Đề bài
Cho hình chóp tam giác đều \[S.ABC\] có cạnh đáy bằng \[a\] và khoảng cách từ trọng tâm tam giác \[ABC\] đến mặt bên \[\left[ {SAB} \right]\] bằng \[\dfrac{a}{4}\]. Thể tích của hình chóp bằng:
A. \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{{24}}{a^3}\] B. \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{{16}}{a^3}\]
C. \[\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\] D. \[\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Dựng hình chiếu của trọng tâm tam giác \[ABC\] trên mặt phẳng \[\left[ {SAB} \right]\].
- Tính chiều cao và diện tích đáy của hình chóp.
- Tính thể tích theo công thức \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[N\] là trung điểm của \[AB\], \[O\] là trọng tâm tam giác \[ABC\], \[P\] là hình chiếu của \[O\] lên \[AN\].
Dễ thấy \[SO \bot \left[ {ABC} \right] \Rightarrow SO \bot AB\], mà \[AB \bot CN\] nên \[AB \bot \left[ {SNC} \right] \Rightarrow AB \bot OP\].
Lại có \[OP \bot SN\] nên \[OP \bot \left[ {SAB} \right]\] hay \[d\left[ {O,\left[ {SAB} \right]} \right] = OP = \dfrac{a}{4}\].
Ta có: \[CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Rightarrow ON = \dfrac{1}{3}CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\].
Tam giác \[SON\] vuông tại \[O\] có \[\dfrac{1}{{O{P^2}}} = \dfrac{1}{{O{N^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}}\] \[ \Rightarrow \dfrac{{16}}{{{a^2}}} = \dfrac{{36}}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow SO = \dfrac{a}{2}\].
Diện tích tam giác \[ABC\] là \[{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\].
Thể tích khôi chóp \[{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABC}}\] \[ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\].
Chọn A.