Đề bài
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 1 - \cos x - \sin x\] là
A. \[ - \dfrac{1}{2}\] B. \[ - 1\]
C. \[1 - \sqrt 2 \] D. \[ - \sqrt 2 \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức tổng thành tích để rút gọn hàm số.
Hàm số\[y=\cos x\] có \[\cos x\le 1\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[y=1-\cos x - \sin x\]
\[=1-[\cos x + \sin x]\]
\[=1-[ \cos x + \cos [\dfrac{\pi }{2} - x]]\]
\[ =1 - 2\cos \dfrac{\pi }{4}\cos [x - \dfrac{\pi }{4}]\]
\[ = 1 - 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \left[ {x - \dfrac{\pi }{4}} \right]\]
\[ =1- \sqrt 2 \cos [x - \dfrac{\pi }{4}]\]
Mà \[\cos [x - \dfrac{\pi }{4}]\le 1\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow - \sqrt 2 \cos \left[ {x - \frac{\pi }{4}} \right] \ge - \sqrt 2 \\
\Rightarrow 1 - \sqrt 2 \cos \left[ {x - \frac{\pi }{4}} \right] \ge 1 - \sqrt 2
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow y\ge 1-\sqrt2\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y\] là \[1-\sqrt 2 \] đạt được khi \[x = \dfrac{\pi }{4}\].
Đáp án C.
Chú ý:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất.
Mà [cosx + sinx]2= 1 + sin2x 2.
Giá trị lớn nhất của [cosx + sinx]2bằng 2, đạt được khi sin2x = 1.
Vậy cosx + sinx đạt giá trị lớn nhất bằng 2.
Từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho.