Đề bài - câu 6 trang 100 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao
\(\eqalign{& {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}} \cr&= {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} \cr&= {7.2^{2k - 2 + 2}} + {3^{2k - 1 + 2}}\cr&= {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr& ={4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\cr&= 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + 5.{3^{2k - 1}} \cr& = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}}\,\, \cr} \) Đề bài Với mỗi số nguyên dương n, đặt \({u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\) (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có unchia hết cho 5. Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng phương pháp quy nạp toán học: + Chứng minh (1) đúng với \(n=1\). + Giả sử(1) đúng với \(n=k\). + Chứng minh(1) đúng với \(n=k+1\). Lời giải chi tiết +) Với \(n = 1\), ta có: \({u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}} \)\(= 7 + 3 = 10\vdots\) \( 5\) Suy ra (1) đúng khi \(n = 1\). +) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là: \({u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]\)\(\vdots\) \( 5\) +) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\) Thật vậy, ta có : \(\eqalign{ Vì \(u_k \) \(\) \(5\) (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra \({u_{k + 1}}\) chia hết cho \(5\)ta được điều cần chứng minh.
|