] với Q S
P S + Q S = Q R + Q S ⇒ [P + Q]. S = Q [R + S]
⇒\[{{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\]
b. \[{P \over Q} = {R \over S}\]⇒ P S = Q R [1] và P ≠ Q, R ≠ S
Trừ từng vế đẳng thức [1] với PR : P S – P R = Q R – P R
⇒ P [S – R] = R [Q – P] ⇒ \[{P \over {Q – P}} = {R \over {S – R}}\]