Đề bài - bài 19 trang 159 sbt toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O), đường kính \(AD = 2R\). Vẽ cung tâm \(D\) bán kính \(R\), cung này cắt đường tròn (O) ở \(B\) và \(C.\)

a) Tứ giác \(OBDC\) là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc \(CBD, CBO, OBA.\)

c) Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(OB = OC = R\) (vì \(B, C\) nằm trên \((O ; R))\)

\(DB = DC = R\) ( vì \(B, C\) nằm trên \((D ; R))\)

Suy ra: \(OB = OC = DB = DC.\)

Vậy tứ giác \(OBDC\) là hình thoi.

b) Ta có: \(OB = OD = BD = R\)

\(OBD\) đều \( \Rightarrow \widehat {OBD} = 60^\circ \)

Vì \(OBDC\) là hình thoi nên:

\(\widehat {CBD} = \widehat {OBC} = \dfrac{1 }{ 2}\widehat {OBD} = 30^\circ \)

Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong (O) có \(AD\) là đường kính nên:

\(\widehat {ABD} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {OBD} + \widehat {OBA} = 90^\circ \)

Nên \(\widehat {OBA} = \widehat {ABD} - \widehat {OBD}\)\( = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

c) Tứ giác \(OBDC\) là hình thoi nên \(OD BC\) hay \(AD BC\)

Suy ra AD là đường trung trực của BC (vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và \(O\in AD\))

Ta có:

\(AB = AC\) ( tính chất đường trung trực)

Suy ra tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (1)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {OBC} + \widehat {OBA} \)\(= 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \). (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác \(ABC\) đều.