Giải bài tập toán lớp 12 ôn tập cuối năm

ÔN TẬP CUỐI NĂM

1. Cho hàm số fix) = ax2 - 2(a + l)x + a + 2 (a * 0). Chứng tỏ rằng phương trình Rx) = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó. Tính tổng s và tích p của các nghiệm của phương trình Kx) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của s và p theo a. tfiải Vì a + (-2a - 2) + a + 2 = 0 nên phương trình fix) = 0 luôn có hai nghiệm thực Xi = 1; x2 = a + 2 a a a 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của s = 2 + —; a Tập xác định: R \ (01 2 S' = - —5- < 0, Vạ # 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng (-00; 0) a và (0; +00) a —00 0 +CO S' — — s 2 - +c0'
2. —00 _~ — 2 Tiệm cận đứng a = 0; tiệm cận ngang s = Giao của (Cj): s = 2 + — với Oa: s = 0 => a 2 Đồ thị (Cl): s = 2 + — là đường nét liền a Tịnh tiến đồ thị (Ci) song song với trục tung xuôìig dưới 1 đơn vị ta được đồ thị
3. Cho hàm sô' y = - i X3 + (a - l)x2 + (a + 3)x - 4 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô' khi a = 0. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, X = -1, X = 1. (C2): p = 1 + — (nét đứt), a Diện tích hình phẳng cần tìm là: s = J”~x3 - X2 + 3x - 4 dx = j[ỉx3 + X2 - 3x + 4^j dx 1 4 1 3 oxz . -77-X + ~x ‘ - 3™- + 4x 12 3 2 = (đvdt) 3
4. Cho hàm sô’ y = X3 + ax2 + bx + 1 Tìm a và b đề đồ thị của hàm sô’ đi qua hai điểm A(l; 2) và B(-2; -1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô’ ứng với các giá trị tìm được của a và b. Tính thế’ tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phắng giới hạn bởi các đường y = 0, X = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành. Ốịiải Để đồ thị của hàm sô' đi qua hai điểm A(l; 2) và B(-2; -1), ta phải có [2 = l + a + b + l ia + b = o |a = 1 ị-1 = -8 + 4a - 2b + 1 ° [2a - b = 3 “° |b = -1 A ■> ■> - 1 4 •} t* Xét. chuyến động thẳng xầc định bới phương trình: s(t) = Ị t4 - t3 + - 3t, trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. . Tính v(2), a(2), biết v(t), a(t) lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyền động đã cho. Tim thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0. ốjiải Ta có vận tô'c: v(t) = s'(t) = t3 - 3t2 + t - 3, với t = 2 thì v(2) = -5 (m/s) Gia tô’c: a(t) = v'(t) = 3t2 - 6t + 1, với t = 2 thì a(2) = 1 (m/s2) v(t) = 0 t3 - 3t2 + t - 3 = 0 «• (t2 + l)(t -3) = 0«t = 3 (s). Cho hàm số y = X4 + ax2 + b
5. Tính a, b đế hàm số có cực trị bằng khi X = 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) cúa hàm số đã cho khi a = -ì, b = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1. Ốịiải
6. Ta có y' = 4x3 + 2ax Hàm sô' có cực trị bằng khi X = 1 2 y'(l) = 0 4 + 2a = 0 3 ly<1)=f I 1 « a + b = — 2 5 a =-2
7. Khi a = —, b = 1 ta có y = X* - 4 X2 + 1 2 2 Tập xác định: D = K y' = 4x3 - X = x(4x2 - 1) X = 0 (y = 1) y' = 0 „ 1 ,15, X = +£■ (y = 3^) 2 16 lim y = +OC Ta có y = 1 X4 - 4 X2 + 1 = 1 X4 - ị X2 = 0 2 2 o x2(x2 - ị ) = 0 e> X = ±- 72 Ta có ba tiếp điểm A(0; 1), B(-^=; 1), C(—7=; 1) X + m - 1 Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điếm M có hoành độ a * -1. Tính khoảng cách từ điếm K-l; 1) đến tiếp tuyến d. Xác định a để khoảng cách đó là lớn nhâ’t. Ốjiải
8. Khi m = 2 ta có y = x-2 x + 1 TXĐ: D = R \ {-1} 3 y =

   0, Vx -1 (x +1)2 Tiệm cận đứng: X = -1; tiệm cận ngang: y = 1 X —oc —1 +00 y'

10. y

    +CC 1 Giao điểm với trục Ox tại (2; 0); Giao điểm với trục Oy tại (0; -2).
