Đề bài - đề số 18 - đề kiểm tra học kì 1 - toán 9

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

Cho \(A = \left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 10}}{{x - 9}} + \dfrac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x - 3}}\)và \(B = \sqrt x + 1\) (với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\))

a) Tính giá trị của biểu thứcBkhi \(x = 16\)

b) Rút gọnA

c) Tìm giá trị củaxđể \(A > B\)

Câu 2 (2 điểm):

Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = \left( {2k - 1} \right)x + k - 2\)(vớiklà tham số)

a) Tìm giá trị củakbiết đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) có phương trình \(y = - 3x + 5\)

b) Với giá trị củaktìm được ở câu a, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độOđến đường thẳng \(\left( d \right)\)

Câu 3 (2điểm):Giải phương trình

a) \(\sqrt {x + 3} + \sqrt {16x + 48} = 6 + \sqrt {9x + 27} \)

b) \(\sqrt {4x + 1} = x - 1\)

Câu 4 (3,5 điểm):Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳngdkhông quaOcắt \(\left( O \right)\) tại hai điểmAvàB. ĐiểmCthuộc tia đối của tiaAB. VẽCEvàCFlà các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (E, Flà hai tiếp điểm). GọiHlà trung điểm củaAB.

a) Chứng minh 4 điểmC, E, O, Hcùng thuộc một đường tròn.

b) GọiCOcắtEFtạiK. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

c) Đoạn thẳngCOcắt \(\left( O \right)\) tạiI. Chứng minhIlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácCEF

d) Tìm vị trí điểmCtrên tia đối của tiaABđể tam giácCEFđều.

Câu 5 (0,5 điểm):

Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\)

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị của biểu thứcBkhi \(x = 16\)

Với \(x = 16\) (tm) ta có \(B = \sqrt {16} + 1 = 4 + 1 = 5.\)

Vậy với \(x = 16\) thì \(B = 5\)

b) Rút gọnA

\(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 10}}{{x - 9}} + \dfrac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x - 3}} \\\;\;\;= \left[ {\dfrac{{x + \sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 3}}} \right].\left( {\sqrt x - 3} \right)\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{{x + \sqrt x + 10 - \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right].\left( {\sqrt x - 3} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{x + 7}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\left( {\sqrt x - 3} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\)

c) Tìm giá trị củaxđể \(A > B\)

\(\begin{array}{l}A > B \Leftrightarrow \dfrac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}} > \sqrt x + 1\\ \Leftrightarrow x + 7 > \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow x + 7 > x + 4\sqrt x + 3\\ \Leftrightarrow 4\sqrt x < 4 \Leftrightarrow x < 1\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta được \(0 \le x < 1\)thì \(A > B.\)

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

a) Tìm giá trị củakbiết đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) có phương trình \(y = - 3x + 5\)

\(\left( d \right)//\left( {d'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k - 1 = - 3\\k - 2 \ne 5\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\k \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow k = - 1\)

Vậy với \(k = - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Với giá trị củaktìm được ở câu a, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độOđến đường thẳng \(\left( d \right)\)

Khi \(k = - 1\) thì \(\left( d \right):y = - 3x - 3\)

Ta có bảng giá trị:

x	0	-1
\(y = - 3x - 3\)	-3	0

Vậy đồ thị hàm số \(y = - 3x - 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0; - 3} \right),\;\;\left( { - 1;\;0} \right).\)

GọiA, Blần lượt là giao điểm của của \(\left( d \right)\) vớiOx, Oy

Cho \(x = 0\) ta được \(y = - 3\)\( \Rightarrow B\left( {0; - 3} \right)\)\( \Rightarrow OB = 3\)

Cho \(y = 0\) ta được \(x = - 1\)\( \Rightarrow A\left( { - 1;0} \right)\)\( \Rightarrow OA = 1\)

GọiHlà hình chiếu củaOtrên \(\left( d \right)\), ta có:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{{3^2}}} = \dfrac{{10}}{9} \)

\(\Leftrightarrow OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\) (dvđd)

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độOđến đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\) (dvđd)

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt {x + 3} + \sqrt {16x + 48} = 6 + \sqrt {9x + 27} \).Điều kiện xác định: \(x \ge - 3\) .

