Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x)=f(2x+1)-4x+2023
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-3x+5$ trên [0;2], có $f'(x)=3{{x}^{2}}-3$ Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 0\le x\le 2 \\ {} 3{{x}^{2}}-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=1$ Tính $f(0)=5;f(1)=3;f(2)=7.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(1)=3$.
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Xét hàm số $f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$ trên [0;2], có $f'(x)=4{{x}^{3}}-4x$ Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 0\le x\le 2 \\ {} 4{{x}^{3}}-4x=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$ Tính $f(0)=1;f(1)=0;f(2)=9.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(2)=9.$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm: ${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{'}}=\frac{u'v-uv'}{{{v}^{2}}}$ Cách 1: Xét hàm số $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+3}{x-1}$ trên [2;4], có $f'(x)=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{(x-1)}^{2}}}$ Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2\le x\le 4 \\ {} {{x}^{2}}-2x-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=3$ Tính $f(2)=7;f(3)=6;f(4)=\frac{19}{3}.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 2;4 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(3)=6$. Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7) Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7 Bước 2: Nhập $f(X)=\frac{{{X}^{2}}+3}{X-1}$ Sau đó ấn phím = (nếu có $g(X)$ thì ấn tiếp phím =) sau đó nhập $\left\{ \begin{array} {} Star=2 \\ {} End=4 \\ {} Step=0.2 \\ \end{array} \right.$ (Chú ý: Thường ta chọn $Step=\frac{End-Start}{10}$) Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN: Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(3)=6.$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Xét hàm số $f(x)=\frac{3x-1}{x-3}$trên [0;2] có $f'(x)=-\frac{8}{{{(x-3)}^{2}}}<0$ Suy ra $f(x)$ là hàm số nghịch biến trên (0;2) $\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(2)=-5 \\ {} \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ 0;2 }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(0)=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.$ Vậy $M=\frac{1}{3}\Rightarrow 3M=3;m=-5\to 3M+m=-2$
Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm: ${{\left( \sqrt{u} \right)}^{'}}=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ Điều kiện xác định: $3-2x-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -3\le x\le 1$ Xét hàm số $f(x)=\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}$ trên [-3;1], có $f'(x)=\frac{-2-2x}{2\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}}=-\frac{x+1}{\sqrt{3-2x-{{x}^{2}}}};$ Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -3 Tính $f(-3)=0;f(-1)=2;f(1)=0.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-3;1]}{\mathop{max}}\,f(x)=f(-1)=2.$ M – 2m bằng A. 0. B. $-\frac{1}{2}.$ C. 1. D. $\frac{3}{2}.$ Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Điều kiện xác định: $1-{{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow -1\le x\le 1$ Xét hàm số $f(x)=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ trên [-1;1], có $f'(x)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\frac{1-2{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\left\{ -\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right\}$ Tính $f(-1)=f(1)=0;f\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=-\frac{1}{2};f\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=\frac{1}{2}$ Vậy $\left\{ \begin{array} {} m=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=-\frac{1}{2} \\ {} M=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\to M-2m=\frac{1}{2}-2.\left( -\frac{1}{2} \right)=\frac{3}{2}$ A. – 2. B. 2. C. 0. D. – 1. Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array} {} 1-x\ge 0 \\ {} x+1\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow -1\le x\le 1$ Xét hàm số $f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$ trên [-1;1], có $f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{1}{2\sqrt{1+x}};$ Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1 Vậy $\left\{ \begin{array} {} m=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(x)=\sqrt{2} \\ {} M=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\max }}\,f(x)=2 \\ \end{array} \right.\to M-2{{m}^{2}}=2-2.2=-2$ A. 0. B. $-\sqrt{2}.$ C. $\sqrt{2}.$ D. $\frac{9}{4}.$ Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array} {} x-1\ge 0 \\ {} 3-x\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1\le x\le 3$ Đặt $t=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x},$ ta có $t'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{3-x}};\,t'=0\Leftrightarrow x=2$ Tính $t(1)=t(3)=\sqrt{2};t(2)=2\xrightarrow{{}}\sqrt{2}\le t\le 2$ Khi đó ${{t}^{2}}=2+2\sqrt{(x-1)(3-x)}=2+2\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}\Leftrightarrow 2\sqrt{-{{x}^{2}}+4x-3}={{t}^{2}}-2$ Do đó $y=f(t)=t-({{t}^{2}}-2)=-{{t}^{2}}+t+2$ Xét $f(t)=-{{t}^{2}}+t+2$ trên $\left[ \sqrt{2};2 \right]\xrightarrow{{}}\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }\sqrt{2};2]}{\mathop{\max }}\,f(t)=\sqrt{2}.$ Vậy $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }1;3]}{\mathop{\max }}\,y=\sqrt{2}$ A. – 9. B. 1. C. $-\frac{3}{2}.$ D. $\frac{1}{2}.$ Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Đặt $t=\cos x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1],$ khi đó $y=f(t)=2{{t}^{3}}-\frac{9}{2}{{t}^{2}}+3t+\frac{1}{2}$ Xét hàm số $f(t)=2{{t}^{3}}-\frac{9}{2}{{t}^{2}}+3t+\frac{1}{2}$ trên [-1;1], có $f'(t)=8{{t}^{2}}-9t+3>0,\forall t$ Suy ra $f(t)$ là hàm số đồng biến trên $(-1;1)\Rightarrow \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,f(t)=f(-1)=1.$ A. 0. B. 5. C. 4. D. $\frac{112}{27}.$ Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Cần nhớ công thức lượng giác: $\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x$ Ta có $y={{\sin }^{3}}x+1-2{{\sin }^{2}}x+\sin x+3={{\sin }^{3}}x-2{{\sin }^{2}}x+\sin x+4$ Đặt $t=\sin x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1],$ khi đó $y=f(t)={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+t+4$ Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+t+4$ trên [-1;1], có $f'(t)=3{{t}^{2}}-4t+1;$ Phương trình $f'(t)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} -1\le t\le 1 \\ {} 3{{t}^{2}}-4t+1=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=1 \\ {} t=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.$ Tính $f(-1)=0;f\left( \frac{1}{3} \right)=\frac{112}{27};f(1)=4.$ Vậy ${{y}_{\max }}=\frac{112}{27}.$ A. 110. B. 9. C. 55. D. 7. Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Xét hàm số $g(x)=-{{x}^{2}}-4x+5$ liên tục trên đoạn [-6;6] Đạo hàm $g'(x)=-2x-4\to g'(x)=0\Leftrightarrow x=-2\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6]$ Lại có $g(x)=0\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-4x+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=1\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6] \\ {} x=-5\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6] \\ \end{array} \right.$ Tính $\left\{ \begin{array} {} g(-6)=-7 \\ {} g(-2)=9 \\ {} g(6)=-55 \\ {} g(1)=g(-5)=0 \\ \end{array} \right.\to \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-6;6]}{\mathop{\max }}\,\left\{ \left| g(-6) \right|;\left| g(-2) \right|;\left| g(6) \right|;\left| g(1) \right|;\left| g(-5) \right| \right\}=55.$ Nhận xét: bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm. A. 2. B. 17. C. 34. D. 68. Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn C Hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn [-4;4] Đạo hàm $f'(x)=-2x+2\to f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;2].$ Ta có $\left\{ \begin{array} {} f(1)=-1 \\ {} f(2)=-2 \\ \end{array} \right.$ Đạo hàm $f'(x)=2x-4\to f'(x)=0\Leftrightarrow x=2\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-4;1]\cup \text{ }\!\![\!\!\text{ }2;4].$ Ta có $\left\{ \begin{array} {} f(-4)=34 \\ {} f(1)=-1 \\ {} f(2)=-2 \\ {} f(4)=2 \\ \end{array} \right.$ So sánh hai trường hợp, ta được $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-4;4]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(-4)=34.$ A. 2. B. 3. C. 1. D. $\left| f(0) \right|.$ Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn B Ta suy ra đồ thị hàm số $\left| f(x) \right|$ trên [-2;4] như hình vẽ. Do đó $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-2;4]}{\mathop{\max }}\,\left| f(x) \right|=3$ tại $x=-1$ A. $\frac{5}{4}.$ B. $\frac{2\sqrt{3}}{3}.$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ D. $\frac{\sqrt{5}}{2}.$ Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn D Vì M thuộc parabol (P) $\Rightarrow M(m;{{m}^{2}})\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( m+2;{{m}^{2}}-\frac{1}{2} \right)$ Suy ra $M{{A}^{2}}={{\left| \overline{AM} \right|}^{2}}={{(m+2)}^{2}}+{{\left( m-\frac{1}{2} \right)}^{2}}={{m}^{4}}+4m+\frac{17}{4}$ Xét hàm số $f(m)={{m}^{4}}+4m+\frac{17}{4},$ có $f'(m)=4{{m}^{3}}+4;f'(m)=0\Leftrightarrow m=-1$ Do đó $\min f(m)=f(-1)=1-4+\frac{17}{4}=\frac{5}{4}\to M{{A}_{\min }}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$ A. $m=h(-1).$ B. $m=h(0).$ C. $m=\frac{h(-1)+h(1)}{2}.$ D. $m=h(1).$ Lời giải chi tiết Đáp án: Chọn A Ta có $h'(x)=2.\left[ f'(x).g(x)+f(x).g'(x) \right]-2g'(x).g(x);\,\,\forall x\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]$ Suy ra $h(x)=2.g(x).\left[ f'(x)-g'(x) \right]+2f(x).g'(x)\ge 0$ vì $f'(x)-g'(x)\ge 0$ Do đó $h(x)$ là hàm số đồng biến trên [-1;1] $\Rightarrow \underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;1]}{\mathop{\min }}\,h(x)=h(-1).$ |