11. Với X = a => y = (a -1) và f(a)= 3 (a +1)2 Phương trình tiếp tuyến d có dạng 3 a-2 y = 7' /-n2 (x - a) + 7—7 (a +1) a +1 (a + l)2y = 3(x-a) + (a - 2)(a + 1) 3x - (a + l)2y + á2 - 4a - 2 = 0 Khoảng cách từ K-l; 1) đến d là H = -- + \ + = Tẽ (áp dụng: A + B > 2a/ÃB) 79 + (a + l)4 76(a + l)2 => maxh = Tẽ khi và chỉ khi (a + l)4 = 9 a = —1 ± 73 . 2
12. Cho hàm sô’ y = —í— . 2-x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm sô’ đã cho. Tìm các giao điểm cùa (C) và đồ thị cúa hàm số y = X2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm. Tinh thể tích vật thế’ tròn xoay thu được khi quay hình phăng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, X = 1 xung quanh trục Ox.
13. Tập xác định: D = K \ )2| y = (2 - X)2 > °’ Vx 2 X -co 2 +CO y'
15. y 'S' +CO —cc Tiệm cận đứng X = 2, tiệm cận ngang y - 0 Bảng biến thiên Hoành độ giao điểm của (C) với của phương trình: đồ thị hàm số y = X2 + 1 là nghiệm — - = X2 + 1 2 = (x2 + 1)(2 - x) với X 2 2 - X x(-x2 + 2x - 1) = 0 Ta có f' (x) = 2 (2 - x)2 x=o=>y=lvà f’(0) = phương trình tiếp tuyến có dạng y = -- X + 1; • X = 1 => y = 2 và f' (1) = 2 => phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2(x - 1) + 2 hay y = 2x Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là: = đx = 4xf- dx 1 = 4ít- ,(2-x)2 2-x
16. Tìm giá trị lớn nhát, giá trị nhó nhát cũa các hàm sô”: fix) = 2x3 - 3xy - 12x + 1 trên đọạn [-2; -ị L 2J fix) = x21rx trên đoạn [1; e] 4il| 1 - I = 2x (đvdt). fix) = xe ' trẽn nứa khoảng [0; +x) fix) - 2sinx + sin2x trên đoạn . D = [-2; I ]. HSLT trên -2; f (x) = 6x2 - 6x - 12; f (x) = 0 o X = -1 6 D X = 2.e D 5 33 Ta có f(-l) = 8, f(2) = -19, f<-2) = -3, f(|) = - Vậy mạxf(x) = 8, minf(x) --19. D = [1; e]. HSLT trên [1; e] f(x) = 2xlnx + X = x(21nx + 1) > 0 Vx e [1; e] Do đó: mạxf(x) = f(e) = e2, minf(x) = f(l) = 0 x?ì) xliĩ D = [0; +oo) f '(x) = e“x - xe~x = e’( 1 - x) f'(x) = 0 x = 1 ; lim f(x) = 0, f(0) = 0, f(l) = — x-»+co e X 0 1 +» v'
17. 0 - y ■ ẽ 0 Bảng biến thiên: mạxf(x) = f(l) = —; minffx) = fio) = 0 xel) p xi) f (x) = 2cosx + 2cos2x = 2(cosx + 2cos2x - 1); cosx = -1 f(x) - 0 2cos2x + cosx - 1 = 0 1 cosx = -7 L 2 Ta có f(0) = fU) = 0, fM = 3^3 , ffặ-ì = -? <3 J 2 I 2) WA.. X-Z..X JnÌ = mir.f(x) =fi~i =-2. 2 " 0 ; 2 J Vậy maxf(x) = f xeD
18. Giải các phương trình sau: a) 132* - 13x - 12 = 0; c) logự5 (x - 2)log5x = 2.1og.i(x - 2); X ~ 71 7t X = 77 3
19. (3X + 2SX3 + 3.2s) = 8.6X d) log2 X - õlogxx + 6 = 0. ốỊiảl Đặt t = 13x (t > 0) ta có phương trình 13t2 - t - 12 = 0 t = 1 13x = 1 X = 0. Vậy s = (0!. Chia hai vế phương trình cho 6X ta được 3X+2X 3X+3.2X 2X 1 + 31? Đặt t = I 2 I (t > 0) ta có phương trình (t + 1)(1 + |) = 8ot2-4t + 3 = 0o ế) =3 t = 1 t = -777 (ioại) 13 X = 0 X = Iog;ì3 • Vậy s <°; loểs3ì 2 2 log„(x-2) = 0 log6x -1
20. Điều kiện: X > 2. Ta có: log 5 (x - 2).log5X = 21oga(x - 2) 21og:i(x - 2).logox = 21og;ì(x - 2) o lơg3(x - 2).(log5X - 1) = 0 c? Vậy s = (3; 51.