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} + \sqrt {16\left( {x + 3} \right)} = 6 + \sqrt {9\left( {x + 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} + 4\sqrt {x + 3} = 6 + 3\sqrt {x + 3} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 3} = 6\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = 3\\ \Leftrightarrow x + 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6\,\,\,\,\,\,(tm)\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 6.\)

b) \(\sqrt {4x + 1} = x - 1\).Điều kiện xác định: \(x \ge - \dfrac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\4x + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 6x = 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\\x = 6\,\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 6.\)

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

Cho đường tròn \(\left( {O,R} \right)\). Đường thẳngd không quaOcắt \(\left( O \right)\) tại hai điểmAvàB. ĐiểmCthuộc tia đối của tiaAB. VẽCEvàCFlà các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (E, Flà hai tiếp điểm). GọiHlà trung điểm củaAB.

a) Chứng minh 4 điểmC, E, O, Hcùng thuộc một đường tròn.

VìHlà trung điểm của dây cungABcủa \(\left( O \right)\) nênOHvuông góc vớiAB, suy ra tam giácCOHnội tiếp đường tròn đường kínhCO (1)

VìCElà tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nênCEvuông góc vớiOE, suy ra tam giácCOEnội tiếp đường tròn đường kínhCO (2)

Từ (1) và (2) suy raC, E, O, Hcùng thuộc đường tròn đường kínhCO.

b) GọiCOcắtEFtạiK. Chứng minh \(OK.OC = {R^2}\)

VìClà giao điểm của 2 tiếp tuyếnCEvàCFcủa \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow CE = CF\) (tính chất) mà \(OE = OF = R\) (gt)

\( \Rightarrow \)COlà đường trung trực củaEF

\( \Rightarrow CO \bot EF\)

Xét tam giác vuôngCEOđường caoEKta có:

\(OK.OC = O{E^2} = {R^2}\) (đpcm)

c) Đoạn thẳngCOcắt \(\left( O \right)\) tạiI. Chứng minhIlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácCEF

Vì \(OI = OF = R\) nên tam giácOIEcân tạiO

\( \Rightarrow \angle OIF = \angle OFI\) mà \(\angle CFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFK + \angle OIF = {90^o}\)

\( \Rightarrow \angle CFI = \angle IFK\) (tính chất bắc cầu)

\( \Rightarrow \)FIlà phân giác của \(\angle CFE\) (3)

VìClà giao điểm của 2 tiếp tuyếnCEvàCFcủa \(\left( O \right)\)

\( \Rightarrow \)CIlà phân giác của \(\angle ECF\) (tính chất) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \)Ilà tâm đường tròn nội tiếp tam giácCEF(đpcm)

d) Tìm vị trí điểmCtrên tia đối của tiaABđể tam giácCEFđều

Tam giácCEFđều \( \Rightarrow \angle ECF = {60^o}\)

MàCIlà phân giác của \(\angle ECF\)(cmt) \( \Rightarrow \angle FCO = {30^o}\)

Có tam giácFCOvuông tạiFcó \(\angle FCO = {30^o}\)

\( \Rightarrow OC = 2OF = 2R\)

Vậy điểmCtrên tia đối của tiaABsao cho \(OC = 2R\) thì tam giácCEFđều.

Câu 5:

Cho \(0 < x < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}\)

Ta có: \(M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4 - 4x + 4x}}{x} \)\(\,= \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4\)

Vì \(0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x > 0 \Rightarrow \)\(\dfrac{x}{{1 - x}} > 0\) và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\dfrac{x}{{1 - x}}\)và \(\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{1 - x}}.\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}} = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4 \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 8\end{array}\)

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} = \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{x}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} = 4{\left( {x - 1} \right)^2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - 2\\x = - 2x + 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất củaMlà 8 đặt được khi \(x = \dfrac{2}{3}.\)

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 9 tại Tuyensinh247.com