21. Điếu kiện: X > 0 Đặt t = log2x ta có phương trình ít = 2 t - 5t + 6 = 0 t = 3 ìog2x = 2 ]og2x = 3 2* . Vậy s = (4; 81. Iog2(x2-n
22. Giải các bất phương trình sau: a) < 2 3 — 2
23. log2x + 31ogx > 4 Ốịlải
24. Bâ't phương trình đã cho tương đương với 2
26. 1 - log4 X < 1 1 + log2 X 4 Đặt = I 2 J (t > 0), ta có bất phương trình 1 3/2 +00
27. 11-0 + 3 2 2t - 3 t-1 0 ^{Hr <1 hoặc o Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là X 1 s = (-co; 0) o [1; +oc)}
28. Bất phương trình đã cho tương đương với hệ X2 - 1 > 0 log2(x2 - 1) < 0 X2 - 1 > 0 1 < X2 < 2 (X2 - 1 < 1 1 -72 < X < —1 hoặc 1 < X < 72 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: s = (-72 ; -1)0(1; 72 ) c) Điều kiện X > 0, đặt t = logx ta có t2 + 3t - 4 > 0 t lo 10 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 8 = 0; io; —Ị I 10000J o [10; +oo) Điều kiện X > 0, đặt t = log2x, ta có bất phương trình l_|t ——-— Ị 3 1 1 + t 4 4(1 +1) 0 2 -11 +X 2 ' \ỉtfỉtỉĩ\ ■* -|| + 0 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là s = ° [2; +oo).
29. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
30. ln xdx ;
31. f xdx J sin2 X
32. J(n-x) sin xdx ;
33. 0 J(2x + 3) -1 úịlàl , dx r.. 1_„ du = — u = Inx X Đặt ( => , dv = Vxdx 2 J 3 e4 9 3 ọe4 1 9 e4 4 _|e4 4 IVxlnxdx = ^x2lnx - 4 fx2dx = 47x^lnx - 37VX3 = -(5e6+ 1) J 3 Ij 3 J 3 1 9 , 9 TX-X [u = x ídu = dx Đặt ( 1 => 1 dv = . dx IV = -cotx sin X x/f xdx n/2 n/2 fCOSX , n/2 F= -xcotx
34. I dx = -xcotx
35. ln|sinx| J6sin X ;Ksinx 71/6 /6 71/6 x/2 7t / 6 7173
36. ln2
37. Đặt u = 71 - X dv = sinxdx du = -dx V = -cosx 71 71 7t J71 - x)sinxdx = -(71 - x)cosx - Jcosxdx = -(71 - x)cosx
38. sinx = 7Ĩ
39. Đặt u = 2x + 3 dv = e"xdx du = 2dx V = -e‘x 0 ° °, J(2x + 3)e'xdx = -(2x + 3)e"x +2 Je"xdx = -(2x + 3)e"x -1 -1 -1 -2e' = 3e - 5.
40. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số: a> Jtan(j-4x)dx (đặt u = COS - 4x}) c) J sin3 xcos’xdx (đạt u = cosx) f -—d (đặt X = Ệ tant) ■L 9 + 25x2 5 X
41. f — + t an* dx (đặt u = ựl + tanx ). \ COS X Ốịiải du Đổi cận: X 0 7Ĩ 24 1 73 u 2 2
42. Đặt u = COS -4x => du = 4sinP-4x dx => sin 7-4x dx = <3 ) 13 J 13 J sinl - 4x Do đó rc/24 / \ 7t/24 6 ịtan^-4xjdx = I ° cosfI - 4x dx
43. 1 'Vèỉ - ì UJ 4 ,J u 4lnH 1/2 u Vã/2 1/2 = 7ln3 8
44. Đặt X = tant => dx = 5 3dt 5cos2t 73 5 3/5 J n/4 Do đó = 71 6 71 4 3dt ự//6 9 + 25x 5cos t(9 + 9tan t) = ^fdt=M-ỉ)=-ỉ- 15J 15\4 6j 180
45. Đặt u = cosx => du = -sinxdx X 0 71 2 u 1 0 n/2 -0 Do đó Jsin3xcos4xdx = J (u2 - l)u4du 0 1 0 = J (u6 - u4)du = 1 / 7 ,6> u u y 35
46. Đặt u = Vl + tanx hay u2 = 1 + tanx => 2udu = dx COS2X X 71 ~4 71 4 u 0 7? A n , n/r Vl + tanx J '' r 2, 2 .3 Do đó —dx = 2u du = ~u J/4 cos x 0 3
47. Tính diện tích hình phăng giới hạn bởi các đường: a) y = X2 + 1, X = -1, X = 2 và trục hoành 4V2 3
48. y = lnx, X = -, X = e vậ trục hoành, e , 2 fx3 Ý Diện tích hình phẳng cần tìm là: s = J(x2 + l)dx = + XJ =6 e e e Diện tích cần tìm là: s = JJlnxjdx = - J lnxdx + J lnxdx 1 1 1 e e dx Đặt u = lnx, dv = dx => du = — , V = X. X Ta có: ýnxdx = xlnx - J dx = x(lnx - 1) + c „ „ ’ „ _.e 7 1 Do đó s = -x(lnx - 1) + x(lnx -1) = 2 1- - 1/e 1 V e
49. Tìm thể tích vật thế' tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = X3 xung quanh trục Ox. Ốịiải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 2x2 = X3 x2(2 - x) - 0 Với X 6 [0; 2] thì 2x2 > X3 nên thể tích vật thể tròn xoay là: V = 71 J [(2x2)2 - (x3)2]dx = 71 J (4x4 - x6)dx 0 0 lõ 7 25671 35 Giãi các phương trình sau trên tập sô' phức:
50. (3 + 2i)z - (4 +-7Ĩ) = 2 - 5i; z2 - 2z + 13 = 0;
51. (7 - 3i)z + (2 + 3i) = (5 - 4i)z; z4 - z2 - 6 = 0. Ốjiảí
52. (3 + 2i)z - (4 + 7i) = 2 - 5i (2 - 5i) + (4 + 7i) z = 3 + 2i z - 6 + 2i 3 + 2i z - 22 6 13 13 (7 - 3i)z + (2 + 3i) = (5 - 4i)z (5 - 4i - 7 + 3i)z = 2 + 3i z - - 2 + 3i 7 4 2 + i Phương trình đã cho có A' = 1 - 13 = 12i2 nên z = 1 ± 2 73 i Đặt t = z2, ta có phương, trình bậc hai t2 - t - 6 = 0 với hai nghiệm là t = -2, t = 3. Vậy phương trình đã cho có bốn nghiêm là zli2 = ±73 , z3,4 = ±72 i Trên mặt phăng tọa độ, hãy tìm tập hợp điểm biếu diễn sô' phức z thỏa mãn bất đẳng thức:
53. |z I <2
54. I z - 1 - i I < 1.
55. i z - i I <1 Ốjiải Giả sử sô' phức có dạng: z = X + yi; X, y e K; i2 = -1 Ta có I z 1 X2 + y2 < 4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z có môđun nhỏ hơn 2 là hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 (không kể biên). Ta có z - i = X + (y - l)i nên I z - i I 7x2 + (y -1)2 X2 + (y - l)2 < 1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn sô' phức z đã cho là hình tròn có tâm tại điểm 1(0; 1), bán kính 1 (kể cả biên). Ta có z - 1 - i = (x - 1) + (y - l)i nên I z - 1 - i| 7(x - l)2 + (y - l)2 (x - l)2 + (y - l)2 < 1 Vậy tâp hợp điểm biểu diễn sô' phức z đã cho là hình tròn có tâm tại điểm 1(1; 1), bán kính 1 (không kể biên).